高中人教A版 (2019)1.1 空间向量及其运算教学设计

这是一份高中人教A版 (2019)1.1 空间向量及其运算教学设计，共6页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。

第一章空间向量与立体几何
1.1.1空间向量及其线性运算
教学设计
一、教学目标
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念.
2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.
3.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.
4.了解共线向量、共面向量的意义，掌握其表示方法，理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论.
二、教学重难点
1、教学重点
空间向量的线性运算和运算律，共线向量定理和共面向量定理.
2、教学难点
向量数量积的几何意义.
三、教学过程
1、新课导入
课本展示的是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然，这些力不在同一个平面内，联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始.
2、探索新知
一、空间向量的概念
1.空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
2.空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或.
3.零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.
4.单位向量：模为1的向量叫单位向量.
5.相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.
6.共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
7.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
二、空间向量的运算律
1.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时，；
当时，.

2.空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
三、共线向量和共面向量
1.共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
2.直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.

3.共面向量：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
例题如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使，求证：E，F，G，H四点共面.

分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面，而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式.
证明：因为，
所以，，，.
因为四边形ABCD是平行四边形，所以.
因此
.
由向量共面的充要条件可知，，，共面，
又，，过同一点E从而E，F，G，H四点共面.
3、课堂练习
1.在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是( )
①；②；③；④.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2.已知空间任一点O和不共线的三点A，B，C，下列能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A. B.
C. D.以上都不对
3.如图所示，在平行六面体中，设，，，M，N，P分别是，，的中点，试用a，b，c表示以下向量：

(1)；
(2)；
(3).
4、小结作业
小结：本节课学习了空间向量及其线性运算，了解了共线向量、共面向量的意义.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
1.1.1空间向量及其线性运算
一、空间向量的概念
1.空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
2.空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或.
3.零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0.
4.单位向量：模为1的向量叫单位向量.
5.相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a.
6.共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有.
7.相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
二、空间向量的运算律
1.空间向量的加法、减法及数乘运算：
（1）；
（2）；
（3）当时，；
当时，；
当时，.
2.空间向量线性运算的运算律：
交换律：；
结合律：，；
分配律：，.（其中，）
三、共线向量和共面向量
1.共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使.
2.直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
3.共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.