【小升初奥数竞赛培优专题】六年级下册数学-探索数字规律

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探索数字规律

一、知识点

1、常见数列
自然数列：1、2、3、4、5……
奇数数列：1、3、5、7、9……
偶数数列：2、4、6、8、10……
等差数列：3、6、9、12、15……
等比数列：1、2、4、8、16……
质数数列：2、3、5、7、11……
平方数列：1、4、9、16、25、36……
兔子数列（斐波那契数列）：1、1、2、3、5、8、13…

2、数列规律
相邻两数的和或差呈现某种规律
复合数列：如奇数位呈现一种规律，偶数位呈现另一种规律

3、图形规律
固定图形
一般规律：求和、求差、求积
技巧：数字突然变大时多数是乘积
变化图形
点、线和面之间的递推规律

4、分数规律
分子与分母呈现单独的规律
分子与分母合并后呈现规律
存在一定的周期性：分组

5、数阵规律
数字间的运算规律
数字间的排列规律


二、学习目标

1. 我能够发现数列中的规律以及数阵中的规律。

2.我能够找到图形与图形之间的规律。

3.我能够分析出隐含的规律或变化趋势，并用语言或算式符号描述、表示出来。


三、课前练习

观察下列等式：
第1行 3＝4－1
第2行 5＝9－4
第3行 7＝16－9
第4行 9＝25－16
按照上述规律，第 n行的等式为 。
【答案】：2n＋1＝（n＋1）²－n²



四、典型例题
例题1
修远利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
……
1
2
3
4
5
……
输出
……





……
请问：当修远输入数据8时，输出的数据是多少？
【答案】：
【解析】：分子和分母分开看，分子和输入的数字相同，分母等于分子的平方再加1。

练习1
填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是 。

【答案】：74
【解析】：8＝2×4－0，22＝4×6－2，44＝6×8－4，m＝8×10－6＝74

例题2
用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图所示的规律拼成若干个图案：则第4个图案中有白色地面砖多少块？第n个图案中有白色地面砖多少块？

【答案】：18，4n＋2
【解析】：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，
所以第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”，所以第n个图案中有白色地面砖的块数是4n＋2，当n＝4时，4n＋2＝4×4＋2＝18。
练习2
下图是由一些火柴棒搭成的图案。

（1）摆第1个图案用 根火柴棒，摆第2个图案用 根火柴棒，摆第3个图案用 根火柴棒。

（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用多少根火柴棒？

（3）计算一下摆121根火柴棒时，是第几个图案？
【答案】：（1）5，9，13；（2）4n＋1；（3）30
【解析】：（1）由题目得，第1个图案所用的火柴棒数：1＋4＝1＋4×1＝5；第2个图案所用的火柴棒数：1＋4十4＝1＋4×2＝9；第3个图案所用的火柴棒数：1＋4＋4十4＝1＋4×3＝13；
（2）按（1）的规律类推，可知第n个图案中，所用的火柴棒数为：1＋4＋4＋4＋……＋4＝1＋4×n＝4n十1；
（3）根据规律可知 4n＋1＝121，得n＝30。

例题3
将连续的白然数1至36 按下图的方式排成一个正方形阵列，用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为a，用含有a的代数式表示这9 个数的和为多少？

【答案】：9a
【解析】：规律是横排中相邻数据相差 1，竖排中上下相邻数据相差6，所以当中心的数为a，用含有a的代数式表示这9个数的和为
a十a＋1＋a－1＋a－6＋a ＋6＋a－7＋a＋7＋a－5十a＋5＝9a。

练习3
下图的数阵全是由奇数排成。
（1）图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？

（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；

（3）这九个数之和会等于2034吗？1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个，若不能，请说出理由。

【答案】：见解析
【解析】：（1）图中平行四边形框内的九个数的和为：23＋25＋27＋39＋41＋43＋55＋57＋59＝369，369÷41＝9，所以图中平行四边形框内的九个数之和是中间数的9倍；
（2）设数阵图中中间的数为，则其余的8个数为－18，－16，－14，－2，＋2，＋14，＋16，＋18，这九个数的和为9。所以图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍。
（3）根据题意，得 9＝2034，＝226，数阵是由全体奇数组成的，所以中间的数不可能是226，也就是和不可能为2034。
根据题意，得9＝1017，＝113。符合题意，这九个数中最小的一个是113－18＝95。
例题4
四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号位子上，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。以后它们不停地交换位子，第一次上下两排交换；第二次是在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换……样一直换下去。问：第五次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？

【答案】：第1号位子
【解析】：（法1）因为题目中问的只是第五次交换位子后，小兔的位子是几。因此，我们只需考虑小兔的位子变化规律，小兔刚开始时在3号位子，记为③，则变化过程为：③一次→①二次→②三次→④四次→③→…容易看出每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次交换座位后，小兔又回到原处，知道了这个规律，就不难得出答案。即5次后，小兔到了第1号位子。
（法2）仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针方向旋转两格（即180°）时，恰得到第二次交换位子后的图，由此可以知道，每一次上下交换后再一次左右交换的结果就相当于把原图沿顺时针方向旋转 180°，第4 次交换位子后，相当于是这些小动物沿顺时针方向转了一圈，这样，我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律。但其中需注意一点的是：单独一次上下（或左右）的交换与旋转 90°得到的结果是不同的。小猫、小鼠的位子变化规律是沿逆时针方向，而小猴的位子变化规律与小兔相似。所以，第5次交换位子后，小兔到了1号位子。

练习4
四个小动物排座位，一开始，小鼠坐在第1号位子上，小猴坐在第2号，小兔坐在第3号，小猫坐在第4号。以后它们不停地交换位子，第一次上下两排交换。第二次是在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直换下去。问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位子上？

【答案】：2号位子
【解析】：（方法1）因为题目中问的只是第十次交换位子后，小兔的位子是几。因此，我们只需考虑小兔的位子变化规律，小兔刚开始时在3号位子，记为③，则变化过程为：③一次→①二次→②三次→④四次→③→…容易看出每一次交换座位，小兔的座位按顺时针方向转动一格，每四次交换座位后，小兔又回到原处，知道了这个规律，就不难得出答案。即 10次后，小兔到了第 2号位子。
（方法 2）仔细观察示意图时会发现，开始的图沿顺时针方向旋转两格（即 180°）时，恰得到第二次交换位子后的图，由此可以知道，每一次上下交换后再一次左右交换的结果就相当于把原图沿顺时针方向旋转 180°，第十次交换位子后，相当于是这些小动物沿顺时针方向转了4 圈半，这样，我们就得到了小兔的位子及它们的整体变化规律。但其中需注意一点的是：单独一次上下（或左右）的交换与旋转 90°得到的结果是不同的。小猫、小鼠的位子变化规律是沿逆时针方向，而小猴的位子变化规律与小兔相似。所以，第十次交换位子后，小兔到了2号位子。

例题5
数列1，3＋5＋7，9＋11＋13＋15＋17，19＋21＋23＋…＋29＋31，…的第 10项的和为多少？
【答案】6175
【解析】
（法1）奇数数列的通项表示为2n－1，第10项中含有：2×10－1＝19（个）
而之前已有9项共1＋3＋5＋7＋…＋17＝81（个）
所以第 10项从第82个数：2×82－1＝163开始，
表示为163＋165＋167＋…＋199＝3439
（法2）各项平均数依次是：1、5、13、25……
第10项的平均数是181，和是181×19＝3439

例题6
在两位数10，11，…，98，99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加个小数点，其余的数不变。问：经过这样改变之后，所有数的和是多少？
【答案】：4316.4
【解析】：
原来的总和是 10＋11＋……＋98＋99＝＝4905，被7 除余2的两位数是
7×2＋2＝16，7×3＋2＝23，……，7×13＋2＝93。
共12个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的，因此使总和减少了
（16＋23＋…＋93）×（1－）＝×＝588.6
所以，经过改变之后，所有数的和是4905—588.6＝4316.4.

选讲题
思琪每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个。肥皂泡吹出之后，经过1分钟有一半破了，经过2分钟还有没有破，经过2分半钟全部肥皂泡都破了。思琪在第 20次吹出100 个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有多少个？
【答案】：155
【解析】：
小明在第 20次吹出100个新的肥皂泡的时候，第17次之前（包括第17次）吹出的肥皂泡全破了。此时没有破的肥皂泡共有100＋100×＋100×＝155（个）


五、课后作业

1.观察下列数，按某种规律在横线上填上适当的数。
1，，，，， ，……
【答案】：
【解析】观察可知，第n（n≥1）个数的分母是n²，分子是（2n－1），且奇数项为正数，
偶数项为负数。

2.观察下列等式：
1²＋2×1＝1×（1＋2）
2²＋2×2＝2×（2＋2）
3²＋2×3＝3×（3＋2）
则第 n个等式可以表示为 。
【答案】：n²＋2×n＝n×（n＋2）
【解析】：略

3.如图，是用积木摆放一组图案，观察图形并探索：第五个图案中共有多少块积木？第n个图形中共有 块积木。

【答案】25，n²
【解析】1＋3＋5＋7＋9＝25。1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n²

4.如图所示，将多边形分割成三角形。图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形。一个多边形，从它的某一个顶点出发，分别与其余各顶点连接，分割成18个三角形，那么这个多边形是 边形。

【答案】：（n－1）；20
【解析】：略

5.观察下列等式：
×2＝＋2，×2＝＋2，×4＝＋4，……，若×10＝＋10（a、b都是正整数），则a＋b的最小值是 。
【答案】：19
【解析】：略

6.如下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n（n是正整数）个图案由 个基础图形组成。

【答案】：3n ＋1
【解析】：4＋3×（n一1）＝3n＋1

7.如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于 。

【答案】：11
【解析】：
第1层：1 第2层：6
第3层：6×2＝12 第4层：6×3＝18
……
第n层：6×（n－1）
1＋1×6＋2×6＋3×6＋…＋(n－1)×6＝1＋3n(n－1)＝331，
n（n－1）＝110，（n－11）（n＋10）＝0，n＝11或－10，排除n＝－10，故n＝11

8.观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有 个☆。
【答案】：28
【解析】：第n个图形有3n＋1个☆

9.如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字。电子跳蚤每跳1次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只电子跳蚤从标有数字"0"的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈内，该圆圈所标的数字是 。

【答案】：6
【解析】：
根据题意可知是11，10，9，8，7，……，0即12个数是一个循环。因为2010除以12余数为6，对应循环中的第6个数字，第6个数字为6，所以该圆圈所标的数字是6。

10.如图所示，三角形ABC是电子跳蚤游戏盘，AB＝AC＝BC＝6。如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0＝2。跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2 次落点）处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3＝BP2；……；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与P2010之间的距离为 。

【答案】：4
【解析】：
观察规律：当落脚点标为奇数时，距离为4，当落脚点标为偶数时，距离为2，因为2011时奇数，点 P2009与P2010之间的距离为4。