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2024年高考数学第一轮复习精品导学案第61讲 圆的方程（学生版）+教师版
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这是一份2024年高考数学第一轮复习精品导学案第61讲 圆的方程（学生版）+教师版，共2页。
1、 圆的定义及方程
2、 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2⇔ ；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2⇔ ；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2常用结论
(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为
1、（2022•甲卷（文））设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
2、（2022•乙卷（文））过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．
3、【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
A．eq \f(1,4)1 C．m1
2、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq \r(3)
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq \r(13)
3、若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
4、 若圆C的直径的两个端点分别是A(－1，2)，B(1，4)，则圆C的标准方程为__________．
5、若已知圆过点A(2，－3)，B(－2，－5)，C(0，1)，则圆的方程为_________________________．
考向一 圆的方程
例1、(1) 已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为___________________________；
(2) 已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________；
(3) 若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为 2 eq \r(7)，则该圆的方程为___________________．
变式1、 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为eq \r(6)，则圆C的方程为________.
变式2、根据下列条件，求圆的方程．经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；
方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
考向二 与圆有关的最值问题
例2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
变式1、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求 eq \f(y,x)的最大值和最小值．
变式2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上 eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．
变式3、 若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．
(1)eq \f(y,x－4)；
(2)3x－4y；
(3)x2＋y2.
变式4、（深圳市高级中学集团期末试题）已知点，点，R是圆上动点，则的最小值为__________．
方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
考向三 与圆有关的轨迹问题
例3、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1) 求线段AP中点的轨迹方程；
(2) 若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
变式、 （东莞市高三期末试题）已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为____________．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
1、【2020年新课标3卷文科】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
2、（2022年重庆市高三模拟试卷）写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：______．
①圆心在直线上，②与轴相切．
3、（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷） “”是“点在圆外”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4、在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq \r(2)，在y轴上截得线段长为2eq \r(3)．
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为eq \f(\r(2),2)，求圆P的方程．
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准
方程
圆心C：
半径：
一般
方程
圆心：
半径：
1、 圆的定义及方程
2、 点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三种情况
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．
①(x0 －a)2＋(y0 －b)2＝r2⇔ ；
②(x0 －a)2＋(y0 －b)2>r2⇔ ；
③(x0－a)2＋(y0 －b)2
(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为
1、（2022•甲卷（文））设点在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
2、（2022•乙卷（文））过四点，，，中的三点的一个圆的方程为 ．
3、【2020年新课标2卷理科】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
A．eq \f(1,4)
2、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq \r(3)
C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq \r(13)
3、若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围为________．
4、 若圆C的直径的两个端点分别是A(－1，2)，B(1，4)，则圆C的标准方程为__________．
5、若已知圆过点A(2，－3)，B(－2，－5)，C(0，1)，则圆的方程为_________________________．
考向一 圆的方程
例1、(1) 已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为___________________________；
(2) 已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________；
(3) 若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为 2 eq \r(7)，则该圆的方程为___________________．
变式1、 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
(2)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为eq \r(6)，则圆C的方程为________.
变式2、根据下列条件，求圆的方程．经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上；
方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
考向二 与圆有关的最值问题
例2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．
变式1、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求 eq \f(y,x)的最大值和最小值．
变式2、已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上 eq \r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．
变式3、 若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．
(1)eq \f(y,x－4)；
(2)3x－4y；
(3)x2＋y2.
变式4、（深圳市高级中学集团期末试题）已知点，点，R是圆上动点，则的最小值为__________．
方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
考向三 与圆有关的轨迹问题
例3、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1) 求线段AP中点的轨迹方程；
(2) 若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
变式、 （东莞市高三期末试题）已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为____________．
方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
1、【2020年新课标3卷文科】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线
2、（2022年重庆市高三模拟试卷）写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程：______．
①圆心在直线上，②与轴相切．
3、（2022年江苏省泰州市高三模拟试卷） “”是“点在圆外”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4、在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq \r(2)，在y轴上截得线段长为2eq \r(3)．
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为eq \f(\r(2),2)，求圆P的方程．
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准
方程
圆心C：
半径：
一般
方程
圆心：
半径：
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