高中数学4.1 函数的奇偶性达标测试

第二章4.2　简单幂函数的图象和性质

A级 必备知识基础练

1.函数y=3xα-2的图象过定点(　　)

A.(1,1) B.(-1,1) 

C.(1,-1) D.(-1,-1)

2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)

A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2

C.f(x)=x3 D.f(x)=

3.(多选题)下列说法错误的是(　　)

A.幂函数的图象不经过第四象限

B.y=x0的图象是一条直线

C.若函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为yy<

D.若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}

4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是(　　)

A.(0,1) 

B.(-∞,0)

C.(-∞,1) 

D.(1,+∞)

5.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　)

A.-1<n<0<m<1

B.n<-1,0<m<1

C.-1<n<0,m>1

D.n<-1,m>1

6.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是　　　　　. 

7.已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m=　　　　　. 

8.已知函数y=(a2-3a+2)(a为常数).

(1)当a为何值时,此函数为幂函数?

(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?

(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?

B级 关键能力提升练

9.(多选题)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列结论正确的有(　　)

A.函数f(x)为增函数

B.函数f(x)为偶函数

C.若x>1,则f(x)>1

D.若0<x1<x2,则<f

10.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)

A.恒大于0 B.恒小于0

C.等于0 D.无法判断

11.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(-2),则(　　)

A.c<b<a B.c<a<b

C.b<c<a D.a<b<c

12.(多选题)已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是(　　)

A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0

C.1<a<b D.a=b

13.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.

C级 学科素养创新练

14.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.

(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.

(2)若函数F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.

(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.

参考答案

4.2　简单幂函数的图象和性质

1.A　2.C

3.BCD　对于A,由幂函数的图象知,它不经过第四象限,所以A对;对于B,因为当x=0时,x0无意义,即在x=0无定义,所以B错;对于C,函数y=的定义域为{x|x>2},则它的值域为{y|0<y<},不是{y|y<},所以C错;对于D,定义域不一定是{x|-2≤x≤2},如{x|0≤x≤2},所以D错.故选BCD.

4.C　由幂函数的图象特征知α<1.

5.B　由于y=xm在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=xn在区间(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=xn的图象在y=x-1的图象的下方,故n<-1.故选B.

6　因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以a+1<3-2a,解得a<

7.1　因为幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数.又因为f(x)在第一象限内单调递减,所以m2-2m-3<0,即-1<m<3,又m∈Z,所以m=1.

8.解(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,

解得a=

(2)由题意知解得a=4.

(3)由题意知解得a=3.

9.ACD　因为函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),

所以α=所以f(x)=

显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;

f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;

当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;

当0<x1<x2时,()2-

=()2-

=

==-<0.

即<f()成立,所以D正确.

10.A　由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数f(x)单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.

11.B　幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f(x)=x3,且函数f(x)单调递增.又-2<1<3,所以f(-2)<f(1)<f(3),即c<a<b,故选B.

12.ACD　画出函数y=与y=的图象如图所示,

设=m,作直线y=m.

从图象知,若m=0或m=1,则a=b;若0<m<1,则0<b<a<1;若m>1,则1<a<b.故其中可能成立的是ACD.

13.解(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,符合题意;

当m=2时,f(x)=x3为奇函数,不符合题意,舍去.

故f(x)=x2.

(2)由(1)可知y=x2-2(a-1)x+1,

函数y的图象的对称轴为直线x=a-1,

由题意知函数y在区间(2,3)上为单调函数,

∴a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4.

∴a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).

14.解(1)由题意知(2-k)(1+k)>0,解得-1<k<2.

又k∈Z,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f(x)=x2.

(2)由已知得F(x)=2x2-4x+3,其图象的对称轴为直线x=1.要使函数F(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则2a<1<a+1,则0<a<即实数a的取值范围是

(3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.

假设存在这样的正数q符合题意,

则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为直线x==1-<1,因而,函数g(x)在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,

又g(2)=-1≠-4,

从而g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.

此时,g(x)=-2x2+3x+1,其图象的对称轴为直线x=[-1,2],

∴g(x)在区间[-1,2]上的最大值为g=-2+3+1=,符合题意.

∴存在q=2,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为