高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换巩固练习

三角函数和差角公式

1 两角和差的正弦，余弦与正切公式

(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)

① 余弦两角和差公式

推导如下

如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴为非负半轴为始边作角，，，它们的终边分别与单位圆相较于点，连接，，若把扇形绕点旋转角，则点，分别与重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以.

根据两点间的距离公式，得

化简得             

而         

②正弦两角和差公式

推导如下

③正切两角和差公式

(由、可推导正切的和差角公式)

对公式中的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子

Eg：

对应公式，把；

②

对应公式，把，看成数字；

③，

对应公式，把分别.

对应公式的运用，注意整体变换的思想.

2 辅助角公式

其中.

熟记两个特殊角的化简过程

型，配

型，配

【题型一】和差角公式的基本运用

【典题1】 计算      .

【典题2】       .

【典题3】 若，且是方程的两个根，则      .

【典题4】已知，则　       ．

【典题5】 设，则(　　)

A． B． C． D．

【典题6】 在中，，，则的形状为　    　．

巩固练习

1(★) 　   ．

2(★) 若，且，则 　   ．

3(★) 已知：均为锐角，，，则　   ．

4 (★★) 在中，，则 　   ．

5(★★★) 设，若，)，且，则　   ．

6 (★★★) 设，，则的最大值为　   ．

7(★★★) 已知锐角满足，则的最小值为　   ．

【题型二】角的变换

【典题1】 若，，则 　   ．

【典题2】若，，且，，则的值是 .

【典题3】已知，，则的最大值为        .

巩固练习

1 (★★) 已知，且，，则　 　．

2 (★★) 若，，，则　　．

3 (★★) 若，，，，则 　　．

4 (★★) 已知，，均为锐角，则　 　．

5 (★★) 已知，，且，则的值　 　．

6 (★★) 若，，且，，则的值是　　．

【题型三】辅助角公式的运用

【典题1】 若，，则，的大小关系是　 　．

【典题2】 设当时，函数取得最小值，则　 ．

  【典题3】 已知函数图象的一条对称轴为，，且函数在上单调，则的最小值为      .

巩固练习

1(★★) 已知函数|的最小正周期为，则　  ．

2(★★) 是的内角，其中，则的取值范围是　 ．

3(★★) 若函数在上的值域为，则的取值范围为　 ．

4(★★★) 已知函数在(，)上仅有个最值，且是最大值，则实数的取值范围为　    ．  

5(★★★)已知函数对任意的，都有，若在上的值域为，则实数的取值范围为　 ．