【同步讲义】（人教A版2019）高一数学必修一：《第二章 一元二次函数、方程和不等式》学业水平质量检测（A卷）

《第二章 一元二次函数、方程和不等式》学业水平质量检测（A卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一．选择题（共8小题）

1．已知集合，，1，，则　　

A． B．， C．， D．，1，

【分析】化简集合，利用交集运算即可求得答案．

【解答】解：，，1，，

则，，

故选：．

2．设，，为非零实数，且，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用不等式的基本性质，分别判断各选项即可．

【解答】解：当时，，错误，

当，时，，错误，

由，可得，正确，

当时，，错误，

故选：．

3．命题“”是命题“”的　　条件

A．充分不必要 B．必要不充分 

C．充要 D．既不充分也不必要

【分析】由，可得．反之不成立．即可判断出关系．

【解答】解：由，可得．反之不成立，例如时．

命题“”是命题“”的必要不充分条件．

故选：．

4．已知不等式的解集是，则的值等于　　

A． B． C．2 D．4

【分析】根据不等式的解集求出、的值，再计算的值．

【解答】解：因为不等式的解集是，

所以和2是方程的解，

所以，

解得，，

所以．

故选：．

5．某医疗设备生产厂家，生产某种医疗设备，日产量为件时，售价为元件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为　　

A． B．

C． D．

【分析】写出利润关于的函数，求解不等式可得的取值范围．

【解答】解：由题意，设日利润为元，则，

由，得，

解得．

即的取值范围为．

故选：．

6．关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

【分析】关于的不等式恒成立，时，可得：．时，可得：，解得范围．

【解答】解：关于的不等式恒成立，

时，可得：．

时，可得：，解得．

综上可得：．

关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是．

故选：．

7．若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值范围是　　

A． B．或 

C． D．或

【分析】先把不等式因式分解，然后对讨论，写出解集，再根据题目要求求出对应的的范围．

【解答】解：原不等式可化为，

①当时，解得，此时解集中的整数为2，3，4则，

②当时，解得，此时解集中的整数为0，，，则，

故或，

故选：．

8．已知，，且，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】由，，则，，解得，从而可得的取值范围．

【解答】解：由，，则，

，

解得：，

则

的取值范围．

故选：．

二．多选题（共4小题）

9．若，则下列不等式正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】由已知可得，进而可以判断各个选项是否正确．

【解答】解：由已知若可得：，故错误，

则，错误，而，，所以，正确，

因为，所以，正确，

故选：．

10．已知集合，，则下列命题中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则或 D．若，则

【分析】由已知求出集合，再根据各选项的条件求解即可．

【解答】解：由已知可得，

若，则，且，解得，故正确；

若，则且，解得，故正确；

当时，，解得或，故正确；

当时，，则，故错误．

故选：．

11．已知正数，满足，若，则的值可以是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】利用基本不等式求出的取值范围，对照选项即可得到答案．

【解答】解：因为，

所以，

故，

则，

又，，

所以，

当时，，此时，不符合题意，

若，则的值可以是1，3，4．

故选：．

12．已知，，，则下列说法正确的是　　

A．的最大值是 B．的最小值是8 

C．的最小值是 D．的最小值是

【分析】利用基本不等式逐个判断各个选项即可．

【解答】解：，且，

，，当且仅当，即，时等号成立，故选项正确，

，当且仅当即，时，等号成立，故选项错误，

，当且仅当，即，时等号成立，故选项正确，

，，，

，

，当时，有最小值，故选项正确，

故选：．

三．填空题（共4小题）

13．某工人共加工300个零件．在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务．则改进操作方法前，每天至少要加工 　9　个零件．

【分析】设改进操作方法前，每天至少要加工个零件，则改进操作方法后，每天至少要加工个零件，根据题意列出不等式，求得的范围，则答案可求．

【解答】解：设改进操作方法前，每天至少要加工个零件，则改进操作方法后，每天至少要加工个零件，

由题意得，，

整理得：，

又，

，

即改进操作方法前，每天至少要加工9个零件．

故答案为：9．

14．若，则的最大值为 　　．

【分析】令，展开后再由配方法求最值，则答案可求．

【解答】解：令，

，当时，取最大值为2，

的最大值为．

故答案为：．

15．已知，，则的最小值为 　8　．

【分析】先利用完全平方公式对已知式子进行变形，然后结合基本不等式即可求解．

【解答】解：，，

则

，

根据基本不等式可得，，当且仅当，即时取等号，

，当且仅当，即时取等号，

同理，，当时取等号，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8．

16．若对一切恒成立，则实数的取值范围是　　．

【分析】等价于，分，及两类讨论，利用函数的单调性即可求得答案．

【解答】解：等价于，

，，

若对一切恒成立，则，

当时，，则，解得，

当时，，则，解得．

故答案为：．

四．解答题（共6小题）

17．（1）若正实数，满足，求的最小值；

（2）求函数的最小值．

【分析】（1），再利用基本不等式的性质即可得出．

（2），再利用基本不等式的性质即可得出．

【解答】解：（1），

当且仅当时，取得最小值9．

（2）

，

当且仅当时，取得最小值9．

18．解下列不等式：

（1）；

（2）．

【分析】（1）先将不等式进行变形，然后由一元二次不等式的解法求解即可；

（2）先将不等式进行变形，然后分，，三种情况，由一元二次不等式的解法求解即可．

【解答】解：（1）不等式可变形为，即，解得，

所以不等式的解集为；

（2）不等式可变形为，

当时，解得或，

当时，解得，

当时，解得或．

综上所述，当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或．

19．已知，都是正数，且．

（1）求的最小值；

（2）求的最小值．

【分析】（1）利用“1”的代换将式子变形，再利用基本不等式求出最小值即可；

（2）先将所求式子中的1用代换，展则，从而利用基本不等式求出最小值即可．

【解答】解：（1）由，，，得，

当且仅当，时等号成立，所以的最小值为9．

（2），又，，所以，

所以，当且仅当，时等号成立，

所以的最小值为3．

20．如图，已知小矩形花坛，，，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛，点在上，点在上，且对角线过点．

（1）若矩形的面积等于，求的长度．

（2）是否存在点，，使矩形的面积最小？若存在，求出最小面积及此时，的长度；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题如图，可先设出所求的量；，，再由矩形的面积公式建立关系式，，则可找到长与宽的关系式，从而建立关于，的二次不等式，求解可得的取值范围；

（2）由题为建设后矩形面积的最小值，可由（1）得出的函数关系式，进行代数变形利用均值不等式（注意条件，正，定，相等）可求出相应的最小值．

【解答】解：（1）设，，矩形的面积为则．

易知，所以，即，于是，因此．

由，解得或．故的长度为或．

（2）当时，，当且仅当，即时，等号成立，

此时．故存在符合题意的点，，此时，，矩形面积的最小值为．

故答案为：（1）或；（2）存在点，，使矩形的面积最小，当，时，矩形面积最小为．

21．已知，，，，证明下列不等式：

（1）；

（2）．

【分析】（1）根据不等式的左边减去右边化简结果为，可得不等式成立；

（2）从不等式的左边入手，左边对应的代数式的二倍，分别写成两两相加的形式，在三组相加的式子中分别用均值不等式，整理成最简形式，得到右边的2倍，两边同时除以2，得到结果．

【解答】证明：

，

成立；

（2）

，

．

．

22．已知集合，集合．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

【分析】（Ⅰ）由一元二次不等式的性质能求出集合．

（Ⅱ）由集合，由此利用分类讨论思想能求出的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）集合，

（Ⅱ）集合．

①当，即时，，，，

，解得．

②当，即时，，符合题意，

③当，即时，，，，

，解得．

综上所述，的取值范围是．