【期中真题】（苏科版）2023-2024学年八年级数学上册 期中真题分类专题汇编 专题06 勾股定理（九大题型）-试卷.zip

专题06 勾股定理 勾股定理——面积问题 1．（2022·宿迁期中）如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则　　． 【答案】 【详解】解：是直角三角形， ， ， 又，， ． 故本题答案为：． 2．（2022·连云港期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是　　． 【答案】8 【详解】解：如图，连接， 由题意可知：，， ， 即， ． 故本题答案为：8． 3．（2022·扬州期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为4、6、20，则正方形的面积为　　． 【答案】10 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ， 正方形、、的面积依次为4、6、20， ， ． 故本题答案为：10． 4．（2022·镇江期中）如图，在中，，分别以、、为边向上作正方形，已知的面积为5，则图中阴影部分面积之和为　　． 【答案】10 【详解】解：， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 即， ， 图中阴影部分面积之和． 故本题答案为：10． 勾股定理——距离问题 5．（2022·南京期中）如图，在中，，，，则点到的距离是 　　 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 在与中，由勾股定理得： ， 即， ， ， 即点到的距离是12， 故本题选：． 6．（2022·南通期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，的顶点、、均在网格的格点上，于点，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】解：如图所示： ， ，，， 即， 解得：． 故本题选：． 7．（2022·无锡期中）（1）如图，，已知中，，，的顶点、分别在边、上，当点在边上运动时，点随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点到点的最大距离为　　． A．5 B．6 C．7 D．8 （2）如图，，动点和分别在射线、上运动，且，作，且．在运动过程中，的最大距离是　　 A． B． C． D． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， ，， 点是边中点， ， ， 连接，，有， 当、、共线时，有最大值，最大值是， 又为直角三角形，为斜边的中点， ， ，即； （2）如图，取的中点，连接、， ， 当、、三点共线时，取得最大值为， ，是的中点，， ， 在中，由勾股定理得：， 在运动过程中，的最大距离为． 故本题选：；． 勾股定理——折叠问题 8．（2022·常州期中）如图，在矩形中，，．点是边上一点，沿翻折，点恰好落在边上点处，则的长是　　 A． B． C． D．3 【答案】 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 沿翻折， ，， 在中，由勾股定理可得： ， ， 设，则， 在中，， 即，解得：， 的长为． 故本题选：． 9．（2022·盐城期中）如图，把四边形纸片分别沿和折叠，恰好使得点和点、点和点重合，在折叠成的新四边形中，，，，则的面积是　　． 【答案】 【详解】解：由折叠得到，由折叠得到， ，，，， ，，， ，，， ， ， ， ， 如图，过点作交的延长线于点， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 故本题答案为：． 勾股定理——特殊三角形的存在性问题2 10．（2022·苏州期中）如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． （1）求的长； （2）当是直角三角形时，求的长． 【详解】解：（1）在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， ， 在中，， ； （2），， ， 是直角三角形需分两种情况分析： ①当时，， 在中，， ； ②当时，， 即，解得：， ， ； 综上，的长为或． 11．（2022·盐城期中）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）若点在上，且满足时，求出此时的值； （2）若点恰好在的角平分线上，求的值． 【详解】解：（1）设存在点，使得， 此时，， 在中，， 即，解得：， 当时，； （2）当点在的平分线上时，如图1，过点作于点，， 此时，，， 在中，， 即，解得：， 当时，在的角平分线上； 当点运动到点时，也符合题意，此时； 综上，满足条件的的值为或6． 12．（2022·常州期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求的值； （3）当为等腰三角形时，求的值． 【详解】解：（1）在中，， ； （2）如图， 由题意知：， ①当为直角时，点与点重合，，即； ②当为直角时，，，， 在中，， 在中，， 即，解得：； 综上，当为直角三角形时，或； （3）如图， ①当时，； ②当时，，； ③当时，，，， 在中，， 即，解得：； 综上，当为等腰三角形时，或或． 勾股定理的证明（含以弦图为背景的计算） 13．（2022·苏州期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【详解】解：， ， 大正方形的面积为13， ， ， 小正方形的面积为． 故本题选：． 14．（2022·无锡期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为81，小正方形面积为16，若用，表示直角三角形的两直角边，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】解：由题意，故A正确； ， 由②得：，故D正确； 由①②可得：③， ，故C正确； 由①③得：， ，故B错误． 故本题选：． 15．（2022·常州期中）操作与探究 （1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形． （2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为，，斜边为．请你利用图2中拼成的大正方形证明勾股定理． （3）应用：测量旗杆的高度 校园内有一旗杆，小希想知道旗杆的高度，经观察发现从顶端垂下一根拉绳，于是他测出了下列数据：①测得拉绳垂到地面后，多出的长度为0.5米；②他在距离旗杆4米的地方拉直绳子，拉绳的下端恰好距离地面0.5米．请你根据所测得的数据设计可行性方案，解决这一问题．（画出示意图并计算出这根旗杆的高度） 【详解】解：（1）如图所示即为拼接成的大正方形； （2）， ； （3）建立问题模型： 如图，在四边形中，，，比长0.5米，米，米，求的长． 解：过点作，垂足为， ，， ， 四边形是矩形， 米，米， 设米，则米，米， 在中，， ，解得：， 答：旗杆的高为8米． 16．（2022·扬州期中）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ （3）在第（2）问中若时，，，，，设，求的值． 【详解】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）， ， 在中，， 即，解得：， （千米）， 答：新路比原路少0.05千米； （3）设，则， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 勾股数 17．（2022·苏州期中）以下数组中，其中是勾股数的是　　 A．2.5，6，6.5 B．9，40，41 C．1，，1 D．2，3，4 【答案】 【详解】解：、2.5和6.5不是整数，不是勾股数； 、，是勾股数； 、不是整数，不是勾股数； 、，不是勾股数． 故本题选：． 18．（2022·连云港期中）如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为 　　 A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】 【详解】解：由题可得：，，， ，，， 当时，， ，， ． 故本题选：． 19．（2022·南通期中）阅读理解：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方和，即，那么称为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是 　　 A．②④ B．①②④ C．①② D．①④ 【答案】 【详解】解：①不能表示为两个正整数的平方和， 不是广义勾股数，故①结论正确； ②， 是广义勾股数，故②结论正确； ③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数， 如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误； ④两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数， 如2和2都是广义勾股数，但是它们的积不是广义勾股数，故④结论错误； 综上，正确的是①②． 故本题选：． 20．（2022·扬州期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． （1）请你写出另外两组勾股数：6，　　，　　；7，　　，　　； （2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数 ①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）求出另外两个数； ②请证明两个法则的正确性． 【详解】解：（1）勾股数分别为6，8，10；7，24，25， 故本题答案为：8，10；24，25； （2）①根据法则Ⅰ，则或， 或（不是奇数，舍去）， ， ， 另外两个数为5、13； ②法则Ⅰ，证明过程如下： ． ； 法则Ⅱ，证明过程如下： ． ． 勾股定理的逆定理——直角三角形的判定 21．（2022·泰州期中·改编）下列各组线段能构成直角三角形的一组是　　 A．5cm，9cm，12cm B．7cm，12cm，13cm C．20cm，60cm，20cm D．3cm，4cm，6cm 【答案】 【详解】解：、，不能构成直角三角形； 、，不能构成直角三角形； 、，能构成直角三角形； 、，不能构成直角三角形． 故本题选：． 22．（2022·常州期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【详解】解：设小正方形的边长为1， 则，， ，． 因为， 所以能构成一个直角三角形三边的线段是、、． 故本题选：． 23．（2022·无锡/盐城期中）以下四组代数式作为的三边，能使为直角三角形的有　　 ①，，为正整数）； ②，，为正整数）； ③，，，为正整数）； ④，，，，为正整数）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】 【详解】解：①，，为正整数），，能构成直角三角形； ②，，为正整数），，不能构成直角三角形； ③，，，为正整数），，能构成直角三角形； ④，，，，为正整数），，能构成直角三角形． 故本题选：． 24．（2022·泰州期中）如图，，垂足为，且，．点从点沿射线向右以2个单位秒的速度匀速运动，为的中点，连接、，设点运动的时间为． （1）当为何值时，； （2）当时，判断的形状，并说明理由． 【详解】解：（1）由题意得：， 为的中点， ， ，， ，， ， ， 在中，， 在中，， 令， ， 解得：或（舍去）， 当时，； （2）是直角三角形，理由如下： 当时，， ， 在中，， 在中，， ，， ， 是直角三角形． 勾股定理的逆定理——直角三角形的判定与性质 25．（2022·常州期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， 又，， 四边形是矩形， 如图，连接， ， 当时，取得最小值， 此时，解得：， 的最小值是， ， 的取值范围为：， 故本题选：． 26．（2022·无锡期中）如图所示的网格是正方形网格，则　　．（点，，，，是网格线交点） 【答案】45 【详解】解：如图，连接，， 则， 故， 设正方形网格的边长为， 则，，， ， 是直角三角形，， 又， ， ． 故本题答案为：45． 27．（2022·常州期中）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则　　． 【答案】 【详解】解：如图：连接，，设与交于点， 由题意得：，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， 是的一个外角， ， ． 故本题答案为：． 28．（2022·镇江期中）如图，已知在中，，，，为边上一个动点，连接，，分别交、于点、，垂足为，点为的中点，若四边形的面积为18，则的最大值为　　． 【答案】 【详解】解：中，，，， ， 为直角三角形，且， 为的中点， ， 四边形的面积为18，， ， 即， 当取最小值时，有最大值， 故当时，值最小，最小值为， 此时． 故本题答案为：． 29．（2022·宿迁期中）如图，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为24． 30．（2022·南京期中）如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点、，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【详解】（1）证明：连接， 边上的垂直平分线为， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， 在中，， ，解得：， 的长为． 勾股定理的实际应用 31．如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【详解】解：如图，沿将圆柱的侧面展开， 底面半径为， ， 在中， ，， ． 故本题选：． 32．（2022·南京/无锡/常州/南通期中）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面　　尺． 【答案】4.55 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：， 解得：， 答：折断处离地面4.55尺． 故本题答案为：4.55． 33．（2022·常州/苏州/淮安期中）将一根的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是　　． 【答案】 【详解】解：如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ； 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时； 所以的取值范围是． 故本题答案为：． 34．（2022·南通期中）如图，在笔直的高速路旁边有、两个村庄，村庄到公路的距离，村庄到公路的距离，测得、两点的距离为，现要在之间建一个服务区，使得、两村庄到服务区的距离相等，求的长． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以，解得： 所以应建在距点，即． 35．（2022·盐城期中）一架长2.5米的梯子如图所示斜靠在一面墙上，这时梯足离墙底的距离为0.7米． （1）求此时梯顶距地面的高度； （2）如果梯顶下滑0.9米，那么梯足在水平方向，向右滑动了多少米？ 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC2+BC2=AB2， 即AC2+0.72=2.52，解得：AC=2.4(m)， 答：此时梯顶距地面的高度是2.4m； （2）梯子的顶端下滑了0.9米至点， ， 在△中，由勾股定理得：， 即，解得：， ， 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 36．（2022·淮安期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． （1）着火点受洒水影响吗？为什么？ （2）若飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要13秒，请你通过计算判断着火点能否被扑灭？ 【详解】解：（1）着火点受洒水影响．理由如下： 如图，过点作于， 由题意知：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， ， 飞机中心周围以内可以受到洒水影响， 着火点受洒水影响； （2）如图，当时，飞机正好喷到着火点， 在中，， ， 飞机的速度为， （秒）， 秒秒， 着火点能被扑灭， 答：着火点能被扑灭． 37．（2022·苏州期中）如图，在弦图中，正方形的对角线与正方形的对角线交于点，对角线交正方形于，两点，记面积为，面积为，若，，则的值为　　． 【答案】16 【详解】解：由题意可得：，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ，即， 在和中， ， ， ，即点为正方形的中心， 如图，过点作于点， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， ，， 则，， 设，，则， ， ， ． 故本题答案为：16． 38．（2022·南通期中）如图中，，，．若动点从点开始以每秒1个单位的速度，按的路径运动，设运动的时间为秒，当为　　时，为等腰三角形． 【答案】5或20或或 【详解】解：， 是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， 当点在上时，， ； 当点在上时，分三种情况： ①当，如图1所示： 则， ； ②当时， 过点作于，如图2所示： 则， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； ③当时，如图3所示： 则， ，， ， ， ， ； 综上，当或20或或时，为等腰三角形． 故本题答案为：5或20或或． 39．（2022·无锡期中）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求的长度（结果保留根号）； （2）当为等腰三角形时，求的值； （3）过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 【详解】解：（1）根据题意得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 答：的长为； （2）在中，，， 根据勾股定理得：， 若，则，解得：， 若，则，，解得：， 若，则，解得：， 答：当为等腰三角形时，的值为、16、5； （3）①点在线段上时，过点作于，如图1所示： 则， ， 平分， ， 又， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点在线段的延长线上时，过点作于，如图2所示： 同①得：， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使．