【同步讲义】（人教A版2019）高一数学必修一：《第五章 三角函数》学业水平质量检测（A卷）

《第五章 三角函数》学业水平质量检测（A卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数值可得正确的选项.

【详解】,

故选：B.

2．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，点 在角的终边上，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据三角函数的定义求出 ，然后采用弦化切，代入 计算即可

【详解】因为点 在角的终边上，所以

故选：D

3．我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程端娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月表400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（）（    ）

A．1069千米 B．1119千米 C．2138千米 D．2238千米

【答案】D

【分析】利用弧长公式直接求解.

【详解】嫦娥五号绕月飞行半径为400+1738=2138，

所以嫦娥五号绕月每旋转弧度，飞过的路程约为（千米）.

故选：D

4．若函数（，，）的部分图象如图，则函数图象的一个对称中心可能为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图象求出，然后得到的解析式，然后可得答案.

【详解】由题意得，，即，

把点代入方程可得，

所以，即

因为，所以，

∴，

因为，所以函数的一个对称中心为，

故选：C.

5．函数为增函数的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数单调性的求法求得正确答案.

【详解】，

，，，

令可的的递增区间为.

故选：C

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令可得，再代入，结合诱导公式与二倍角公式求解即可

【详解】令可得，故，则

故选：C

7．设函数的部分图象如图所示，若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据图像求出，由得到，代入即可求解.

【详解】根据函数的部分图象，可得：A=1;

因为，，

结合五点法作图可得，，．

如果，且，结合，可得，

，，

故选：C．

8．若，则函数的最大值与最小值之和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用诱导公式可化简函数为，根据余弦型函数值域的求法可求得，结合二次函数最值的求法可求得的最大值和最小值，加和即可求得结果.

【详解】，

当时，，，

当时，；当时，；

.

故选：C.

二、多选题

9．下列函数的周期为π的是（　　）

A．y＝sinx B．y＝|sinx|

C．y＝sin2x+3cos2x D．y＝tanx﹣1

【答案】BCD

【分析】AD选项，可以直接进行判断；B选项，整个函数加绝对值，位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，画出图象，可以看出最小正周期为π；C选项，先用半角公式，辅助角公式化简整理，再得出结论．

【详解】由于函数y＝sinx的周期为2π，故排除A；

由于函数y＝sinx的周期为2π，故的图像是在y＝sinx图像位于x轴下方部分对称翻折到x轴上方，图象如下：

可以看出周期为π，故B满足条件；

由于函数，

其中，，θ为锐角，故它的周期为，故C满足条件；

由于y＝tanx﹣1的周期为π，故D满足条件，

故选：BCD．

10．下列结论正确的是（    ）

A．是第三象限角

B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为

C．若角的终边上有一点，则

D．若角为锐角，则角为钝角

【答案】BC

【分析】A中，由象限角的定义即可判断；

B中，由弧长公式先求出半径，再由扇形面积公式即可；

C中，根据三角函数的定义即可判断；

D中，取即可判断.

【详解】选项A中，，是第二象限角，故A错误；

选项B中，设该扇形的半径为，则，∴，∴，故B正确；

选项C中，，，故C正确；

选项D中，取，则是锐角，但不是钝角，故D错误．

故选：BC．

11．已知，，则（    ）

A． B．为锐角

C． D．

【答案】ACD

【分析】由诱导公式可判断A，由正切函数的定义可判断B，由正切函数的两角和公式可判断C，由二倍角公式可判断D.

【详解】对于A，∵，，∴，故A正确；

对于B，∵，∴为第一象限角或第三象限角，故B错误；

对于C，∵，∴，故C正确；

对于D，∵，，∴，故D正确.

故选：ACD

12．已知函数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的最大值为2 B．的最小正周期为

C．的图像关于直线对称 D．的图像关于点对称

【答案】ABC

【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再对其性质逐一判断即可.

【详解】因为，

所以的最大值为2，故A正确.

最小正周期是，故B正确.

将代入，可得，则其图像关于直线对称，故C正确.

当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.

故选: ABC.

三、填空题

13．写出一个同时具有性质①；②的函数______（注：不是常数函数）．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据函数的周期性以及特殊值求得正确答案.

【详解】由知函数以为周期，又，

所以满足条件．

（其他符合题意的答案均可，如，等．）

故答案为：（答案不唯一）

14．已知都是锐角，，则___________.

【答案】##

【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.

【详解】、为锐角，

，

，

由于为锐角，

故答案为：

15．函数的值域为_____________．

【答案】

【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.

【详解】令，，

则，即，

所以，

又因为，所以，

即函数的值域为．

故答案为：.

16．已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正偶数x为___________.

【答案】4

【分析】先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正偶数.

【详解】由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以.

因为，；

所以由可得；

由，即，

∴或，

解得或，

令，可得或，

所以最小正偶数为4.

故答案为：4.

四、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2)2.

【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的正弦公式结合正余弦齐次式法计算作答.

（2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式计算作答.

（1）

因，则.

（2）

因，则，又，

所以．

18．已知函数．

(1)化简；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，利用诱导公式化简的解析式即可求解．

（2）由题意，可得，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系即可求解．

（1）

解：.

（2）

解：，，即，，

故．

19．已知，且满足___________.从①；②；③.三个条件中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答补充完整的题目.

(1)求的值：

(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.

【答案】(1)详见解析；

(2).

【分析】（1）由题可得选①不合题意，若选②利用同角关系式可得，进而可求，若选③，利用同角关系式可求的值，即得；

（2）由题可得，即求.

（1）

若选择①，∵，

∴，与矛盾；

若选择②，，则，

∴，又，，

∴，，

∴；

若选择③，∵，又，

∴，，

∴，

∴；

（2）

由题可得，

∴.

20．已知函数的图象关于轴对称．

(1)求的值；

(2)若函数在上单调递减，试求当取最小值时，的值．

【答案】(1)或；

(2)0.

【分析】（1）根据对称性，及余弦函数的性质可得，结合参数范围求.

（2）根据（1）的结论及区间单调性可得，进而求的范围，利用余弦函数的周期性求取最小值目标式的函数值.

（1）

∵的图象关于轴对称，

∴，即，

∴，而，

∴或．

（2）

若，则，则不满足在上单调递减．

若，则，

由，，得．

∵在上单调递减，

∴，则．

当时，的最小正周期，

∴

．

21．如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面的最近处．

（1）已知在t(min)时点P距离地面的高度为，求t=2019时，点P距离地面的高度．

（2）当离地面（）m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P处有多少时间可以看到公园的全貌．

【答案】（1）10m；（2）0.5min.

【分析】（1）由题意求出A、h、T和ω、φ的值，写出f（t）的解析式，计算f（2019）的值即可．

（2）令f（t）＞50+20，求出t的取值范围，再求转一圈中在点P处有多长时间可以看到公园的全貌．

【详解】解：（1）依题意知，A＝40，h＝50，T＝3，

由T＝＝3，解得ω＝，

所以f（t）＝40sin（t+φ）+50．

因为f（0）＝10，所以sinφ＝﹣1，

又|φ|≤，所以φ＝﹣．

所以f（t）＝40sin（t﹣）+50（t≥0），

所以f（2019）＝40sin（×2019﹣）+50＝10．

即t＝2019时点P距离地面的高度为10m．

（2）由（1）知f（t）＝40sin（t﹣）+50＝50﹣40cost（t≥0）．

令f（t）＞50+20，即cost＜﹣，

解得2kπ+＜t＜2kπ+（k∈N*），

即3k+＜t＜3k+（k∈N*）．

又3k+﹣（3k+）＝＝0.5（k∈N*），

所以转一圈中在点P处有0.5min的时间可以看到公园的全貌．

22．设函数

(1)若，，求角；

(2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件：

(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)或

(2)

(3)当时，（且）；当时，，

【分析】（1）先化简，由可得或，，再结合的范围即可求解；

（2）由余弦函数的单调性和参数分离、对勾函数的单调性, 可得所求范围;

（3）由三角函数的图象变换可得 , 再由两角和的正弦公式和恒等式的性质, 解方程可得所求范围.

(1)

由题意可知

∵，

或，

∵

∴或

(2)

令，

∴，，

，

令，

∴，

解得：；

(3)

∵，

∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，

可得

∵，存在非零常数，对任意的，

成立，在上的值域为，在上的值域为

∴

当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．所以，即（且）

当时，

由诱导公式可得，

即，

所以当时，（且）；

当时，，