数学必修 第一册数学建模 建立函数模型解决实际问题教案

这是一份数学必修 第一册数学建模 建立函数模型解决实际问题教案，共10页。教案主要包含了教学内容解析等内容，欢迎下载使用。

本节课是《普通高中教科书•数学（人教B版）》必修第三册第七章第四节《数学建模活动：周期现象的描述》．
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容．数学建模搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学运用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的手段，也是推动数学发展的动力．
数学建模和数学探究注重的是学习方式的转变、强调学习以知识接受为基本方式，以知识结果的获得为直接目的，对学生的动手动脑能力提出了更高的要求．
教学目标设置
根据教学内容以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下四个方面：
了解完整的数学建模过程，会建立函数模型解决实际问题；
基于现实情境，构建数学模型，经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”的过程．体验数学在解决问题中的价值和作用．提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力；
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型；
让学生重视学科之间的联系，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学的眼光观察世界，发现问题，并用数学的方法解决实际问题．
教学重点：掌握完整的数学建模活动过程．
教学难点：利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
学生学情分析
学生已经研究了正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．他们初步掌握了计算机软件的使用方法，能够进行简单的数据处理．
教学策略分析
本节课以微课的形式进行教学．
通过情景引入、初步探索、综合运用、综合提升四个环节，引导学生经历选题、开题、做题、结题的过程，培养数学建模素养．
教学过程
创设情境，引入新课
情景一：将下图所示的摩天轮抽象成下图所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点O，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系．设O到地面的高OT为 m，P点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为 m．记以OP为终边的角为 rad，点P离地面的高度为 m，那么是的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？

情境二：交变电流可以用三角函数表达为，其中表示时间，表示电流，表示最大电流，表示频率，表示初相位．
情境三：单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为，其中表示时间，表示位移，表示振幅，表示频率，表示初相位．
教师对前几节遇到的实际问题进行梳理，引出本节课的课题——数学建模活动：周期现象的描述．
设计意图：
引领学生回顾前面教学中遇到的实例引入本节课题．
引导学生举出更多生活中的周期现象．
设计意图：
让学生体会数学源于生活，激发学生的学习兴趣．
引出本节课的教学案例——潮汐现象．
初步探究，归纳步骤
完整的数学建模活动一般要经历选题、开题、做题、结题四过程．
选题：指根据要求选定合适的研究对象的过程；
开题：指讨论与确定建模步骤的过程；
做题：指按照讨论步骤进行实际建模的过程；
结题：指总结与交流的过程．
设计意图：
梳理完整的建模过程，为接下来的学习提供思路．
综合应用，小结反思
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐。一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．
下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表．
思考：
选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值与时间的函数关系，给出整点时水深的近似数值；
一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能停留多久？
某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减小，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
以时间为自变量t（t=0表示0：00），水深值为因变量y，对应数据如下表：
在平面直角坐标系中描出各点．
用平滑的曲线连接各点，观察图像与我们所学的正弦函数相似，所以我们尝试用函数刻画水深与时间之间的对应关系。
（1）从数据和图像可以得出：．
由得．
所以这个港口的水深与时间的关系可用近似描述．
由上述关系式易得出港口在整点时水深的近似数值：
（注：以精确到小数点后一位为例进行数据处理．）
（2）货船需要的安全水深为（m），
所以当时可以进港．
在平面直角坐标系中作出函数与的图像．
由图像可得或时，．
故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港，在港口最长可停留5.2小时．
（3）若时，时刻吃水深度为．
当时，该船可以在港卸货．
在平面直角坐标系中作出函数与的图像．
由图像可知时，即6:42时，该船必须停止卸货驶向较深水域．
设计意图：
培养学生对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养．
反思问题探究过程，归纳解决问题的一般方法，提高数学实践能力．
体会数学建模的现实意义．
教学小结，提升认识
学生根据老师的选题、开题、做题进行总结交流，探讨基于案例中的建模活动，还能得出什么结论？
在数据处理过程中，可以保留小数点后一位，也可以保留小数点后两位、三位等．
学生尝试独立建立数学模型描述日常生活中的周期现象．
数学建模的过程．
设计意图：
回顾本节课内容，总结解决问题的一般方法． 体会数学来源于生活，应用于生活．
作业：如图为一个摩天轮示意图．该摩天轮圆半径为4．8 m，圆上最低点与地面距离为0．8m，60s转动一周．图中OA与地面垂直．以OA为始边，逆时针转动角到OB．设B点与地面的距离为．
求与的函数解析式;
设从OA开始转动，经过s到达OB，求与的函数解析式．
设计意图：
让学生学以致用，尝试独立解决问题，提高数学实践能力．
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
12:00
15:00
18:00
21:00
24:00
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
时刻
0:00
3:00
6:00
9:00
15:00
18:00
21:00
24:00
自变量t
0
3
6
9
15
18
21
24
水深值
5.0
7.5
5.0
2.5
7.5
5.0
2.5
5.0
因变量y
5.0
7.5
5.0
2.5
7.5
5.0
2.5
5.0
时刻
0：00
1：00
2：00
3：00
4：00
5：00
6：00
7：00
8：00
9：00
10：00
11：00
12：00
水深
5．0
6．3
7．2
7．5
7．2
6．3
5．0
3．8
2．8
2．5
2．8
3．8
5．0
时刻
13：00
14：00
15：00
16：00
17：00
18：00
19：00
20：00
21：00
22：00
23：00
24：00
水深
6．3
7．2
7．5
7．2
6．3
5．0
3．8
2．8
2．5
2．8
3．8
5．0