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2023数列解答题：8种裂项 分段函数 插项数列 存在性 数列与概率三角函数函数
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这是一份2023数列解答题：8种裂项 分段函数 插项数列 存在性 数列与概率三角函数函数，文件包含数列解答题8种考法老师版docx、数列解答题8种考法学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
数列（解答题8种考法）
考法一 数列常规方法
【例1-1】（2022·陕西）已知等比数列的前n项和为．
(1)求实数k的值，并求出数列的通项公式；
(2)令，设为数列的前n项和，求．
【解析】
(1)当时，；
当时，；
因为是等比数列，
所以，即，解得．
综上，k的值为4，数列的通项公式为．
(2)因为，
所以
．
【例1-2】（2022·河南·灵宝市）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【解析】
(1)因为，
所以，
，…，
所以．
又，所以，
所以．
又，也符合上式，所以．
(2)结合（1）得，所以
，①
，②
①②，得，所以．
【例1-3】（2022·湖北）已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【解析】
(1)由，得．
又，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
数列满足，①
当时，；
当时，，②
由①－②可得，当时，也符合上式，故数列的通项公式为．
(2)由（1）可得，
则
，
故成立．
【例1-4】（2022·全国1卷高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】
（1）∵，
∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,
∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
考法二 裂项相消大合集
【例2-1】（2022·重庆·模拟预测）已知数列的前n项和为Sn，，，且
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
【解析】
(1)由题意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，解得an+1﹣an＝2（n≥2），
又a2﹣a1＝2，所以{an}是公差为2的等差数列，则an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；
(2) 由题知，则
由得，解得，
所以n的最大值为5．
【例2-2】（2022·广东·佛山市）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
【解析】
(1)设等比数列的公比是q，首项是.由，可得.
由，可得，所以，所以；
(2)证明：因为，所以.
又，
所以.
【例2-3】（2022·辽宁）等比数列中，首项，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】
(1)设数列公比为，由，，可得，化简得，
即，所以．
(2)由（1）得，所以，所以..
【例2-4】（2022·湖北·模拟预测）设正项数列的前项和为且，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】
(1)解：因为，
当，且时，
所以，
则是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
即，
所以，
所以；
(2)解：由（1）可得，
所以．
【例2-5】（2022·安徽·）在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．
设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】
(1)若选①②作为条件，
设|的公差为d，由成等比数列可知，所以，
整理得．
由得，整理得，
当时，不合题意，
所以，则，解得，故．
若选①③作为条件．
设的公差为d，由成等比数列可知，
所以
整理得．
由得，
整理得，
所以，解得或，
当时，，不合题意，
所以，则，
故；
若选②③作为条件．
设的公差为d，
由得，
整理得，
由得，
整理得，
由两式联立得，
故；
(2)由（1）得，
所以，
故数列的前n项和
．
【例2-6】（2022·浙江金华·模拟预测）已知数列，其中为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：
【解析】
(1)由数列为等差数列，且满足，，
当时，可得，即，解得；
因为是等差数列，所以，
所以，
所以，
所以
所以.
(2)由（1）得，
所以
.
【例2-7】（2022·浙江·三模）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足，，其中．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】
(1)由得，，
当时，，
当时，，作差得，
即，则，
因此，所以，又满足．
所以，对任意的，，
所以，则，
所以，当时，，
也满足，
所以，对任意的，.
(2)由（1）知，
所以.
【例2-8】（2022·天津南开）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】
（1）或，
又，则，∴（）．
设等差数列的公差为，由题意得，，，
即，所以（）．
（2）由（1）知，则
∴
故（）.
考法三 分段数列
【例3-1】（2022·江苏南通）已知数列满足：
(1)求的值；
(2)设，求数列的通项公式.
【解析】
(1)由题意得：.
（2）因为，所以是以1为首项，公差为2的等差数列，
所以.
因为，所以，所以，
所以是以1为首项，公比为2的等比数列，
所以，所以
综上所述：数列的通项公式为.
【例3-2】（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【解析】
(1)由题：，
∵，即得：，即
当时，，
当时，，，两式相减整理得，
即数列是以首项，公比的等比数列∴
(2)当n为奇数时，
当n为偶数时，
，
两式相减得：
得：
【例3-3】（2022·天津南开·三模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
(1)求和的通项公式；
(2)已知，数列满足，求数列的前2n项和；
(3)设，求数列的前n项和．
【解析】
（1）或，
又，则，∴（）．
设等差数列的公差为，由题意得，，，
即，所以（）．
（2）解：时，，
∴
．
时，
∴
，①
，②
由①②可得，
∴
∴（）．
（3）由（1）知，则
∴
故（）.
考法四 插项数列
【例4-1】（2022·广东茂名·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
【解析】
(1)设的公差为d，由已知，．
解得，d＝2．
所以；
(2)因为与之间插入个1，
所以在中对应的项数为
，
当k＝6时，，
当k＝7时，，
所以，，且．
因此
.
【例4-2】（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
【解析】
(1)证明：因为时，，
则，即，，·
因为，·
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，
即，·
所以为等差数列.
(2)由（1）可得的首项为，公差为，所以，
所以，
所以，则，
记的前n项和为，
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，·
所以，·
所以.·
【例4-3】（2022·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
【解析】
(1)由得：
∵是首项，公差为2的等差数列∴
又当时，得
当，由…①…②由①－②整理得：，
∵，∴，∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
(2)依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；∴．
考法五 数列中存在性问题
【例5-1】．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【解析】
（1）因为，所以，
所以，又，所以，所以，所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，，
，由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
【例5-2】（2023·湖北·校联考模拟预测）已知正项数列，其前n项和，满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由.
【解析】
（1）中令得：，
故正项数列中，，即，
当时，，即，
整理得，又，
因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则，因为是正项数列，即，所以.
当时，，又满足此式，
即，都有；
（2）不存在，理由如下：
由（1）中可得：，
假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，
则，
即，
两边平方，得，
即，
整理得：，
即，显然不成立，
因此假设是错误的，
所以数列中不存在使构成等差数列的连续三项
考法六 数列与概率综合
【例6-1】（2022·江苏连云港·模拟预测）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划．已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是．一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为．
(1)求；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列的前n项和，并说明的实际意义．
【解析】
(1)由题意得
(2)由题意得，，
所以
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
(3)由（2）知，所以
从而
由于可以理解为第次航班平均被熔断的次数，所以表示前次航班一共被熔断的次数．
【例6-2】（2023四川成都·高三树德中学校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【解析】
（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
0
1
2
3
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
0
1
2
3
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，故．
考法七 数列与三角函数综合
【例7-1】（2022·安徽）已知函数的最小正周期为6．
(1)已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，求的值；
(2)若，求数列的前2022项和．
【解析】(1)，
因为的最小正周期为6，故可得，，解得，故，
因为，，故可得，又，则，；
因为，故可得，又，则或，或，
因为，则，当时，，满足；当时，，不满足，舍去；
由正弦定理可得：.
(2)
根据（1）中所求可得：，故
.
即数列的前2022项和.
【例7-2】（2022·河南）已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值.
【解析】
(1)由得，又，所以，由得
从而，因此数列和数列都是等差数列，它们的公差都等于.
所以即当n为奇数时，；
即当n为偶数时，
综上，数列{}的通项公式为
(2)由（1）可得
所以
当n为奇数时，
当n为偶数时，，且随着n的增大，在减小，
所以当时，取得最大值.
【例7-3】（2022·安徽）已知函数，
(1)求的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若在区间上的根按从小到大的顺序依次记为求数列的通项公式及其前n项和．
【解析】
(1)由题意得，，
则，
，解得Z)，
即函数的单调增区间为Z，
(2)由，得，
有或Z，
解得或，Z，
得方程的根从小到大排列依次为
，
所以
则数列的通项公式为，
故数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，
奇数项是以为首项，1为公差的等差数列.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上，.
考法八 数列与函数导数的综合
【例8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由.
【解析】
（1）因为当时，，所以，
令，则，，
又，所以，，
所以数列为等比数列，公比为2，首项为2，
所以，所以.
（2）由（1）知，得，
，
当时，，，即；
当时，，，即，
所以数列是先增后减，最大项为，
因为当时，且数列是单调递增；当时，
所以数列的最小项为．
【例8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列对于任意的均有；数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令 ，为数列的前n项和，且恒成立，求λ的最大值.
【解析】
（1）因为①,
当时，；
当时，②.,
①-②可得,
所以时.
经检验，符合上式，所以.
对于{}，由题意可得，，当，所以，
时，，则，
即，，因为，所以，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以.
（2）由（1）可得，
所以
，
则，
恒成立，等价于，
化简得，即即可.
令，
若，则，
即时，数列单调递增；又因为，所以，
即，可得的最大值为10.
【例8-3】（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数与数列满足，其中是方程的实数根，满足可导，且.
(1)证明：；
(2)判断数列的单调性，并证明.
【解析】
（1）由是方程的实数根，则，由，则单调递增，
由，则，， 以此类推，对于任意，都有.
（2）由，则令，求导可得，
即函数单调递减，
由（1）可知当时，，则当时，，
由（1）可知，则，即数列单调递减.
【强化练习】
1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】
（1）由题意知，当时，，即，
当时，由，，得，
即，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列.
所以.
（2）解：由题意知，，
所以
，
所以.
2．（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列的前三项.
第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8
(1)求数列的通项公式，并求的前项和；
(2)若，记的前项和，求证.
【解析】
（1）由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为：，，，
所以，，
所以.
（2）
.
因为，
所以，
所以
3．（2023·浙江·统考一模）已知数列满足，，．
(1)求的取值范围；
(2)记是在区间中的项的个数，求数列的前m项和．
【解析】
（1）因为，，即，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，
同理可得，
所以；
（2）因为，设，则，
又，是连续六个正整数构成的集合，
则对于给定的m，数列恰有两项属于集合，即，
故
4．（2022·湖北·模拟预测）已知数列，满足，，且，．
(1)若为等比数列，求值；
(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和．
【解析】
(1)由题
∵为等比数列，设公比为q
则
∴，
∴，即，解得或
当时，，即
又，
∴成以3为首项，以为公比的等比数列
当时，即
又，
∴成以3为首项，以1为公比的等比数列
综上：或
(2)由（1）得，
∴
∴
5．（2022·广东广州·一模）在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一列
3
2
3
第二列
4
6
5
第三列
9
12
8
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
【解析】
(1)根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，故.
(2)因为
当为偶数时，
当为奇数时，
综上所述，
6．（2022·广东茂名·一模）已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．
【解析】
(1)∵∴，.
∵，∴＝
∴
∴是为首项，为公比的等比数列
(2)由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴，∴
∵，
∴
∴当时，
.
当时，也适合上式
所以数列的通项公式为
数列的通项公式为.
7（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【解析】
(1)设数列的公差为，所以，，
即可解得，，所以原命题得证．
(2)由（1）知，，
所以，
即，
即，
解得，
所以满足等式的解，
故集合中的元素个数为．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，是的前n项和．
(1)求；
(2)若为数列的前n项和，求证：．
【解析】
(1)∵，
∴，，…．
由上述个等式相加得，∴，
∴，；
(2)，
，
∴.
9．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入个2，构成新数列，求数列的前110项的和.
【解析】
（1）设公差为，，由题意得，
化简得，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）知在与之间插入个2，所以当忽略数列中的项，则当有次插入新数，共有个项，
当时，有62个数；
当时，共有126个数，所以110项应该介于和之间，即，
表示共有104个2和原先中前6项之和，
所以.
10．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知单调递增的等差数列，且，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
【解析】
（1）设递增等差数列的公差为，由，，，
又，化简得．则，，
所以的通项公式为．
（2）因为与之间插入，所以在中有10项来自，10项来自，
所以．
11．（2022·河南）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求证：.
【解析】
(1)当时，，即.
当时，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以数列为常数列，
所以，即.
(2)证明：由（1）得，
所以，
.
12．（2023·辽宁·校联考模拟预测）记正项数列的前n项积为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
【解析】
（1）由题意得，又，
所以，即，所以．
当n＝1时，，所以，解得＝3，
故是以3为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，
所以，
所以．
13．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求．
【解析】
（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，
选择校本课程二的概率为，
则X的可能取值为3，4，5，6，
，，
，，
所以X的分布列如下表所示：
X
3
4
5
6
P
所以．
（2）因为这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
所以，
设，
则，
由两式相减得，
即，
所以.
14．（2023江苏南通·高三统考期末）在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.①；②.已知为数列的前项和，满足，，______.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】
（1）解：选①，当时，则有，即，解得；
对任意的，因为，则，
故，即，
因，，所以为定值，
故数列是首项，公差为的等差数列，
所以.
选②，因为，故，
所以，故数列是常数列，
所以，故.
（2）解：知，，故，
对任意的，，
所以，即为数列的前项和，
因为，故数列为等差数列，
所以.
15．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，，且数列是等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【解析】
（1）因为，，所以，
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以.
当时，
，
当时，也满足上式，所以.
（2）由（1）知，，
当，时，
，
当，时，
.
所以.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：
(1)数列为等差数列；
(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.
【解析】
（1）解：因为数列为等差数列，，，
所以数列的公差为，，
则，又，
，故数列为等差数列.
（2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，
不妨设、、（、、均不相等）成等比数列，即，
由数列的通项公式可得，
将此式展开可得，
所以有，即，
所以，，所以，，
化简整理得，，与假设矛盾，
故数列中任意三项均不能构成等比数列.
17．（2023河南）已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式
(2)记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．
【解析】
（1）因为，数列是公差为的等差数列，则，因此，
当时，，则有，
因此，即，数列是常数列，有，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，
有，，，若数列成等差数列，则，解得，
当时，，则，从而数列成等差数列，
所以存在，使得数列成等差数列．
18（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.
【解析】
（1）时，；
时，，
，作差得，整理得，，故为等比数列，
（2）由（1）得，，，
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，
得，，
，设为数列的前项和，
，
，
作差得，，
19．（2023·全国·高三对口高考）已知数列是首项为0的递增数列，前n项和为满足（，）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设（，），对任意的正整数k，将集合{，，}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列．
【解析】
（1）由，
当时，则，
化简得，
∵数列（）是严格递增数列，所以，
∴，
故数列是首项为0，公差的等差数列，则.
（2）由（1）可知（，），则，，，
∵，且，
即，且，则，，排成一个递增的等差数列，
所以，满足为常数，
所以数列为等比数列.
20．（2023河南南阳·高三统考期末）已知数列是各项均为正数的等差数列，是其前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项．
【解析】
（1）当 时，，解得：或，
因为，
故．
因为，所以，
即 ，解得 或 ，
又，即可得．
（2）由（1）知，，
故，
∵，当时，；当时，；
当 时，，
故数列的最大项为．
21．（2023春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】
（1）由两式相减得，
，故，
当时，且，故，得（舍去），
，数列为等差数列，公差为，所以.
（2），
，
22．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知函数的周期为图象的一条对称轴为，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
(1)求函数解析式；
(2)若数列，试求其前项和为.
【解析】
（1）函数周期为，所以，
因为该图象的一条对称轴为，所以，得，
又因为，解得，故，
将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后，
得到的图象，再将的图象向左平移个单位后，
得到函数，故.
（2）因为，.
，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上所述，.
23．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列与中的所有项分别构成集合，，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和
【解析】
（1）∵数列为等差数列，且，,
∴，即，∴，即,
∵数列是公比为2的等比数列，，∴,
即.
（2）由（1）知，∴数列的元素是由数列中去除数列
∴数列中去掉2，4，8，16，
,.
24．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足．
(1)证明：对一切正整数n成立；
(2)令，判断数列单调性．
【解析】
（1）当时，，
假设时，成立，
则当时有，
∴成立，
综上，由数学归纳法知对一切正整数n成立；
（2）由，
∴
∴数列单调递减．
25．（2023·高三课时练习）若数列满足．
(1)求，，及的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为．
①求；
②对于任意正整数n，均有恒成立，求m的最小值．
【解析】
（1）取n＝1时，由，得；
取n＝2时，由，得；
取n＝3时，由，得．
当时，由，得，
两式相减得，整理得；
当n＝1时，也适合上式．综上，．
（2）①由（1）知，得
，，
两式相减得，
整理得．
②由题意对于任意正整数n，均有恒成立，则，即恒成立．
设，由，则
当时，，即；当时，，即．
于是的最大值为，所以，即m的最小值是
26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，且数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.
【解析】
（1）由和已知条件得（），
从而，即.
∵数列的各项均为正数，∴，
，
两式相减得，由数列的各项均为正数，知，
由，由，解得，
于是，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故.
（2）数列是递增数列，则，
对恒成立，
于是对恒成立，
而单调递增，，.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足．
(1)证明：数列成等差数列．
(2)求数列的前n项和．
(3)若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】
（1）证明：由题意知，．
∵，∴，，
∴，
∴数列是首项，公差的等差数列.．
（2）解：由（1）可得，则，．
∴，
于是，
两式相减得：
，
∴．
（3）解：∵，．
∴当时，．当时，，即．
∴当或2时，取最大值．
又对一切正整数n恒成立，∴，
即，得或．
28．（2023辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知数列，其前项和分别为，且分别满足，.
(1)求数列，的通项公式.
(2)将数列，的各项按，，，…，顺序排列组成数列，求数列的前项和.
【解析】
（1）由条件： 知：
，
，
当 时， 符合，
所以；
， 是等比数列，
又 ；
（2）当 时， ，
当 时，
；
当 时， ，
当 时，
29．（2023秋·天津北辰·高三校考期末）已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】
（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故，
∴，
若的公比为且，结合题设可得：，又，故，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
以上两式相减，得：，
∴.
（3）由题设，，要使任意恒有，
∴，则恒成立
当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
综上，存在实数，使得对任意的，恒有.
30．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解析】
（1）由题设且，
当时，，可得；
当时，，则；
由，故，
所以是首项、公差均为1的等差数列，故.
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，则，
若，即，则，
在上，递增，上，递减，
所以在有最大值，又，
对于，当时，，当时，，
综上，，故存在或使恒成立
数列（解答题8种考法）
考法一 数列常规方法
【例1-1】（2022·陕西）已知等比数列的前n项和为．
(1)求实数k的值，并求出数列的通项公式；
(2)令，设为数列的前n项和，求．
【解析】
(1)当时，；
当时，；
因为是等比数列，
所以，即，解得．
综上，k的值为4，数列的通项公式为．
(2)因为，
所以
．
【例1-2】（2022·河南·灵宝市）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【解析】
(1)因为，
所以，
，…，
所以．
又，所以，
所以．
又，也符合上式，所以．
(2)结合（1）得，所以
，①
，②
①②，得，所以．
【例1-3】（2022·湖北）已知正项数列的前n项和为，且满足，，，数列满足．
(1)求出，的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：．
【解析】
(1)由，得．
又，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
∴，，…，，
累加得，
∴．
数列满足，①
当时，；
当时，，②
由①－②可得，当时，也符合上式，故数列的通项公式为．
(2)由（1）可得，
则
，
故成立．
【例1-4】（2022·全国1卷高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】
（1）∵，
∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,
∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
考法二 裂项相消大合集
【例2-1】（2022·重庆·模拟预测）已知数列的前n项和为Sn，，，且
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．
【解析】
(1)由题意知（Sn+1﹣Sn）﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝2，解得an+1﹣an＝2（n≥2），
又a2﹣a1＝2，所以{an}是公差为2的等差数列，则an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣13；
(2) 由题知，则
由得，解得，
所以n的最大值为5．
【例2-2】（2022·广东·佛山市）已知数列是等比数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和，并证明：.
【解析】
(1)设等比数列的公比是q，首项是.由，可得.
由，可得，所以，所以；
(2)证明：因为，所以.
又，
所以.
【例2-3】（2022·辽宁）等比数列中，首项，前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【解析】
(1)设数列公比为，由，，可得，化简得，
即，所以．
(2)由（1）得，所以，所以..
【例2-4】（2022·湖北·模拟预测）设正项数列的前项和为且，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】
(1)解：因为，
当，且时，
所以，
则是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
即，
所以，
所以；
(2)解：由（1）可得，
所以．
【例2-5】（2022·安徽·）在①，，成等比数列，②，③中选出两个作为已知条件，补充在下面问题中，并作答．
设为各项均为正数的等差数列的前n项和，已知___．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】
(1)若选①②作为条件，
设|的公差为d，由成等比数列可知，所以，
整理得．
由得，整理得，
当时，不合题意，
所以，则，解得，故．
若选①③作为条件．
设的公差为d，由成等比数列可知，
所以
整理得．
由得，
整理得，
所以，解得或，
当时，，不合题意，
所以，则，
故；
若选②③作为条件．
设的公差为d，
由得，
整理得，
由得，
整理得，
由两式联立得，
故；
(2)由（1）得，
所以，
故数列的前n项和
．
【例2-6】（2022·浙江金华·模拟预测）已知数列，其中为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求证：
【解析】
(1)由数列为等差数列，且满足，，
当时，可得，即，解得；
因为是等差数列，所以，
所以，
所以，
所以
所以.
(2)由（1）得，
所以
.
【例2-7】（2022·浙江·三模）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足，，其中．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】
(1)由得，，
当时，，
当时，，作差得，
即，则，
因此，所以，又满足．
所以，对任意的，，
所以，则，
所以，当时，，
也满足，
所以，对任意的，.
(2)由（1）知，
所以.
【例2-8】（2022·天津南开）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】
（1）或，
又，则，∴（）．
设等差数列的公差为，由题意得，，，
即，所以（）．
（2）由（1）知，则
∴
故（）.
考法三 分段数列
【例3-1】（2022·江苏南通）已知数列满足：
(1)求的值；
(2)设，求数列的通项公式.
【解析】
(1)由题意得：.
（2）因为，所以是以1为首项，公差为2的等差数列，
所以.
因为，所以，所以，
所以是以1为首项，公比为2的等比数列，
所以，所以
综上所述：数列的通项公式为.
【例3-2】（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足
(1)求和的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
【解析】
(1)由题：，
∵，即得：，即
当时，，
当时，，，两式相减整理得，
即数列是以首项，公比的等比数列∴
(2)当n为奇数时，
当n为偶数时，
，
两式相减得：
得：
【例3-3】（2022·天津南开·三模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
(1)求和的通项公式；
(2)已知，数列满足，求数列的前2n项和；
(3)设，求数列的前n项和．
【解析】
（1）或，
又，则，∴（）．
设等差数列的公差为，由题意得，，，
即，所以（）．
（2）解：时，，
∴
．
时，
∴
，①
，②
由①②可得，
∴
∴（）．
（3）由（1）知，则
∴
故（）.
考法四 插项数列
【例4-1】（2022·广东茂名·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
【解析】
(1)设的公差为d，由已知，．
解得，d＝2．
所以；
(2)因为与之间插入个1，
所以在中对应的项数为
，
当k＝6时，，
当k＝7时，，
所以，，且．
因此
.
【例4-2】（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
【解析】
(1)证明：因为时，，
则，即，，·
因为，·
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，
即，·
所以为等差数列.
(2)由（1）可得的首项为，公差为，所以，
所以，
所以，则，
记的前n项和为，
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，·
所以，·
所以.·
【例4-3】（2022·广东汕头·三模）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．
【解析】
(1)由得：
∵是首项，公差为2的等差数列∴
又当时，得
当，由…①…②由①－②整理得：，
∵，∴，∴，
∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；
(2)依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．
由，（）得：，
∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；∴．
考法五 数列中存在性问题
【例5-1】．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【解析】
（1）因为，所以，
所以，又，所以，所以，所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，，
，由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
【例5-2】（2023·湖北·校联考模拟预测）已知正项数列，其前n项和，满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式；
(2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由.
【解析】
（1）中令得：，
故正项数列中，，即，
当时，，即，
整理得，又，
因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
则，因为是正项数列，即，所以.
当时，，又满足此式，
即，都有；
（2）不存在，理由如下：
由（1）中可得：，
假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列，
则，
即，
两边平方，得，
即，
整理得：，
即，显然不成立，
因此假设是错误的，
所以数列中不存在使构成等差数列的连续三项
考法六 数列与概率综合
【例6-1】（2022·江苏连云港·模拟预测）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划．已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是．一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为．
(1)求；
(2)证明：为等比数列；
(3)求数列的前n项和，并说明的实际意义．
【解析】
(1)由题意得
(2)由题意得，，
所以
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
(3)由（2）知，所以
从而
由于可以理解为第次航班平均被熔断的次数，所以表示前次航班一共被熔断的次数．
【例6-2】（2023四川成都·高三树德中学校考期末）第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．
(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知．
①试证明：为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．
【解析】
（1）方法一：的所有可能取值为，
在一次扑球中，扑到点球的概率，
所以，
，
所以的分布列如下：
0
1
2
3
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为，
门将在前三次扑到点球的个数可能的取值为，易知，
所以，
故的分布列为：
0
1
2
3
所以的期望．
（2）①第次传球之前球在甲脚下的概率为，
则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，
第次传球之前球不在甲脚下的概率为，
则，
即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列．
②由①可知，所以，
所以，故．
考法七 数列与三角函数综合
【例7-1】（2022·安徽）已知函数的最小正周期为6．
(1)已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，求的值；
(2)若，求数列的前2022项和．
【解析】(1)，
因为的最小正周期为6，故可得，，解得，故，
因为，，故可得，又，则，；
因为，故可得，又，则或，或，
因为，则，当时，，满足；当时，，不满足，舍去；
由正弦定理可得：.
(2)
根据（1）中所求可得：，故
.
即数列的前2022项和.
【例7-2】（2022·河南）已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值.
【解析】
(1)由得，又，所以，由得
从而，因此数列和数列都是等差数列，它们的公差都等于.
所以即当n为奇数时，；
即当n为偶数时，
综上，数列{}的通项公式为
(2)由（1）可得
所以
当n为奇数时，
当n为偶数时，，且随着n的增大，在减小，
所以当时，取得最大值.
【例7-3】（2022·安徽）已知函数，
(1)求的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若在区间上的根按从小到大的顺序依次记为求数列的通项公式及其前n项和．
【解析】
(1)由题意得，，
则，
，解得Z)，
即函数的单调增区间为Z，
(2)由，得，
有或Z，
解得或，Z，
得方程的根从小到大排列依次为
，
所以
则数列的通项公式为，
故数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，
奇数项是以为首项，1为公差的等差数列.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上，.
考法八 数列与函数导数的综合
【例8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由.
【解析】
（1）因为当时，，所以，
令，则，，
又，所以，，
所以数列为等比数列，公比为2，首项为2，
所以，所以.
（2）由（1）知，得，
，
当时，，，即；
当时，，，即，
所以数列是先增后减，最大项为，
因为当时，且数列是单调递增；当时，
所以数列的最小项为．
【例8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列对于任意的均有；数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令 ，为数列的前n项和，且恒成立，求λ的最大值.
【解析】
（1）因为①,
当时，；
当时，②.,
①-②可得,
所以时.
经检验，符合上式，所以.
对于{}，由题意可得，，当，所以，
时，，则，
即，，因为，所以，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以.
（2）由（1）可得，
所以
，
则，
恒成立，等价于，
化简得，即即可.
令，
若，则，
即时，数列单调递增；又因为，所以，
即，可得的最大值为10.
【例8-3】（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数与数列满足，其中是方程的实数根，满足可导，且.
(1)证明：；
(2)判断数列的单调性，并证明.
【解析】
（1）由是方程的实数根，则，由，则单调递增，
由，则，， 以此类推，对于任意，都有.
（2）由，则令，求导可得，
即函数单调递减，
由（1）可知当时，，则当时，，
由（1）可知，则，即数列单调递减.
【强化练习】
1．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】
（1）由题意知，当时，，即，
当时，由，，得，
即，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列.
所以.
（2）解：由题意知，，
所以
，
所以.
2．（2023·山西·统考一模）从下面的表格中选出3个数字（其中任意两个数字不同行且不同列）作为递增等差数列的前三项.
第1列
第2列
第3列
第1行
7
2
3
第2行
1
5
4
第3行
6
9
8
(1)求数列的通项公式，并求的前项和；
(2)若，记的前项和，求证.
【解析】
（1）由题意，选出3个数字组成的等差数列的前三项为：，，，
所以，，
所以.
（2）
.
因为，
所以，
所以
3．（2023·浙江·统考一模）已知数列满足，，．
(1)求的取值范围；
(2)记是在区间中的项的个数，求数列的前m项和．
【解析】
（1）因为，，即，
所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，
同理可得，
所以；
（2）因为，设，则，
又，是连续六个正整数构成的集合，
则对于给定的m，数列恰有两项属于集合，即，
故
4．（2022·湖北·模拟预测）已知数列，满足，，且，．
(1)若为等比数列，求值；
(2)在（1）的条件下，求数列的前n项和．
【解析】
(1)由题
∵为等比数列，设公比为q
则
∴，
∴，即，解得或
当时，，即
又，
∴成以3为首项，以为公比的等比数列
当时，即
又，
∴成以3为首项，以1为公比的等比数列
综上：或
(2)由（1）得，
∴
∴
5．（2022·广东广州·一模）在等比数列中，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列
第二列
第三列
第一列
3
2
3
第二列
4
6
5
第三列
9
12
8
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和.
【解析】
(1)根据等比数列的定义和表格中数据，得到，，，
即数列是首项为，公比为的等比数列，故.
(2)因为
当为偶数时，
当为奇数时，
综上所述，
6．（2022·广东茂名·一模）已知数列，满足，，且，
(1)求，的值，并证明数列是等比数列；
(2)求数列，的通项公式．
【解析】
(1)∵∴，.
∵，∴＝
∴
∴是为首项，为公比的等比数列
(2)由（1）知是为首项，为公比的等比数列.
∴，∴
∵，
∴
∴当时，
.
当时，也适合上式
所以数列的通项公式为
数列的通项公式为.
7（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【解析】
(1)设数列的公差为，所以，，
即可解得，，所以原命题得证．
(2)由（1）知，，
所以，
即，
即，
解得，
所以满足等式的解，
故集合中的元素个数为．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，是的前n项和．
(1)求；
(2)若为数列的前n项和，求证：．
【解析】
(1)∵，
∴，，…．
由上述个等式相加得，∴，
∴，；
(2)，
，
∴.
9．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知公差大于0的等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)在与之间插入个2，构成新数列，求数列的前110项的和.
【解析】
（1）设公差为，，由题意得，
化简得，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）知在与之间插入个2，所以当忽略数列中的项，则当有次插入新数，共有个项，
当时，有62个数；
当时，共有126个数，所以110项应该介于和之间，即，
表示共有104个2和原先中前6项之和，
所以.
10．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知单调递增的等差数列，且，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
【解析】
（1）设递增等差数列的公差为，由，，，
又，化简得．则，，
所以的通项公式为．
（2）因为与之间插入，所以在中有10项来自，10项来自，
所以．
11．（2022·河南）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求证：.
【解析】
(1)当时，，即.
当时，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以数列为常数列，
所以，即.
(2)证明：由（1）得，
所以，
.
12．（2023·辽宁·校联考模拟预测）记正项数列的前n项积为，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和．
【解析】
（1）由题意得，又，
所以，即，所以．
当n＝1时，，所以，解得＝3，
故是以3为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，，
所以，
所以．
13．（2023·江苏扬州·高三校联考期末）某校为了合理配置校本课程资源，教务部门对学生们进行了问卷调查．据统计，其中的学生计划只选择校本课程一，另外的学生计划既选择校本课程一又选择校本课程二．每位学生若只选择校本课程一，则记1分；若既选择校本课程一又选择校本课程二，则记2分．假设每位选择校本课程一的学生是否计划选择校本课程二相互独立，视频率为概率．
(1)从学生中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从学生中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求．
【解析】
（1）由题意知，每位学生计划不选择校本课程二的概率为，
选择校本课程二的概率为，
则X的可能取值为3，4，5，6，
，，
，，
所以X的分布列如下表所示：
X
3
4
5
6
P
所以．
（2）因为这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划选择校本课程二，
所以，
设，
则，
由两式相减得，
即，
所以.
14．（2023江苏南通·高三统考期末）在下面两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.①；②.已知为数列的前项和，满足，，______.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】
（1）解：选①，当时，则有，即，解得；
对任意的，因为，则，
故，即，
因，，所以为定值，
故数列是首项，公差为的等差数列，
所以.
选②，因为，故，
所以，故数列是常数列，
所以，故.
（2）解：知，，故，
对任意的，，
所以，即为数列的前项和，
因为，故数列为等差数列，
所以.
15．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，，且数列是等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【解析】
（1）因为，，所以，
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以.
当时，
，
当时，也满足上式，所以.
（2）由（1）知，，
当，时，
，
当，时，
.
所以.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，求证：
(1)数列为等差数列；
(2)数列中任意三项均不能构成等比数列.
【解析】
（1）解：因为数列为等差数列，，，
所以数列的公差为，，
则，又，
，故数列为等差数列.
（2）证明：假设数列中存在不同三项构成等比数列，
不妨设、、（、、均不相等）成等比数列，即，
由数列的通项公式可得，
将此式展开可得，
所以有，即，
所以，，所以，，
化简整理得，，与假设矛盾，
故数列中任意三项均不能构成等比数列.
17．（2023河南）已知是数列的前项和，且，数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式
(2)记数列的前项和为，是否存在实数使得数列成等差数列，若存在，求出实数的值若不存在，说明理由．
【解析】
（1）因为，数列是公差为的等差数列，则，因此，
当时，，则有，
因此，即，数列是常数列，有，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，
有，，，若数列成等差数列，则，解得，
当时，，则，从而数列成等差数列，
所以存在，使得数列成等差数列．
18（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.
【解析】
（1）时，；
时，，
，作差得，整理得，，故为等比数列，
（2）由（1）得，，，
在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，
得，，
，设为数列的前项和，
，
，
作差得，，
19．（2023·全国·高三对口高考）已知数列是首项为0的递增数列，前n项和为满足（，）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设（，），对任意的正整数k，将集合{，，}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为，求证：数列为等比数列．
【解析】
（1）由，
当时，则，
化简得，
∵数列（）是严格递增数列，所以，
∴，
故数列是首项为0，公差的等差数列，则.
（2）由（1）可知（，），则，，，
∵，且，
即，且，则，，排成一个递增的等差数列，
所以，满足为常数，
所以数列为等比数列.
20．（2023河南南阳·高三统考期末）已知数列是各项均为正数的等差数列，是其前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的最大项．
【解析】
（1）当 时，，解得：或，
因为，
故．
因为，所以，
即 ，解得 或 ，
又，即可得．
（2）由（1）知，，
故，
∵，当时，；当时，；
当 时，，
故数列的最大项为．
21．（2023春·河南郑州·高三郑州四中校考阶段练习）已知各项均为正数的数列的首项，前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】
（1）由两式相减得，
，故，
当时，且，故，得（舍去），
，数列为等差数列，公差为，所以.
（2），
，
22．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知函数的周期为图象的一条对称轴为，将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
(1)求函数解析式；
(2)若数列，试求其前项和为.
【解析】
（1）函数周期为，所以，
因为该图象的一条对称轴为，所以，得，
又因为，解得，故，
将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后，
得到的图象，再将的图象向左平移个单位后，
得到函数，故.
（2）因为，.
，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上所述，.
23．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，，
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列与中的所有项分别构成集合，，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成新数列，求数列的前20项和
【解析】
（1）∵数列为等差数列，且，,
∴，即，∴，即,
∵数列是公比为2的等比数列，，∴,
即.
（2）由（1）知，∴数列的元素是由数列中去除数列
∴数列中去掉2，4，8，16，
,.
24．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足．
(1)证明：对一切正整数n成立；
(2)令，判断数列单调性．
【解析】
（1）当时，，
假设时，成立，
则当时有，
∴成立，
综上，由数学归纳法知对一切正整数n成立；
（2）由，
∴
∴数列单调递减．
25．（2023·高三课时练习）若数列满足．
(1)求，，及的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为．
①求；
②对于任意正整数n，均有恒成立，求m的最小值．
【解析】
（1）取n＝1时，由，得；
取n＝2时，由，得；
取n＝3时，由，得．
当时，由，得，
两式相减得，整理得；
当n＝1时，也适合上式．综上，．
（2）①由（1）知，得
，，
两式相减得，
整理得．
②由题意对于任意正整数n，均有恒成立，则，即恒成立．
设，由，则
当时，，即；当时，，即．
于是的最大值为，所以，即m的最小值是
26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，且数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围.
【解析】
（1）由和已知条件得（），
从而，即.
∵数列的各项均为正数，∴，
，
两式相减得，由数列的各项均为正数，知，
由，由，解得，
于是，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故.
（2）数列是递增数列，则，
对恒成立，
于是对恒成立，
而单调递增，，.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足．
(1)证明：数列成等差数列．
(2)求数列的前n项和．
(3)若对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】
（1）证明：由题意知，．
∵，∴，，
∴，
∴数列是首项，公差的等差数列.．
（2）解：由（1）可得，则，．
∴，
于是，
两式相减得：
，
∴．
（3）解：∵，．
∴当时，．当时，，即．
∴当或2时，取最大值．
又对一切正整数n恒成立，∴，
即，得或．
28．（2023辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）已知数列，其前项和分别为，且分别满足，.
(1)求数列，的通项公式.
(2)将数列，的各项按，，，…，顺序排列组成数列，求数列的前项和.
【解析】
（1）由条件： 知：
，
，
当 时， 符合，
所以；
， 是等比数列，
又 ；
（2）当 时， ，
当 时，
；
当 时， ，
当 时，
29．（2023秋·天津北辰·高三校考期末）已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】
（1）若的公差为，结合题设可得：，又，故，
∴，
若的公比为且，结合题设可得：，又，故，
∴.
（2）由（1）知：，
∴，
∴，
以上两式相减，得：，
∴.
（3）由题设，，要使任意恒有，
∴，则恒成立
当为奇数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
当为偶数时，恒成立，而，故当且时，存在使其成立；
综上，存在实数，使得对任意的，恒有.
30．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且为等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，是否存在，使得恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
【解析】
（1）由题设且，
当时，，可得；
当时，，则；
由，故，
所以是首项、公差均为1的等差数列，故.
（2）由（1）知：，要使，即恒成立，
令且，则，
若，即，则，
在上，递增，上，递减，
所以在有最大值，又，
对于，当时，，当时，，
综上，，故存在或使恒成立
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