北师大版八年级上册2 一定是直角三角形吗优质课课件ppt

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第一章 勾股定理
第一章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗　
北师大版数学八年级上册
问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗?
用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处.
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
勾股定理的逆定理
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
32 + 42 = 52，满足.
a2 + b2 = c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题3 据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
？
已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2. 求证：△ABC 是直角三角形．
构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′
证一证：
简要说明：作一个直角∠MC1N，在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB，在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA，连接 A1B1.
在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得 A1B12 = a2 + b2 = AB2.∴ A1B1 = AB. ∴△ABC≌△A1B1C1 (SSS).∴∠C =∠C1 = 90°.∴△ABC 是直角三角形.
a
c
b
A
C
B
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角.
特别说明：
归纳总结
典例精析
例1 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗?
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD 中， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD 中， 所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.
D
A
C
4
3
5
13
12
B
例2 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
解：因为 152+82 = 289，172 = 289，所以 152+82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) a = 13，b = 14，c = 15；
解：因为 132 + 142 = 365，152 = 225，所以 132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
(3) a∶b∶c = 3∶4∶5.
解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k.因为 a2 + b2 = (3k)2 + (4k)2 = 25k2，c2 = (5k)2 = 25k2，所以 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C 是直角.
变式1：已知 △ABC 中，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问 △ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵ AB2 + BC2 = (n² - 1)2 + (2n)2 = n4 - 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2 = AC2，∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
变式2：若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断 △ABC 的形状.
解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c， ∴ a2 - 6a + 9 + b2 - 8b + 16 + c2 -10c + 25 = 0， 即 (a－3)² + (b－4)² + (c－5)² = 0. ∴ a = 3，b = 4，c = 5. ∴ a2 + b2 = c2. ∴△ABC 是直角三角形.
例3 如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 为 BC 上一点，且 CE ＝ CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF. 理由如下：设正方形的边长为 4a， 则 EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2；在 Rt△CEF 中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2；在 Rt△ADF 中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.∴ AE2＝EF2＋AF2.∴△AEF 为直角三角形，且∠AFE＝90°，即 AF⊥EF.
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数.
概念学习
勾股数
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都乘相同倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如将 3，4，5 都乘 2 和 3，得到的 6，8，10 和 9，12，15 也是勾股数.
下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可.
练一练
1. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5
2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( ) A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形
B
A
4. 如果三条线段 a，b，c 满足 a2 = c2 - b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗? 为什么?
解：是直角三角形. 因为 a2 + b2 = c2，满足勾股定理的逆定理.
3. 以△ABC 的三条边为边长向外作正方形，依次得到的正方形面积是 25，144，169，则这个三角形是______三角形.
直角
5. 如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4，AE = 2，DF = 1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同 伴交流.
解：有 4 个，分别是△ABE，△DEF，△FCB，△BEF. 由勾股定理知 BE2 = 22 + 42 = 20， EF2 = 22 + 12 = 5， BF2 = 32 + 42 = 25， ∴ BE2 + EF2 = BF2. ∴ △BEF 是直角三角形.
6. 如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AD = 3 cm，AB = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形 ABCD 的面积.
解：连接 BD.在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 BD2 = AB2 + AD2，∴ BD = 5 cm.又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm，∴ BC2 = CD2 + BD2. ∴△BDC 是直角三角形.S四边形ABCD = SRt△BCD－SRt△ABD = BD•CD－ AB•AD = ×(5×12－4×3) = 24 (cm2)．
C
B
A
D
变式：如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC ＝ 12 cm，AB ＝ 3 cm，BC ＝ 4 cm，求△ABC 的面积.
解：∵ S△ACD = 30 cm2，DC ＝ 12 cm.∴ AC = 5 cm.又∵∴△ABC 是直角三角形，且∠B 是直角.∴
一定是直角三角形吗
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c