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初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.2 一元一次不等式精品练习
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这是一份初中数学人教版七年级下册第九章 不等式与不等式组9.2 一元一次不等式精品练习，文件包含同步讲义人教版数学七年级下册专题91-2不等式与一元一次不等式八大核心考点111题学生版docx、同步讲义人教版数学七年级下册专题91-2不等式与一元一次不等式八大核心考点111题教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共95页， 欢迎下载使用。
专题9.1-2不等式与一元一次不等式
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1、不等式的性质：
①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么； 如果，那么 ；
如果，那么； 如果，那么 。
②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
2、解一元一次不等式
3、一元一次不等式的应用
考点精讲
考点1：不等式的定义和意义
典例：10．（2022秋·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3)减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
方法或规律点拨
本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成 B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成 D．x与2的和是非负数，可表示成
3．（2023春·全国·七年级专题练习）x是不大于2021的正数，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人
5．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）用不等式表示“与3的和不小于1”为___________．
6．（2023秋·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校考期末）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为___________．
7．（2023春·八年级课时练习）“的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）用不等式表示：
（1）与的差为非负数：_____________；
（2）a与b的的和不超过2：__________________．
9．（2023春·八年级课时练习）用不等式表示：
(1)0大于．
(2)x减去y不大于．
(3)a的倍与的和是非负数．
(4)a的与b的平方的和为正数．
考点2：不等式性质
典例：（2023春·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
方法或规律点拨
此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）下列不等式的变形不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2023春·七年级单元测试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）已知“”，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）若，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）若不等式，两边同时除以，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）已知两个有理数a和b，满足的关系是，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知a，b，c均为实数，若，．下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
考点3：不等式的解集
典例：（2023春·广东深圳·八年级深圳市光明区高级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
方法或规律点拨
本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级吉林省实验校考阶段练习）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2023春·广东佛山·八年级佛山市顺德区梁开初级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列数是不等式的一个解的是（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（2023春·七年级单元测试）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列变形中正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
6．（2023·甘肃兰州·统考一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·吉林·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·安徽·七年级期中）一元一次不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023春·福建三明·八年级统考期中）不等式的解集是______．
10．（2023·上海·模拟预测）设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{-2，-2}＝-2，max{-1，2}＝2，max{3，2}＝3．参照上面的材料，如果max{-2x+1，-x+2}＝-x+2，那么x的取值范围是 _____．
考点4：解一元一次不等式
典例：（2023春·山西晋中·八年级统考期中）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得，………………………………第一步去括号，得……………………………………………第二步
移项、合并同类项，得，…………………………………………第三步
两边都除以3，得．………………………………………………第四步
任务一：填空：
①以上运算步骤中，去分母的依据是________；
②第二步变形所依据的运算律是________；
③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请直接写出正确的计算结果．
方法或规律点拨
本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·广东广州·统考一模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
2．（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）用不等式的性质解不等式：，并在数轴上表示解集．
3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）解不等式：，并写出它的正整数解．
4．（2023春·山东菏泽·八年级菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考阶段练习）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
5．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）解不等式：
6．（2022春·广东江门·八年级统考阶段练习）求一元一次不等式的负整数解．
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中是两个关于的二项式．
(1)直接写出二项式和，并求出该题目的最后运算结果；
(2)若，求的最小整数值．
8．（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．
9．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数．
例如：
(1)___________，___________（用含的代数式表示）
(2)若，求的最小整数值．
考点5：一元一次不等式的实际应用问题
典例：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）某服装厂加工A、两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元．
(1)A、两种运动服各加工多少件？
(2)两种运动服共计100件送到商场销售，A种运动服的售价为200元，种运动服的售价为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定，余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后，若共获利高于10520元，则A种运动服至少卖出多少件时才可以打折销售？
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出方程组解答．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，至少可获得12%的利润，若设该商品的原价是元，则列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42颗 B．43颗 C．57颗 D．58颗
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）某种商品的进价为300元，要保证利润率不低于10%，则售价至少是（ ）
A．330元 B．320元 C．310元 D．300元
4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．七点五折 D．八折
5．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：①篮球的数量必须比足球的数量多；②排球数量必须是足球数量的倍，则学校最多能购买足球（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售．
7．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在同年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，请列出符合题意的一元一次不等式_______．
8．（2023春·陕西西安·八年级校联考阶段练习）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯子中（如图2），结果水没有满．设每颗玻璃球的体积为．请列出不等式：______．
9．（江西省新余市2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷）春运期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票．同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增人，每分钟每个窗口出售票数张．（规定每人只限购一张）
(1)若开放两个售票窗口，问开始售票后多少分钟售票厅内有人？
(2)若在开始售票分钟后，来购票的旅客不用排队等待，至少需要开放几个窗口？
10．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
(1)求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
(2)现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
旅行社
团体优惠条件
A
A成人全价购票，儿童可免费
B
B成人8折购票，小孩半价购票
11．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）某社会团体准备购进、两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件种防护服和4件种防护服需要6000元，购进10件种防护服和3件种防护服需要8000元．
(1)求种防护服和种防护服每件各多少元？
(2)实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买40件种防护服和件种防护服．请问如何购买选择方案二更合算
12．（2023·广东广州·统考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
(1)求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？
13．（2022春·广东江门·八年级统考阶段练习）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
(3)养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
14．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向疫区运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
2
3
22
第二次
4
5
40
(1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
(2)由于疫情的持续，该公司安排甲、乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于吨，请问该公司应至少安排甲种货车多少辆？
15．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200干克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
(2)该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的，大樱桃的售价最少应为多少？
16．（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）为把市建成秀美、宜居的生态城市，市政府欲购买甲、乙、丙三种风景树美化环境．已知甲、乙、丙三种风景树的价格之比为，甲种风景树每棵元．若计划用元资金，购买这三种风景树共棵，求丙种风景树最多可以购买多少棵？
17．（2023·湖南衡阳·模拟预测）某班级为优秀小组购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．到文教店查看定价后发现，若购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元；若购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价；
(2)经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠．如果该班级需要自动铅笔的支数比钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过680元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
18．（2023·河南安阳·统考一模）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
考点6：用一元一次不等式解决几何问题
典例：（2022春·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）如图1，平面甶角坐标系中，点A在第一象限，轴于B，轴于C，，且a，b满足．
(1)直接写出点A的坐标________．
(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿射线OC方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO方向运动，设运动时间为t，当三角形AOD的面积小于三角形AOE的面积时，求t的取值范围；
(3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点N落在第二象限，设点M的坐标为，请直接用含m的式子表示点N的坐标．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用，平移的性质，掌握以上知识是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·安徽·模拟预测）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问：
(1)求点C的坐标．
(2)点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
(3)是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：．
(1)求、、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023春·八年级课时练习）已知平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(2，0)，且满足，线段AB交y轴于点F．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)求三角形ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一动点，且三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，求出点P的坐标必须满足什么条件？
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
(1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______．
(2)求射线OQ返回时t的值取值范围．
(3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围．
（注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围）
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，分别连接AF，CE．设点E运动时间为t，其中t>0．
(1)若∠BAF <∠BAC，则t的取值范围是_______
(2)当t为何值时，AE=CF；
(3)是否存在某一时刻t，使S△ABF +S△ACE =S△ABC．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
8．（2022春·山东德州·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是x轴、y轴上的点，若3是的立方根，也是的算术平方根，且，，将点B向左平移18个单位长度得到点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M、N分别为线段BC、OA上的两个动点，点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点N从点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒（）．
①当时时，求t的值；
②是否存在一段时间，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
9．（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）在单位长度为1的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形．格点多边形的面积记为S，边上的格点数记为L，内部的格点数记为N．如图一，多边形ABCDE边上的格点数，内部的格点数．奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积S与边上的格点数L、内部的格点数N三者有确定的数量关系．
【实验探索】
（1）如图二，探索时，格点多边形中S与L的关系：______________；
（2）如图三，探索时，格点多边形中S与L的关系：______________；
（3）如图四，探索时，格点多边形中S与L的关系：________________．（可尝试再画一些图）
【猜想结论】
格点多边形面积S与内部格点数N、边上格点数L三者的数量关系：______________．
【学以致用】
（1）请算出图一中格点多边形的面积是______________；
（2）一个格点多边形的面积为15，且边上的格点数是内部格点数的2倍，则内部格点数是多少？
（3）一个格点六边形，面积为8，则这个六边形内部格点数最多几个？
考点7：含有字母系数的一元一次不等式
典例：（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ______ ．
方法或规律点拨
此题考查了不等式的解集，解答本题的关键是得出和的数量关系及和的正负情况，有一定难度，注意不等式求解的步骤．
巩固练习
1．（2023·山东滨州·统考一模）如果关于x的不等式的解集为，则a的值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2022春·四川绵阳·七年级校联考期中）若不等式的解集能使关于x的一次不等式成立，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽·校联考一模）已知一关于x的不等式的解集是，那么这个关于x的不等式的解集为__________．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是___________．
5．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）关于的不等式（其中为正整数）正整数解为，，，则的值是_________．
6．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则________．
84．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）不等式的解为，则的取值范围是______．
考点8：一元一次方程与不等式的综合问题
典例：（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）二元一次方程组的解满足不等式，求a的取值范围．
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·广东佛山·八年级佛山市顺德区梁开初级中学校联考期中）关于的方程解为正数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知关于、的二元一次方程，下表列出了当分别取值时对应的值．则关于的不等式的解集为（ ）
…
-1
0
1
2
3
…
…
3
2
1
0
…
A． B． C． D．
3．（2022春·海南海口·七年级校考期中）已知二元一次方程，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东济宁·统考一模）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为______．
5．（2023春·广东中山·九年级校考阶段练习）若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为_________．
6．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的最大整数值为______．
7．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知关于的方程的解为负数，求的取值范围．
8．（2022春·四川绵阳·七年级校联考期中）关于x，y的方程组．
(1)解方程组（含m的式子表示解）；
(2)方程组的解满足，求m的范围．
9．（2023春·安徽合肥·七年级合肥38中校考期中）对于实数，，我们定义符号，的意义为：当时，，，当时，，，如：，，，．根据上面的材料，回答下列问题：
（1） ________；
（2）当时，x的取值范围是________．
10．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）已知．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)若，且，求x的取值范围．
11．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）定义：对于任意实数a，b，关于☆的一种运算如下，例如，．
(1)若，求x的取值范围；
(2)已知关于x的方程的解满足，求m的取值范围．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解是3 B．3是不等式的解
C．不等式的解集是 D．是不等式的解集
3．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）某商店分别购进单价为每斤元的甲种糖果30斤，单价为每斤元的乙种糖果20斤，商店以每斤元的价格全部卖完后，结果发现没有赚钱，其原因是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）关于，的方程组的解满足的值不大于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
二、填空题（每题3分）
7．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”）
8．（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于．若打x折，则可列不等式___________．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，该数轴表示的不等式的解集为___________．
10．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是__________．
11．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）关于x的一元一次不等式的解集为，则m的值是_____．
12．（2020·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，Q点坐标为；当时，Q点坐标为．
（1）的变换点坐标是_____________．
（2）若的变换点坐标是，则m的最大值是_____________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）解不等式：并把它的解集在数轴上表示出来．
14．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）某服装店销售一批进价分别为200元，170元的，两款T恤衫，下表是近两天的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
第1天
3件
5件
1800元
第2天
6件
8件
3180元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
(1)求，两款T恤衫的销售单价；
(2)若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，则款T恤衫最多能购进多少件？
(3)在（2）的条件下，销售完这30件T恤衫能否实现利润不少于1290元的目标？若能，写出相应的采购方案；为了使进货成本最少，应选择哪种方案？
15．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．
（Ⅰ）直接写出三个点的坐标；
（Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积；
（Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围．
专题9.1-2不等式与一元一次不等式
目标导航
1、不等式的性质：
①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么； 如果，那么 ；
如果，那么； 如果，那么 。
②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。
用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)；
如果，那么(或)；如果，那么(或)；
2、解一元一次不等式
3、一元一次不等式的应用
考点精讲
考点1：不等式的定义和意义
典例：10．（2022秋·八年级课时练习）根据下列数量关系列不等式：
(1)a是正数．
(2)y的2倍与6的和比1小．
(3)减去10不大于10．
(4)设a，b，c为一个三角形的三条边长，两边之和大于第三边．
方法或规律点拨
本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键
巩固练习
1．（2023春·全国·七年级专题练习）在下列数学表达式：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．a不是负数，可表示成 B．x不大于3，可表示成
C．m与4的差是负数，可表示成 D．x与2的和是非负数，可表示成
3．（2023春·全国·七年级专题练习）x是不大于2021的正数，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（ ）
A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人
C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人
5．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）用不等式表示“与3的和不小于1”为___________．
6．（2023秋·浙江宁波·八年级宁波市第七中学校考期末）“a的一半与3的和小于2”用不等式表示为___________．
7．（2023春·八年级课时练习）“的3倍与的差是负数”用不等式表示为_______．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）用不等式表示：
（1）与的差为非负数：_____________；
（2）a与b的的和不超过2：__________________．
9．（2023春·八年级课时练习）用不等式表示：
(1)0大于．
(2)x减去y不大于．
(3)a的倍与的和是非负数．
(4)a的与b的平方的和为正数．
考点2：不等式性质
典例：（2023春·全国·七年级专题练习）把下列各不等式化成“”或“”的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
方法或规律点拨
此题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）下列不等式的变形不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．（2023春·全国·七年级专题练习）下列不等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2023春·七年级单元测试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）已知“”，则下列不等式中，不成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）若，则下列各式错误的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·全国·七年级专题练习）若不等式，两边同时除以，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·北京海淀·北理工附中校考模拟预测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·全国·七年级专题练习）已知两个有理数a和b，满足的关系是，则下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知a，b，c均为实数，若，．下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
考点3：不等式的解集
典例：（2023春·广东深圳·八年级深圳市光明区高级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
方法或规律点拨
本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·吉林长春·七年级吉林省实验校考阶段练习）若关于x的不等式的解集如图所示，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2023春·广东佛山·八年级佛山市顺德区梁开初级中学校联考期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列数是不等式的一个解的是（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（2023春·七年级单元测试）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列变形中正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
6．（2023·甘肃兰州·统考一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·吉林·一模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·安徽·七年级期中）一元一次不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023春·福建三明·八年级统考期中）不等式的解集是______．
10．（2023·上海·模拟预测）设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{-2，-2}＝-2，max{-1，2}＝2，max{3，2}＝3．参照上面的材料，如果max{-2x+1，-x+2}＝-x+2，那么x的取值范围是 _____．
考点4：解一元一次不等式
典例：（2023春·山西晋中·八年级统考期中）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：去分母，得，………………………………第一步去括号，得……………………………………………第二步
移项、合并同类项，得，…………………………………………第三步
两边都除以3，得．………………………………………………第四步
任务一：填空：
①以上运算步骤中，去分母的依据是________；
②第二步变形所依据的运算律是________；
③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________；
任务二：请直接写出正确的计算结果．
方法或规律点拨
本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·广东广州·统考一模）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
2．（2023春·江西九江·八年级濂溪一中校考阶段练习）用不等式的性质解不等式：，并在数轴上表示解集．
3．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）解不等式：，并写出它的正整数解．
4．（2023春·山东菏泽·八年级菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考阶段练习）解不等式，并把不等式的解集表示在数轴上．
(1)；
(2)．
5．（2023春·安徽宿州·九年级统考期中）解不等式：
6．（2022春·广东江门·八年级统考阶段练习）求一元一次不等式的负整数解．
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中是两个关于的二项式．
(1)直接写出二项式和，并求出该题目的最后运算结果；
(2)若，求的最小整数值．
8．（2023·陕西咸阳·校考二模）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．
9．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）约定：上方相邻两个数之和等于这两个数下方箭头共同指向的数．
例如：
(1)___________，___________（用含的代数式表示）
(2)若，求的最小整数值．
考点5：一元一次不等式的实际应用问题
典例：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）某服装厂加工A、两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元．
(1)A、两种运动服各加工多少件？
(2)两种运动服共计100件送到商场销售，A种运动服的售价为200元，种运动服的售价为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定，余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后，若共获利高于10520元，则A种运动服至少卖出多少件时才可以打折销售？
方法或规律点拨
本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用，关键是根据题意列出方程组解答．
巩固练习
1．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）一件商品的成本价是50元，如果按原价的八五折销售，至少可获得12%的利润，若设该商品的原价是元，则列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·山西运城·八年级山西省运城市实验中学校考期中）春到人间，绿化争先．为增强师生的环境保护意识，提升学生的劳动实践能力，某学校开展了以“建绿色校园，树绿色理想”为主题的植树活动，决定用不超过4200元购买甲、乙两种树苗共100颗，已知甲种树苗每颗45元，乙种树苗每颗38元，则至少可以购买乙种树苗（ ）
A．42颗 B．43颗 C．57颗 D．58颗
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）某种商品的进价为300元，要保证利润率不低于10%，则售价至少是（ ）
A．330元 B．320元 C．310元 D．300元
4．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）新年到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ）
A．六折 B．七折 C．七点五折 D．八折
5．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：①篮球的数量必须比足球的数量多；②排球数量必须是足球数量的倍，则学校最多能购买足球（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2023春·山西晋中·八年级统考期中）台灯的光亮照射范围相对比较集中，便于阅读、学习、工作且节省能源．某款稻草人小台灯进价10元，标价15元，商店为了促销，决定打折销售，但每台利润不少于2元，则最多可打________折销售．
7．（2023春·山西太原·八年级太原五中校考阶段练习）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在同年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，请列出符合题意的一元一次不等式_______．
8．（2023春·陕西西安·八年级校联考阶段练习）如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯子中（如图2），结果水没有满．设每颗玻璃球的体积为．请列出不等式：______．
9．（江西省新余市2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷）春运期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票．同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增人，每分钟每个窗口出售票数张．（规定每人只限购一张）
(1)若开放两个售票窗口，问开始售票后多少分钟售票厅内有人？
(2)若在开始售票分钟后，来购票的旅客不用排队等待，至少需要开放几个窗口？
10．（2023春·全国·七年级专题练习）甲、乙两个家庭计划利用“五一”假期到某景区旅游，已知甲家庭人数比乙家庭人数多4人，且甲家庭人数的2倍恰好等于乙家庭人数的3倍．
(1)求甲、乙两家庭的人数分别有多少人？
(2)现有A，B两个旅行社，他们的报价相同，都是成人票价200元，儿童票价120元．同时，他们都规定：团体人数不少于15人，可按表格中的优惠条件购票．设两个家庭共有m名儿童，若他们组团旅游，则选择哪一家旅行社支付旅游费用较少？
旅行社
团体优惠条件
A
A成人全价购票，儿童可免费
B
B成人8折购票，小孩半价购票
11．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）某社会团体准备购进、两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件种防护服和4件种防护服需要6000元，购进10件种防护服和3件种防护服需要8000元．
(1)求种防护服和种防护服每件各多少元？
(2)实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买40件种防护服和件种防护服．请问如何购买选择方案二更合算
12．（2023·广东广州·统考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
(1)求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？
13．（2022春·广东江门·八年级统考阶段练习）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
甲
乙
成本
1.2元/只
0.4元/只
售价
1.8元/只
0.6元/只
(1)若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
(2)如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
(3)养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案．
14．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨逆行走向战场外，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲，乙两种货车向疫区运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车辆数
乙种货车辆数
合计运物资吨数
第一次
2
3
22
第二次
4
5
40
(1)求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨物资；
(2)由于疫情的持续，该公司安排甲、乙货车共10辆进行第三次物资的运送，运送的物资不少于吨，请问该公司应至少安排甲种货车多少辆？
15．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200干克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？
(2)该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的，大樱桃的售价最少应为多少？
16．（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）为把市建成秀美、宜居的生态城市，市政府欲购买甲、乙、丙三种风景树美化环境．已知甲、乙、丙三种风景树的价格之比为，甲种风景树每棵元．若计划用元资金，购买这三种风景树共棵，求丙种风景树最多可以购买多少棵？
17．（2023·湖南衡阳·模拟预测）某班级为优秀小组购买奖品，计划购买同一品牌的钢笔和自动铅笔．到文教店查看定价后发现，若购买2支钢笔和5支自动铅笔共需75元；若购买3支钢笔和2支自动铅笔共需85元．
(1)求该品牌的钢笔、自动铅笔每支的定价；
(2)经协商，文教店给予该班级购买一支该品牌钢笔赠送一支自动铅笔的优惠．如果该班级需要自动铅笔的支数比钢笔的支数的2倍还多8支，且班级购买钢笔和自动铅笔的总费用不超过680元，那么该班级最多可购买多少支该品牌的钢笔？
18．（2023·河南安阳·统考一模）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元，购买副乒乓球拍和副羽毛球拍共需要元．
(1)购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
(2)已知该中学需要购买两种球拍共副，羽毛球拍的数量不超过副．现商店推出两种购买方案，方案：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
考点6：用一元一次不等式解决几何问题
典例：（2022春·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考期末）如图1，平面甶角坐标系中，点A在第一象限，轴于B，轴于C，，且a，b满足．
(1)直接写出点A的坐标________．
(2)如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿射线OC方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO方向运动，设运动时间为t，当三角形AOD的面积小于三角形AOE的面积时，求t的取值范围；
(3)如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点N落在第二象限，设点M的坐标为，请直接用含m的式子表示点N的坐标．
方法或规律点拨
本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用，平移的性质，掌握以上知识是解题的关键．
巩固练习
1．（2023·安徽·模拟预测）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是，．其中a，b满足，将点B向左平移16个单位长度得到点C．当线段上的动点M从点B以每秒1个单位长度的速度向左平移时，线段上的动点N同时从点A以每秒2个单位长度的速度向右平移，连接，，，设运动时间为t（）．问：
(1)求点C的坐标．
(2)点M，点N在同时运动过程中，和的面积比会不会改变？若不会改变，请求出这个比值，若会改变，请说明理由．
(3)是否存在某个时间t，使得四边形的面积小于四边形面积的一半？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．
3．（2022秋·八年级课时练习）如图，在下面直角坐标系中，已知，，三点，其中、、满足关系式：．
(1)求、、的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在的条件下，是否存在负整数，使四边形的面积不小于面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023春·八年级课时练习）已知平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，3)，C(2，0)，且满足，线段AB交y轴于点F．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
(2)求三角形ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一动点，且三角形ABP的面积大于三角形ABC的面积，求出点P的坐标必须满足什么条件？
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知∠AOB＝120°，射线OP从OA位置出发，以每秒2°的速度顺时针向射线OB旋转；与此同时，射线OQ以每秒6°的速度，从OB位置出发逆时针向射线OA旋转，到达射线OA后又以同样的速度顺时针返回，当射线OQ返回并与射线OP重合时，两条射线同时停止运动．设旋转时间为t秒．
(1)当t＝5时，则∠POQ的度数是______．
(2)求射线OQ返回时t的值取值范围．
(3)在旋转过程中，当时，求t的取值范围．
（注：此题主要考查，把不等式变等式来求，分三种情况，求相遇，相距30度的t，再写三个不等式范围）
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在△ABC中，BC=6cm．射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以2cm/s的速度运动，当点E出发1s后，点F也从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度运动，分别连接AF，CE．设点E运动时间为t，其中t>0．
(1)若∠BAF <∠BAC，则t的取值范围是_______
(2)当t为何值时，AE=CF；
(3)是否存在某一时刻t，使S△ABF +S△ACE =S△ABC．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为．
(1)写出用表示的式子______．当时，求的值；
(2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围．
8．（2022春·山东德州·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B是x轴、y轴上的点，若3是的立方根，也是的算术平方根，且，，将点B向左平移18个单位长度得到点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)点M、N分别为线段BC、OA上的两个动点，点M从点B以1个单位长度/秒的速度向左运动，同时点N从点A以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒（）．
①当时时，求t的值；
②是否存在一段时间，使得？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
9．（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）在单位长度为1的网格中，如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形．格点多边形的面积记为S，边上的格点数记为L，内部的格点数记为N．如图一，多边形ABCDE边上的格点数，内部的格点数．奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积S与边上的格点数L、内部的格点数N三者有确定的数量关系．
【实验探索】
（1）如图二，探索时，格点多边形中S与L的关系：______________；
（2）如图三，探索时，格点多边形中S与L的关系：______________；
（3）如图四，探索时，格点多边形中S与L的关系：________________．（可尝试再画一些图）
【猜想结论】
格点多边形面积S与内部格点数N、边上格点数L三者的数量关系：______________．
【学以致用】
（1）请算出图一中格点多边形的面积是______________；
（2）一个格点多边形的面积为15，且边上的格点数是内部格点数的2倍，则内部格点数是多少？
（3）一个格点六边形，面积为8，则这个六边形内部格点数最多几个？
考点7：含有字母系数的一元一次不等式
典例：（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是 ______ ．
方法或规律点拨
此题考查了不等式的解集，解答本题的关键是得出和的数量关系及和的正负情况，有一定难度，注意不等式求解的步骤．
巩固练习
1．（2023·山东滨州·统考一模）如果关于x的不等式的解集为，则a的值可以是（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．（2022春·四川绵阳·七年级校联考期中）若不等式的解集能使关于x的一次不等式成立，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽·校联考一模）已知一关于x的不等式的解集是，那么这个关于x的不等式的解集为__________．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是___________．
5．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）关于的不等式（其中为正整数）正整数解为，，，则的值是_________．
6．（2023春·四川达州·八年级达州市通川区第八中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则________．
84．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）不等式的解为，则的取值范围是______．
考点8：一元一次方程与不等式的综合问题
典例：（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）二元一次方程组的解满足不等式，求a的取值范围．
方法或规律点拨
本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·广东佛山·八年级佛山市顺德区梁开初级中学校联考期中）关于的方程解为正数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知关于、的二元一次方程，下表列出了当分别取值时对应的值．则关于的不等式的解集为（ ）
…
-1
0
1
2
3
…
…
3
2
1
0
…
A． B． C． D．
3．（2022春·海南海口·七年级校考期中）已知二元一次方程，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·山东济宁·统考一模）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为______．
5．（2023春·广东中山·九年级校考阶段练习）若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为_________．
6．（2023春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的最大整数值为______．
7．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知关于的方程的解为负数，求的取值范围．
8．（2022春·四川绵阳·七年级校联考期中）关于x，y的方程组．
(1)解方程组（含m的式子表示解）；
(2)方程组的解满足，求m的范围．
9．（2023春·安徽合肥·七年级合肥38中校考期中）对于实数，，我们定义符号，的意义为：当时，，，当时，，，如：，，，．根据上面的材料，回答下列问题：
（1） ________；
（2）当时，x的取值范围是________．
10．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）已知．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)若，且，求x的取值范围．
11．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）定义：对于任意实数a，b，关于☆的一种运算如下，例如，．
(1)若，求x的取值范围；
(2)已知关于x的方程的解满足，求m的取值范围．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．不等式的解是3 B．3是不等式的解
C．不等式的解集是 D．是不等式的解集
3．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）某商店分别购进单价为每斤元的甲种糖果30斤，单价为每斤元的乙种糖果20斤，商店以每斤元的价格全部卖完后，结果发现没有赚钱，其原因是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）关于，的方程组的解满足的值不大于5，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
二、填空题（每题3分）
7．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）命题“若，则”是______命题．（填“真”或“假”）
8．（2023春·陕西西安·八年级西安市黄河中学校考阶段练习）某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于．若打x折，则可列不等式___________．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，该数轴表示的不等式的解集为___________．
10．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）若方程的解是负数，则m的取值范围是__________．
11．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）关于x的一元一次不等式的解集为，则m的值是_____．
12．（2020·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的“变换点”Q的坐标定义如下：当时，Q点坐标为；当时，Q点坐标为．
（1）的变换点坐标是_____________．
（2）若的变换点坐标是，则m的最大值是_____________．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）解不等式：并把它的解集在数轴上表示出来．
14．（2023春·吉林长春·七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）某服装店销售一批进价分别为200元，170元的，两款T恤衫，下表是近两天的销售情况：
销售时段
销售数量
销售收入
第1天
3件
5件
1800元
第2天
6件
8件
3180元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
(1)求，两款T恤衫的销售单价；
(2)若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，则款T恤衫最多能购进多少件？
(3)在（2）的条件下，销售完这30件T恤衫能否实现利润不少于1290元的目标？若能，写出相应的采购方案；为了使进货成本最少，应选择哪种方案？
15．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．
（Ⅰ）直接写出三个点的坐标；
（Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积；
（Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围．
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