高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念课时训练

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设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).
① 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；
② 把点P的纵坐标x叫做α的余弦函数，记作csα，即x=csα；
③ 把点P的纵坐标yx叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).
正弦函数fx=sinx, x∈R；余弦函数fx=csx, x∈R；正切函数fx=tanx, x≠kπ，
它们统称三角函数.
2 三角函数在各个象限的符号
根据三角函数定义可知它们在各个象限符号
(设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，csα符号看x，tanα符号看yx)
3 特殊角的三角函数值表
利用三角函数的定义求α=0、π2、π、2π时对应的三角函数值.
Eg 如图所示，α=π的终边在x轴的负半轴，与x轴交点为P(-1,0)，
则sinπ=0，csπ=-1，tanπ=0.
4 同角三角函数基本关系式
sin2 α+cs2 α=1 tanα=sinαcsα
拓展 sinα+csα2=1+2 sinαcsα； sinα-csα2=1-2 sinαcsα.
【题型一】求三角函数值
【典题1】 已知角α的终边与单位圆的交点为P(-45,35)，则2sinα+tanα= .
【解析】 角α的终边与单位圆的交点为P(-45,35)，则sinα=35，tanα=-34，
则2sinα+tanα=65-34=920．
【典题2】 已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2)，则sinθsinθ+csθ= .
【解析】 ∵角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2)，
∴tanθ=2，则sinθsinθ+csθ=tanθtanθ+1=22+1=23，
【点拨】
① P(1,2)不在单位圆上，故sinθ≠2，csθ≠1.
② 设α是任意角，它的终边上任意一点P(x,y)，它与原点的距离是r，
则sinα=yr,csα=xr,tanα=yx.
【题型二】确认三角函数的符号
【典题1】 sin2∙cs3∙tan4的值（ ）
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
【解析】 因为π2<2<π，π2<3<π,π<4<3π2，
所以2、3是第二象限角，4是第三象限角，
所以sin2>0，cs3<0，tan4>0，
从而sin2∙cs3∙tan4<0，选A.
【典题2】若csθ<0且tanθ<0，则θ2终边在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限
【解析】 ∵csθ<0 ,∴θ是第二或三象限，
∵tanθ<0，∴θ是第二或四象限，
∴θ是第二象限，即2kπ+π2<θ<2kπ+π，
∴kπ+π4<θ2∴可得θ2终边在第一或第三象限．故选：C．
【题型三】同角三角函数基本关系式
【典题1】 已知α∈(0,π)，tanα=－2，则csα= .
【解析】 方法1
∵tanα=-2，∴sinαcsα=-2，即sinα=-2csα，
又sin2α+cs2α=1⇒csα=±55，
∵α∈0，π，且tanα=-2<0，
∴α为第二象限角，∴csα<0，
∴csα=-55.
方法2 ∵tanα=-2 ，构造直角三角形Rt△ABC如下图，
在直角三角形中，csα=BCAC=15=55，
∵α∈0，π，且tanα=-2<0
∴α为第二象限角，
∴csα<0 ∴csα=-55.
【点拨】
① 若知sinα、csα、tanα三者中一个的值，可求另外两个的值，即“知一得二”；
② 在非解答题中用方法二解题速度更快些，只是要多留意三角函数的符号.
【典题2】已知sinθ、csθ是关于x的方程x2-22ax+a=0的两个根．
(1)求实数a的值；(2)若θ∈(-π2,0)，求sinθ-csθ的值．
【解析】(1)∵sinθ、csθ是方程x2-22ax+a=0的两个实根，
∴sinθ+csθ=22a ①，sinθcsθ=a ②，
△=b2-4ac=8a2-4a≥0，即a≤0或a≥12，
∴sinθ+csθ2=1+2sinθcsθ=1+2a=8a2，
即8a2-2a-1=0，解得a=-14或12．
(2)∵θ∈(-π2,0)，
∴sinθ<0，csθ>0，可得sinθcsθ=a<0，由(1)可得a=-14，
∴sinθcsθ=-14，
∴sinθ-csθ2=1-2sinθcsθ=1+12=32，
又sinθ-csθ<0 ∴ sinθ-csθ=-62.
(注意判断sinθ－csθ的正负)
【点拨】
① sinα+csα2=1+2 sinαcsα； sinα-csα2=1-2 sinαcsα.
② sinθ+csθ、sinθ－csθ、sinθcsθ也是“知一得二”.
【典题3】已知tanα是关于x的方程2x2-x-1=0的一个实根，且α是第三象限角．
(1) 求2sinα-csαsinα+csα的值；
(2) 求3sin2α-sinαcsα+2cs2α的值．
【解析】(1)∵tanα是关于x的方程2x2-x-1=0的一个实根，且α是第三象限角，
∴tanα=1或tanα=-12(舍去)，
∴2sinα-csαsinα+csα=2tanα-1tanα+1=12．
(2)3sin2α－sinαcsα+2cs2α
=3sin2α-sinαcsα+2cs2αsin2α+cs2α
=3tan2α-tanα+2tan2α+1
=3-1+22=2．
【点拨】
① 弦化切技巧
若已知tanα，可求a∙sinα+b∙csαc∙sinα+d∙csα或a∙sin2α+b∙sinαcsα+c∙cs2αd∙sin2α+e∙sinαcsα+f∙cs2α分子分母齐次的形式，可分子分母同
除以csα或cs2α，化为关于tanα的式子.
② 本题巧妙利用了sin2α+cs2α=1，当遇到类似3sin2α－sinαcsα+2cs2α化为分子分母齐次的形式.对sin2α+cs2α=1的巧用要注意.
③ 本题若是选择填空题当然也可以通过tanα=1，求出sinα、csα的值，容易想到且计算量也不大，值得考虑.
【典题4】 已知3sinα+4csα=5，求tanα.
【解析】方法1 解方程组法
由3sinα+4csα=5sin2α+cs2α =1得25sin2α-30sinα+9=0，解得sinα=35，
∴csα=45 ∴tanα=34.
方法2 “对偶式”法
设4sinα-3csα=x，等式两边平方得16sin2α-24sinαcsα+9cs2α=x2 ①
将3sinα+4csα=5两边平方，得9sin2α+24sinαcsα+16cs2α=25 ②
由①+②得，25=x2+25，解得x=0，
∴4sinα-3csα=0 ∴4sinα=3csα ∴tanα=34
方法3 “弦化切”法
将3sinα+4csα=5两边平方，得9sin2α+24sinαcsα+16cs2α=25
即9sin2α+24sinαcsα+16cs2αsin2α+cs2α=25，
即9tan2α+24tanα+16tan2α+1=25，解得tanα=34.
巩固练习
1(★) 已知角α的项点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P(2,-1)在角α的终边上，则tanα=( )
A．2B．12C．-12D．－2
【答案】C
【解析】∵点P(2,－1)在角α的终边上，∴tanα=-12=-12，故选：C．
2(★) 若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是( )
A．sinθ2>0 B．csθ2>0 C．tanθ2>0 D．sinθ2csθ2<0
【答案】 C
【解析】∵θ为第二象限角，∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z．
则π4+kπ<θ2<π2+kπ，k∈Z，
∴θ为一或三象限角，得tanθ2>0．故选：C．
3(★) 已知csα=-45，且α为第二象限角，那么tanα= .
【答案】 -34
【解析】∵csα=-45，且α为第二象限角，
∴sinα=1-cs2α=35，则tanα=sinαcsα=-34，
4(★) 如果角θ满足sinθ+csθ=2，那tanθ+1tanθ= .
【答案】 2
【解析】∵sinθ+csθ=2，∴1+2sinθcsθ=2，即sinθcsθ=12，
那么tanθ+1tanθ=sinθcsθ+csθsinθ=1sinθcsθ=2，
5(★★) 已知α∈(π2,π)，且sinα+csα=15，则sinα－csα= .
【答案】75
【解析】∵sinα+csα=15，
∴两边平方，可得1+2sinαcsα=125，可得2sinαcsα=-2425，
∵α∈(π2,π)，
∴可得sinα>0，csα<0，可得sinα－csα>0，
∴sinα－csα=(sinα-csα)2=1-2sinαcsα=1-(-2425)=75．
6(★★) 若α∈(π2,π)，且cs2α-sinα=14，则tanα= .
【答案】 -33
【解析】∵cs2α-sinα=14，∴4(1－sin2α)－4sinα－1=0，
即4sin2α+4sinα－3=0，∴解得sinα=12或sinα=-32(舍)．
∵α∈(π2,π)，∴α=5π6，∴tanα=tan5π6=-33．
7(★★) 已知tanα=2，则1sin2α-cs2α= .
【答案】 53
【解析】∵tanα=2，
∴1sin2α-cs2α=sin2α+cs2αsin2α-cs2α=tan2α+1tan2α-1=4+14-1=53．
8(★★) 若csθ－2sinθ=1，则tanθ= .
【答案】0或43
【解析】∵csθ－2sinθ=1，且sin2θ+cs2θ=1，
∴5sin2θ+4sinθ=0，∴sinθ=0或-45，
∴csθ=1或-35，则tanθ=0或43.
挑战学霸
若0【解析】如上图，在单位圆中，sinx=AB，tanx=CD，x=AD，
显然sinx 各象限点坐标的符号
α
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sinα
+
+
－
－
csα
+
－
－
+
tanα
+
－
+
－
α
0
π6
π4
π3
π2
2π3
3π4
5π6
π
3π2
2π
sinα
0
12
22
32
1
32
22
12
0
-1
0
csα
1
32
22
12
0
-12
-22
-32
-1
0
1
tanα
0
33
1
3
－
-3
-1
-33
0
－
0