新教材数学苏教版必修第一册第3章 3.3 3.3.2 第1课时　一元二次不等式及其解法 课件

3.3.2　从函数观点看一元二次不等式

第1课时　一元二次不等式及其解法

知识点1　一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，叫作一元二次不等式．

1．不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？

[提示]　此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．

知识点2　三个“二次”的关系

设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0．

2．若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？

[提示]　结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x＋1>0的解集为R，则解得a>，所以a∈使不等式ax2＋x＋1>0的解集为R．

思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)mx2－5x<0是一元二次不等式． (　　)

(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解． (　　)

(3)x＝1是一元二次不等式x2－2x＋1≥0的解． (　　)

(4)x2－>0为一元二次不等式． (　　)

[提示]　(1)×　当m＝0时，是一元一次不等式；

当m≠0时，它是一元二次不等式．

(2)×　因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R．

(3)√　因为x＝1能使不等式x2－2x＋1≥0成立．故该说法正确．

(4)×　因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有，故该说法错误．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

类型1　一元二次不等式的解法

【例1】　解下列不等式．

(1)x2－5x>6；

(2)4x2－4x＋1≤0；

(3)－x2＋7x>6；

(4)－2x2＋3x－2<0．

[解]　(1)由x2－5x>6得x2－5x－6>0，方程x2－5x－6＝0的解为x1＝－1，x2＝6．根据y＝x2－5x－6的图象．可得原不等式的解集为{x|x>6或x<－1}．

(2)方程4x2－4x＋1＝0有两个相同的解x1＝x2＝．

根据y＝4x2－4x＋1的图象可得原不等式的解集为．

(3)不等式两边同乘以－1，得x2－7x＋6<0．

方程x2－7x＋6＝0的解为x1＝6，x2＝1．

根据y＝x2－7x＋6的图象，可得原不等式的解集为{x|1<x<6}．

(4)不等式两边同乘以－1，得2x2－3x＋2>0，因为Δ<0，

所以方程2x2－3x＋2＝0无实数解．

根据y＝2x2－3x＋2的图象，可得原不等式的解集为R．

解不含参数的一元二次不等式的一般步

,1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.

2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.

3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

5写解集.根据图象写出不等式的解集.

1．解下列不等式．

(1)x2－4x＋4>0；

(2)－x2＋2x－3<0；

(3)2x2＋7x＋3>0．

[解]　(1)方程x2－4x＋4＝0有两个相同的解x1＝x2＝2，

根据y＝x2－4x＋4的图象，可得原不等式的解集为{x|x≠2}．

(2)不等式两边同乘以－1，得x2－2x＋3>0，

方程x2－2x＋3＝0中Δ<0，所以方程x2－2x＋3＝0无解．

根据y＝x2－2x＋3的图象，可得原不等式的解集为R．

(3)方程2x2＋7x＋3＝0的解x1＝－3，x2＝－，根据y＝2x2＋7x＋3的图象，可得原不等式的解集为．

类型2　含参数的一元二次不等式的解法

【例2】　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0．

[思路点拨]　①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？

[解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1．

当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0．

当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，

∵<1，∴x<或x>1．

当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0．

若<1，即a>1，则<x<1；

若＝1，即a＝1，则x∈∅；

若>1，即0<a<1，则1<x<．

综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；

当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；

当0<a<1时，原不等式的解集为；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a>1时，原不等式的解集为．

解含参数的一元二次不等式的一般步骤

提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．

2．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a>0)．

[解]　不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0可化为(ax－1)·(x－2)<0．

由于a>0，故不等式可化为(x－2)<0．

(1)若0<a<，则>2，此时不等式的解集为

．

(2)若a＝，则不等式为(x－2)2<0，此时不等式的解集为∅．

(3)若a>，则<2，此时不等式的解集为

．

综上可知，

当0<a<时，不等式的解集为；

当a＝时，不等式的解集为∅；

当a>时，不等式的解集为．

类型3　三个“二次”的关系

【例3】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6．由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为．

法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为．

[母题探究]

1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．

[解]　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0．

∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，

即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0．

解得．

2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．

[解]　法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0．

又×2＝＜0，则c＞0．

又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，

∴－＝，∴＝－．

又＝－，∴b＝－a，c＝－a，

∴不等式变为x2＋x＋a＜0，

即2ax2＋5ax－3a＞0．

又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，

所求不等式的解集为．

法二：由已知得a＜0 且＋2＝－，×2＝知c＞0，

设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝，

其中＝＝－，

－＝＝＝－，

∴x1＝－3，x2＝．∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为．

已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：

1根据解集来判断二次项系数的符号；

2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；

3约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.

3．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}．求不等式bx2＋2ax－c－3b<0的解集．

[解]　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3<x<4}，

所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．

由根与系数的关系得

∴

所以不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化为

－ax2＋2ax＋15a<0，由－a>0得x2－2x－15<0．

令x2－2x－15＝0得x1＝－3，x2＝5．由函数y＝x2－2x－15的图象知原不等式的解为{x|－3<x<5}．

1．不等式x2≤1的解集为(　　)

A．{x|x≥1或x≤－1}　 　 B．∅

C．{x|－1≤x≤1}     D．R

C　[方程x2－1＝0的解为x1＝－1，x2＝1．根据y＝x2－1的图象知不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．]

2．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　)

A．

B．

C．

D．R

C　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－．]

3．若0<t<1，则不等式(x－t)<0的解集为(　　)

A．     B．

C．     D．

D　[0<t<1时，t<，∴原不等式的解集为．]

4．不等式(x－1)2<x＋5的解集为________．

{x|－1<x<4}　[不等式(x－1)2<x＋5可化为x2－3x－4<0即(x－4)(x＋1)<0，解得－1<x<4，所以不等式的解集为{x|－1<x<4}．]

5．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，则ax2－bx＋c>0的解集为________．

　[由题意知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，

故解得a＝c，b＝a．

所以不等式ax2－bx＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，

解得<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集为．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．你是怎样解一元二次不等式的？

[提示]　(1)图象法．步骤：①化标准形式②解方程③结合图象求解．

(2)代数法．借助因式分解或配方法求解．当m<n时，(x－m)(x－n)>0可得{x|x>n或x<m}．若(x－m)(x－n)<0可得{x|m<x<n}．口诀：大于取两边，小于取中间．

2．解含参不等式要注意哪些问题？具体步骤是什么？

[提示]　正确分类不重不漏．

步骤：(1)讨论二次项系数a>0，a<0，a＝0；

(2)讨论对应方程的根；

(3)讨论根的大小．