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浙江省宁波市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
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这是一份浙江省宁波市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类，共33页。试卷主要包含了的图象的对称轴为直线x＝2，【证明体验】，定义等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2021•宁波）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A方案
B方案
C方案
每月基本费用（元）
20
56
266
每月免费使用流量（兆）
1024
m
无限
超出后每兆收费（元）
n
n
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出m，n的值．
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•宁波）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
三．抛物线与x轴的交点（共1小题）
3．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
四．四边形综合题（共2小题）
4．（2021•宁波）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．
5．（2023•宁波）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长．
五．圆的综合题（共3小题）
6．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．
7．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
8．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
六．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．
七．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023•宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
八．相似形综合题（共1小题）
11．（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．
九．解直角三角形的应用（共2小题）
12．（2022•宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
13．（2021•宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
一十．条形统计图（共1小题）
14．（2021•宁波）图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题：
（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图．
（2）求5月份“党史”类书籍的营业额．
（3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由．
浙江省宁波市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2021•宁波）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A方案
B方案
C方案
每月基本费用（元）
20
56
266
每月免费使用流量（兆）
1024
m
无限
超出后每兆收费（元）
n
n
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出m，n的值．
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
【答案】（1）m＝3072，0.3；
（2）y＝0.3x﹣287.2（x≥1024）；
（3）当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．
【解答】解：（1）根据题意，m＝3072，
n＝（56﹣20）÷（1144﹣1024）＝0.3；
（2）设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（1024，20），（1144，56）代入，得：
，解得，
∴y关于x的函数关系式为y＝0.3x﹣287.2（x≥1024）；
（3）花费266元A方案可用流量：1024+（266﹣20）÷0.3＝1844（兆），
花费266元B方案可用流量：3072+（266﹣56）÷0.3＝3772（兆），
由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•宁波）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
【答案】（1）A（﹣3，2），y＝﹣；
（2）n＞2或n＜﹣2．
【解答】解：（1）把A（a，2）的坐标代入y＝﹣x，即2＝﹣a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，
当m＝﹣3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝﹣2，
由图象可知，
若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．
三．抛物线与x轴的交点（共1小题）
3．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x²﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x²﹣4x．
四．四边形综合题（共2小题）
4．（2021•宁波）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴∠ADE＝∠ADC＝60°，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BDE＝∠ADE，
∴DE平分∠ADB．
（2）如图2，∵FB＝FC，
∴∠EBD＝∠GCD；
∵∠BDE＝∠CDG＝60°，
∴△BDE∽△CDG，
∴；
∵△EAD≌△CAD，
∴DE＝CD＝3，
∵DG＝2，
∴BD＝＝＝.
（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC＝AC，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，
∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，
∴∠DCA＝∠BCF，
即∠DCE＝∠BCF，
∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，
∴△DCE∽△BCF，
∴，∠DEC＝∠BFC，
∵BC＝5，CF＝CD＝2，
∴CE＝＝＝4；
∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，
∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，
∵∠EAD＝∠DAC（公共角），
∴△EAD∽△DAC，
∴＝，
∴AC＝2AD，AD＝2AE，
∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．
5．（2023•宁波）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）图形见解答；
（3）38﹣6．
【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°，
∵对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CD＝CB，
∴四边形ABCD为邻等四边形；
（2）解：如下3个图，点D′、D、D″即为所求；
（3）解：如图3，四边形ABCD是邻等四边形，
∴CD＝CB，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴EB＝AC＝8，AE＝BC，
∴AE＝BC＝DC，
设AE＝BC＝DC＝x，
∵DE＝10，
∴AD＝DE﹣AE＝10﹣x，
过点D作DF⊥BC于点F，得矩形ABFD，
∴AB＝DF，AD＝BF＝10﹣x，
∴CF＝BC﹣BF＝x﹣（10﹣x）＝2x﹣10，
在Rt△ABE和Rt△DFC中，根据勾股定理得：
BE2﹣AE2＝AB2，CD2﹣CF2＝DF2，
∴BE2﹣AE2＝CD2﹣CF2，
∴82﹣x2＝x2﹣（2x﹣10）2，
整理得x2﹣20x+82＝0，
解得x1＝10﹣3，x2＝10+3（不符合题意，舍去），
∴CD＝CB＝10﹣3，
∴四边形EBCD的周长＝BE+DE+2CD＝8+10+2×（10﹣3）＝38﹣6．
五．圆的综合题（共3小题）
6．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．
【答案】（1）90°﹣；
（2）证明见解答过程；
（3）①3；
②．
【解答】解：（1）∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α，①
又∵∠AFB+∠BFD＝180°，②
②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α，
∴∠BFD＝90°﹣；
（2）由（1）得∠BFD＝90°﹣，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°﹣，
∴DB＝DF，
∵FG∥AC，
∴∠CAD＝∠DFG，
∵∠CAD＝∠DBE，
∴∠DFG＝∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
，
∴△BDE≌△FDG（SAS）；
（3）①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG＝∠BDE＝α，
∴∠BDG＝∠BDF+∠EDG＝2α，
∵DE＝DG，
∴∠DGE＝（180°﹣∠FDG）＝90°﹣，
∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°﹣，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG＝，
∴与所对的圆心角度数之比为3：2，
∴与的长度之比为3：2，
∵＝2，
∴＝3；
②如图，连接BO，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝α，
∴∠BOF＝∠OBD+∠ODB＝2α，
∵∠BDG＝2α，
∴∠BOF＝∠BDG，
∵∠BGD＝∠BFO＝90°﹣，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴，
∵，
∴设OF＝4x，则OE＝11x，DE＝DG＝4kx，
∴OB＝OD＝OE+DE＝11x+4kx，BD＝DF＝OF+OD＝15x+4kx，
∴＝＝，
由＝k，得4k2+7k﹣15＝0，
解得k＝或﹣3（舍去），
∴OD＝11x+4kx＝16x，BD＝15x+4kx＝20x，
∴AD＝2OD＝32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴cosα＝．
方法二：连接OB，作BM⊥AD于M，
由题意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形，
∴EM＝MF，
设OE＝11，OF＝4，
设DE＝m，则OB＝m+11，OM＝3.5，BD＝m+15，DM＝m+7.5，
∴OB2﹣OM2＝BD2﹣DM2，
即（m+11）2﹣3.52＝（m+15）2﹣（m+7.5）2，
解得m＝5或m＝﹣12（舍去），
∴cosα＝．
7．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
【答案】（1）∠AGB＝90°﹣α；（2）见解析；（3）①；②．
【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵＝，
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α；
（2）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝2，
∴AB＝×AD＝，
∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB＝＝，
∴∠AGB＝60°，AG＝BG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EG＝DG＝，DE＝DG＝，
在Rt△FED中，DF＝＝，
∴FG+DG+DF＝，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴＝，
设GH＝x，
∴BH＝2﹣x，
∴CH2＝2（2﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，
∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3，
当x＝1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．
8．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
【答案】（1）∠BGC＝90°；
（2）①证明过程见解答；
②tan∠GBC的值为；
（3）AC的长为．
【解答】（1）解：∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC＝∠CBG，
∵∠EBC＝∠EAC，
∴∠CBG＝∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC＝90°，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠BGC＝90°；
（2）①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC中点，
∴GD＝CD，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠DGC＝∠AFC，
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝∠BGC＝90°，
∴△ACF≌△BGC（ASA），
∴AF＝BC；
②解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H，
设AG＝DF＝2x，
∵△ACF≌△BGC，
∴AF＝BC＝2DG，
∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，
∵CF＝CG，
∴HG＝HF＝3x，
∴DH＝x，AH＝5x，
∴CH＝＝＝x，
∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝＝，
∴tan∠GBC的值为；
（3）解：如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，
∴△EBD≌△NCD（ASA），
∴BE＝CN，
∵OC∥BE，
∴∠GOC＝∠MBO，
∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，
∴△COG≌△OBM（AAS），
∴BM＝OG＝1，
∵OM⊥BE，
∴CN＝BE＝2BM＝2，
设OB＝OC＝r，
∵OC∥BE，
∴△GON∽△GBE，
∴＝，
∴＝，
解得r＝或r＝（舍去），
由（2）知：△ACF≌△BGC，
∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1＝．
∴AC的长为．
六．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2中，四边形AEBF即为所求．
七．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023•宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
【答案】图形见解答．
【解答】解：（1）如图1，△P′A′B′即为所求；
（2）如图2，△A′B′C即为所求．
八．相似形综合题（共1小题）
11．（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）；
（3）5+5．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴＝，＝，
∴＝，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG；
（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，
∴CE＝CD＝6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝；
（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵MG∥BD，
∴ME＝GE，
∵EF⊥EG，
∴FM＝FG＝10，
在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，
∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，
∵FG平分∠EFC，
∴∠GFC＝∠EFG＝50°，
∵FM＝FG，EF⊥GM，
∴∠MFE＝∠EFG＝50°，
∴∠MFN＝30°，
∴MN＝MF＝5，
∴NF＝＝5，
∵∠ABC＝45°，
∴BN＝MN＝5，
∴BF＝BN+NF＝5+5．
九．解直角三角形的应用（共2小题）
12．（2022•宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】（1）此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由见解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
13．（2021•宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】（1）AB＝20cm；
（2）26.4cm．
【解答】解：（1）∵B为AD′中点，
∴AB＝AD′,
∵AD′＝40cm，
∴AB＝20cm；
（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,
∵AB＝BD,
∴AD＝2AE,
∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,
∴∠BAE＝BAC＝70°,
在Rt△ABE中，AB＝20cm
∴AE＝AB•cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),
∴AD＝2AE＝13.6(cm),
∵AD′＝40cm，
∴40﹣13.6＝26.4(cm)．
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．
一十．条形统计图（共1小题）
14．（2021•宁波）图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题：
（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图．
（2）求5月份“党史”类书籍的营业额．
（3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由．
【答案】（1）45万元，补图见解答；
（2）10.5万元；
（3）5月份“党史”类书籍的营业额最高．
【解答】解：（1）该书店4月份的营业总额是：182﹣（30+40+25+42）＝45（万元），
补全统计图如下：
（2）42×25%＝10.5（万元），
答：5月份“党史”类书籍的营业额是10.5万元；
（3）4月份“党史”类书籍的营业额是45×20%＝9（万元），
∵10.5＞9，且1﹣3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，
∴5月份“党史”类书籍的营业额最高．
浙江省宁波市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2021•宁波）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A方案
B方案
C方案
每月基本费用（元）
20
56
266
每月免费使用流量（兆）
1024
m
无限
超出后每兆收费（元）
n
n
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出m，n的值．
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•宁波）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
三．抛物线与x轴的交点（共1小题）
3．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
四．四边形综合题（共2小题）
4．（2021•宁波）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．
5．（2023•宁波）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长．
五．圆的综合题（共3小题）
6．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．
7．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
8．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
六．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．
七．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023•宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
八．相似形综合题（共1小题）
11．（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．
九．解直角三角形的应用（共2小题）
12．（2022•宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
13．（2021•宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
一十．条形统计图（共1小题）
14．（2021•宁波）图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题：
（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图．
（2）求5月份“党史”类书籍的营业额．
（3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由．
浙江省宁波市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．一次函数的应用（共1小题）
1．（2021•宁波）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A方案
B方案
C方案
每月基本费用（元）
20
56
266
每月免费使用流量（兆）
1024
m
无限
超出后每兆收费（元）
n
n
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出m，n的值．
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？
【答案】（1）m＝3072，0.3；
（2）y＝0.3x﹣287.2（x≥1024）；
（3）当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．
【解答】解：（1）根据题意，m＝3072，
n＝（56﹣20）÷（1144﹣1024）＝0.3；
（2）设在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把（1024，20），（1144，56）代入，得：
，解得，
∴y关于x的函数关系式为y＝0.3x﹣287.2（x≥1024）；
（3）花费266元A方案可用流量：1024+（266﹣20）÷0.3＝1844（兆），
花费266元B方案可用流量：3072+（266﹣56）÷0.3＝3772（兆），
由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．
二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
2．（2022•宁波）如图，正比例函数y＝﹣x的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象都经过点A（a，2）．
（1）求点A的坐标和反比例函数表达式．
（2）若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，请根据图象直接写出n的取值范围．
【答案】（1）A（﹣3，2），y＝﹣；
（2）n＞2或n＜﹣2．
【解答】解：（1）把A（a，2）的坐标代入y＝﹣x，即2＝﹣a，
解得a＝﹣3，
∴A（﹣3，2），
又∵点A（﹣3，2）是反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣3×2＝﹣6，
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）∵点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，
∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，
当m＝﹣3时，n＝＝2，当m＝3时，n＝＝﹣2，
由图象可知，
若点P（m，n）在该反比例函数图象上，且它到y轴距离小于3，n的取值范围为n＞2或n＜﹣2．
三．抛物线与x轴的交点（共1小题）
3．（2021•宁波）如图，二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）的图象的对称轴为直线x＝2．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣a）（a为常数）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（a，0）．
∵对称轴为直线x＝2，
∴＝2．
解得a＝3；
（2）由（1）知，a＝3，则该抛物线解析式是：y＝x²﹣4x+3．
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是y＝x²﹣4x．
四．四边形综合题（共2小题）
4．（2021•宁波）【证明体验】
（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴△EAD≌△CAD（SAS），
∴∠ADE＝∠ADC＝60°，
∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BDE＝∠ADE，
∴DE平分∠ADB．
（2）如图2，∵FB＝FC，
∴∠EBD＝∠GCD；
∵∠BDE＝∠CDG＝60°，
∴△BDE∽△CDG，
∴；
∵△EAD≌△CAD，
∴DE＝CD＝3，
∵DG＝2，
∴BD＝＝＝.
（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠DAC，
∵AC＝AC，
∴△AFC≌△ADC（SAS），
∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，
∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，
∴∠DCA＝∠BCF，
即∠DCE＝∠BCF，
∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，
∴△DCE∽△BCF，
∴，∠DEC＝∠BFC，
∵BC＝5，CF＝CD＝2，
∴CE＝＝＝4；
∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，
∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，
∵∠EAD＝∠DAC（公共角），
∴△EAD∽△DAC，
∴＝，
∴AC＝2AD，AD＝2AE，
∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．
5．（2023•宁波）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
（2）如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB＝∠ABC＝90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC＝8，DE＝10，求四边形EBCD的周长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）图形见解答；
（3）38﹣6．
【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A＝90°，
∵对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CD＝CB，
∴四边形ABCD为邻等四边形；
（2）解：如下3个图，点D′、D、D″即为所求；
（3）解：如图3，四边形ABCD是邻等四边形，
∴CD＝CB，
∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴AD∥BC，
∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴EB＝AC＝8，AE＝BC，
∴AE＝BC＝DC，
设AE＝BC＝DC＝x，
∵DE＝10，
∴AD＝DE﹣AE＝10﹣x，
过点D作DF⊥BC于点F，得矩形ABFD，
∴AB＝DF，AD＝BF＝10﹣x，
∴CF＝BC﹣BF＝x﹣（10﹣x）＝2x﹣10，
在Rt△ABE和Rt△DFC中，根据勾股定理得：
BE2﹣AE2＝AB2，CD2﹣CF2＝DF2，
∴BE2﹣AE2＝CD2﹣CF2，
∴82﹣x2＝x2﹣（2x﹣10）2，
整理得x2﹣20x+82＝0，
解得x1＝10﹣3，x2＝10+3（不符合题意，舍去），
∴CD＝CB＝10﹣3，
∴四边形EBCD的周长＝BE+DE+2CD＝8+10+2×（10﹣3）＝38﹣6．
五．圆的综合题（共3小题）
6．（2022•宁波）如图1，⊙O为锐角三角形ABC的外接圆，点D在上，AD交BC于点E，点F在AE上，满足∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB，FG∥AC交BC于点G，BE＝FG，连结BD，DG．设∠ACB＝α．
（1）用含α的代数式表示∠BFD．
（2）求证：△BDE≌△FDG．
（3）如图2，AD为⊙O的直径．
①当的长为2时，求的长．
②当OF：OE＝4：11时，求cosα的值．
【答案】（1）90°﹣；
（2）证明见解答过程；
（3）①3；
②．
【解答】解：（1）∵∠AFB﹣∠BFD＝∠ACB＝α，①
又∵∠AFB+∠BFD＝180°，②
②﹣①，得2∠BFD＝180°﹣α，
∴∠BFD＝90°﹣；
（2）由（1）得∠BFD＝90°﹣，
∵∠ADB＝∠ACB＝α，
∴∠FBD＝180°﹣∠ADB﹣∠BFD＝90°﹣，
∴DB＝DF，
∵FG∥AC，
∴∠CAD＝∠DFG，
∵∠CAD＝∠DBE，
∴∠DFG＝∠DBE，
在△BDE和△FDG中，
，
∴△BDE≌△FDG（SAS）；
（3）①∵△BDE≌△FDG，
∴∠FDG＝∠BDE＝α，
∴∠BDG＝∠BDF+∠EDG＝2α，
∵DE＝DG，
∴∠DGE＝（180°﹣∠FDG）＝90°﹣，
∴∠DBG＝180°﹣∠BDG﹣∠DGE＝90°﹣，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠DBG＝，
∴与所对的圆心角度数之比为3：2，
∴与的长度之比为3：2，
∵＝2，
∴＝3；
②如图，连接BO，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB＝α，
∴∠BOF＝∠OBD+∠ODB＝2α，
∵∠BDG＝2α，
∴∠BOF＝∠BDG，
∵∠BGD＝∠BFO＝90°﹣，
∴△BDG∽△BOF，
设△BDG与△BOF的相似比为k，
∴，
∵，
∴设OF＝4x，则OE＝11x，DE＝DG＝4kx，
∴OB＝OD＝OE+DE＝11x+4kx，BD＝DF＝OF+OD＝15x+4kx，
∴＝＝，
由＝k，得4k2+7k﹣15＝0，
解得k＝或﹣3（舍去），
∴OD＝11x+4kx＝16x，BD＝15x+4kx＝20x，
∴AD＝2OD＝32x，
在Rt△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴cosα＝．
方法二：连接OB，作BM⊥AD于M，
由题意知，△BDF和△BEF都是等腰三角形，
∴EM＝MF，
设OE＝11，OF＝4，
设DE＝m，则OB＝m+11，OM＝3.5，BD＝m+15，DM＝m+7.5，
∴OB2﹣OM2＝BD2﹣DM2，
即（m+11）2﹣3.52＝（m+15）2﹣（m+7.5）2，
解得m＝5或m＝﹣12（舍去），
∴cosα＝．
7．（2021•宁波）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．
（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．
（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．
①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．
②求CG的最小值．
【答案】（1）∠AGB＝90°﹣α；（2）见解析；（3）①；②．
【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵＝，
∴∠ABG＝∠DBC＝α，
∴∠AGB＝90°﹣α；
（2）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BEC＝∠AGB，
∵∠CEF＝180°﹣∠BEC，∠BGD＝180°﹣∠AGB，
∴∠CEF＝∠BGD，
又∵CE＝BG，∠ECF＝∠GBD，
∴△CFE≌△BDG（ASA），
∴EF＝DG；
（3）①如图，连接DE，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝2，
∴AB＝×AD＝，
∵＝，
∴+＝+，
即＝，
∴AD＝CE，
∵CE＝BG，
∴BG＝AD＝2，
∵在Rt△ABG中，sin∠AGB＝＝，
∴∠AGB＝60°，AG＝BG＝1，
∴EF＝DG＝AD﹣AG＝1，
∵在Rt△DEG中，∠EGD＝60°，
∴EG＝DG＝，DE＝DG＝，
在Rt△FED中，DF＝＝，
∴FG+DG+DF＝，
∴△FGD的周长为；
②如图，过点C作CH⊥BF于H，
∵△BDG≌△CFE，
∴BD＝CF，∠CFH＝∠BDA，
∵∠BAD＝∠CHF＝90°，
∴△BAD≌△CHF（AAS），
∴FH＝AD，
∵AD＝BG，
∴FH＝BG，
∵∠BCF＝90°，
∴∠BCH+∠HCF＝90°，
∵∠BCH+∠HBC＝90°，
∴∠HCF＝∠HBC，
∵∠BHC＝∠CHF＝90°，
∴△BHC∽△CHF，
∴＝，
设GH＝x，
∴BH＝2﹣x，
∴CH2＝2（2﹣x），
在Rt△GHC中，CG2＝GH2+CH2，
∴CG2＝x2+2（2﹣x）＝（x﹣1）2+3，
当x＝1时，CG2的最小值为3，
∴CG的最小值为．
8．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
【答案】（1）∠BGC＝90°；
（2）①证明过程见解答；
②tan∠GBC的值为；
（3）AC的长为．
【解答】（1）解：∵BC平分∠EBG，
∴∠EBC＝∠CBG，
∵∠EBC＝∠EAC，
∴∠CBG＝∠EAC，
∵AC⊥FC，
∴∠AFC+∠EAC＝90°，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠BCG+∠CBG＝90°，
∴∠BGC＝90°；
（2）①证明：∵∠BGC＝90°，D为BC中点，
∴GD＝CD，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵∠BCG＝∠AFC，
∴∠DGC＝∠AFC，
∴CF＝CG，
∵∠ACF＝∠BGC＝90°，
∴△ACF≌△BGC（ASA），
∴AF＝BC；
②解：如图1，过点C作CH⊥EG于点H，
设AG＝DF＝2x，
∵△ACF≌△BGC，
∴AF＝BC＝2DG，
∴CD＝DG＝AG+DF＝4x，
∵CF＝CG，
∴HG＝HF＝3x，
∴DH＝x，AH＝5x，
∴CH＝＝＝x，
∴tan∠GBC＝tan∠CAF＝＝，
∴tan∠GBC的值为；
（3）解：如图2，过点O作OM⊥BE于点M，连结OC交AE于点N，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OBC＝∠OCB，
∴OC∥BE，
∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDN，
∴△EBD≌△NCD（ASA），
∴BE＝CN，
∵OC∥BE，
∴∠GOC＝∠MBO，
∵∠CGO＝∠OMB＝90°，OC＝OB，
∴△COG≌△OBM（AAS），
∴BM＝OG＝1，
∵OM⊥BE，
∴CN＝BE＝2BM＝2，
设OB＝OC＝r，
∵OC∥BE，
∴△GON∽△GBE，
∴＝，
∴＝，
解得r＝或r＝（舍去），
由（2）知：△ACF≌△BGC，
∴AC＝BG＝BO+OG＝r+1＝．
∴AC的长为．
六．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2021•宁波）如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．
【答案】（1）（2）作图见解析部分．
【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2中，四边形AEBF即为所求．
七．作图-旋转变换（共1小题）
10．（2023•宁波）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的△P′A′B′．
（2）将图2中的格点△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的△A′B′C．
【答案】图形见解答．
【解答】解：（1）如图1，△P′A′B′即为所求；
（2）如图2，△A′B′C即为所求．
八．相似形综合题（共1小题）
11．（2022•宁波）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于点G，求证：DG＝EG．
【尝试应用】
（2）如图2，在（1）的条件下，连结CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在▱ABCD中，∠ADC＝45°，AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）；
（3）5+5．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，
∴＝，＝，
∴＝，
∵BF＝CF，
∴DG＝EG；
（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，
∴CE＝CD＝6，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝；
（3）解：延长GE交AB于M，连接MF，过点M作MN⊥BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，
∵MG∥BD，
∴ME＝GE，
∵EF⊥EG，
∴FM＝FG＝10，
在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，
∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，
∵FG平分∠EFC，
∴∠GFC＝∠EFG＝50°，
∵FM＝FG，EF⊥GM，
∴∠MFE＝∠EFG＝50°，
∴∠MFN＝30°，
∴MN＝MF＝5，
∴NF＝＝5，
∵∠ABC＝45°，
∴BN＝MN＝5，
∴BF＝BN+NF＝5+5．
九．解直角三角形的应用（共2小题）
12．（2022•宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】（1）此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，理由见解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
13．（2021•宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．
（1）求AB的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】（1）AB＝20cm；
（2）26.4cm．
【解答】解：（1）∵B为AD′中点，
∴AB＝AD′,
∵AD′＝40cm，
∴AB＝20cm；
（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E,
∵AB＝BD,
∴AD＝2AE,
∵AP平分∠BAC,∠BAC＝140°,
∴∠BAE＝BAC＝70°,
在Rt△ABE中，AB＝20cm
∴AE＝AB•cos70°≈20×0.34＝6.8(cm),
∴AD＝2AE＝13.6(cm),
∵AD′＝40cm，
∴40﹣13.6＝26.4(cm)．
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为26.4cm．
一十．条形统计图（共1小题）
14．（2021•宁波）图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图2，解答下列问题：
（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图．
（2）求5月份“党史”类书籍的营业额．
（3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由．
【答案】（1）45万元，补图见解答；
（2）10.5万元；
（3）5月份“党史”类书籍的营业额最高．
【解答】解：（1）该书店4月份的营业总额是：182﹣（30+40+25+42）＝45（万元），
补全统计图如下：
（2）42×25%＝10.5（万元），
答：5月份“党史”类书籍的营业额是10.5万元；
（3）4月份“党史”类书籍的营业额是45×20%＝9（万元），
∵10.5＞9，且1﹣3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，
∴5月份“党史”类书籍的营业额最高．
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