苏教版 高中数学 选择性必修第一册 活动单导学课程 第三章圆锥曲线与方程3.5.1直线与圆锥曲线的位置关系(1)-导学案（有答案）

3.5.1　直线与圆锥曲线的位置关系(1)

1. 根据两曲线的交点个数来判断直线与圆锥曲线的位置关系．

2. 体会方程思想和数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用．

　　思考1

如何判断两条直线的位置关系？

思考2

如何判断直线与圆的位置关系？

探究：直线与圆锥曲线有几种位置关系？如何判断？

例1　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时：

(1) 直线l与椭圆C有两个不同的公共点；

(2) 直线l与椭圆C有且只有一个公共点；

(3) 直线l与椭圆C没有公共点．

　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求实数k的取值范围．

例2　经过点P(0，4)，且与抛物线y2＝16x只有一个交点的直线有几条？求出这样的直线方程．

　　　已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.

(1) 求双曲线C的标准方程；

(2) 若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求实数k的取值范围．

例3　已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．

　已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4，2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．

　　　已知直线l：y＝kx－1，双曲线C：x2－＝1.

(1) 当k＝1时，直线l与双曲线C有两个交点A，B，求AB的长；

(2) 当k取何值时，直线l与双曲线C没有公共交点．

1. 若直线l：y＝k(x－2)与双曲线x2－＝1仅有一个公共点，则实数k的值为(　　)

A.    B.  －  C.  ±  D.  ±

2. 已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则下列结论中正确的是(　　)

A. 直线与抛物线有一个公共点  B. 直线与抛物线有两个公共点

C. 直线与抛物线有一个或两个公共点  D. 直线与抛物线可能没有公共点

3. (多选)不存在过点(1，1)的直线与椭圆＋＝1相切的一个充分条件是(　　)

A. {m|m≥}  B. {m|m>}  C. {m|0<m<}  D. {m|m＝－3}

4. 过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆＋＝1所截得的线段的长度为__________．

5. 已知椭圆C：4x2＋y2＝1及直线l：y＝x＋m，m∈R.

(1) 当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点；

(2) 若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OP⊥OQ，O为坐标原点，求直线l的方程．

参考答案与解析

【活动方案】

思考1：略

思考2：略

探究：略

例1　 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，整理，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③

则关于x的一元二次方程的判别式

Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.

(1) 由Δ>0，得－3<m<3，

所以当－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．

(2) 由Δ＝0，得m＝±3，

所以当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3) 由Δ<0，得m<－3或m>3，

所以当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点．

跟踪训练　 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，

代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1，

整理，得x2＋2kx＋1＝0.

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，

所以Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，

解得k＜－或k＞，

所以k的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．

例2　当直线的斜率不存在时，由题意可知直线方程为x＝0，满足条件；

当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为y＝kx＋4，

代入y2＝16x，得k2x2＋(8k－16)x＋16＝0，

所以Δ＝(8k－16)2－4×16k2＝256－256k＝0，

解得k＝1，所以直线的方程为y＝x＋4.

当斜率为0时，由题意可知直线方程为y＝4，满足条件．

综上所述，满足条件的直线有三条，方程为x＝0，x－y＋4＝0，y＝4.

跟踪训练　(1) 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知，得a＝，c＝2.

又a2＋b2＝c2，所以b2＝1，

所以双曲线C的标准方程为－y2＝1.

(2) 设A(xA，yA)，B(xB，yB)．

将y＝kx＋代入－y2＝1，

得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，

由题意知 解得<k<1，

所以当k的取值范围是时，直线l与双曲线C的左支有两个交点．

例3　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，

所以c＝＝，

所以F(，0)，所以直线l的方程为y＝x－，

代入椭圆方程，化简并整理，得5x2－8x＋8＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

所以AB＝|x1－x2|

＝·

＝×＝.

跟踪训练1 　由题意，得当直线AB的斜率不存在时，不满足题意，所以设直线AB的方程为y＝kx＋2－4k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得k2x2＋(4k－8k2－6)x＋(2－4k)2＝0.

由题意，得kOA·kOB＝·＝－＝－1，所以x1x2＝36，

所以＝36，解得k＝－1或k＝，

所以x1＋x2＝18或x1＋x2＝138.

又AB2＝OA2＋OB2＝x＋6x1＋x＋6x2＝(x1＋x2)2－2x1x2＋6(x1＋x2)，

所以AB2＝360或AB2＝19 800，

所以AB＝6或AB＝30.

跟踪训练2　(1) 当k＝1时，将直线l：y＝x－1代入x2－＝1，消去y并整理，得3x2＋2x－5＝0，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，

所以AB＝|x1－x2|＝×＝×＝.

(2) 将y＝kx－1代入x2－＝1，消去y并整理，得(4－k2)x2＋2kx－5＝0.

若直线l与双曲线C没有公共交点，

则解得k<－或k>，

故当k∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，直线l与双曲线C没有公共交点．

【检测反馈】

1. C　解析：由题意，得双曲线的渐近线为y＝±x.当直线l：y＝k(x－2)与渐近线y＝±x平行时，直线l与双曲线仅有一个公共点，此时k＝±.当k≠±时，因为直线l：y＝k(x－2)恒过定点(2，0)，且(2，0)在双曲线的内部，所以直线l不可能与双曲线相切，所以满足条件的k的值为±.

2. C　解析：因为直线y＝kx－k＝k(x－1)，所以直线过定点(1，0)，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．

3. BD　解析：不存在过点(1，1)的直线与椭圆＋＝1相切，即点(1，1)在椭圆内，所以＋<1，解得m>或m<－，即m∈(－∞，－)∪(，＋∞)，故它的一个充分条件对应的集合为(－∞，－)∪(，＋∞)的子集．故选BD.

4. 　解析：由题意知直线方程为y＝(x－3)，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，所以x1＋x2＝3，x1x2＝－8，所以AB＝·＝×＝.

5. (1) 联立直线l的方程与椭圆C的方程消去y并整理，得5x2＋2mx＋m2－1＝0.

由于直线l与椭圆C有公共点，故Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，解得－≤m≤，

所以实数m的取值范围是.

(2) 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由(1)，得x1＋x2＝－，x1x2＝.

因为OP⊥OQ，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝＝0，解得m＝±，

故直线l的方程为y＝x±.