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    2024年高考数学第一轮复习精品导学案第09讲 函数的单调性与最值(学生版)+教师版

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    这是一份2024年高考数学第一轮复习精品导学案第09讲 函数的单调性与最值(学生版)+教师版,共2页。

    (1)单调函数的定义
    (2)单调区间的定义
    如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
    2.函数的最值
    常用结论
    1.∀x1,x2∈D且x1≠x2,有eq \f(fx1-fx2,x1-x2)>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减).
    2.在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数.
    3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x),y=eq \f(1,fx)的单调性相反.
    4.复合函数的单调性:函数y=f(u),u=φ(x)在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))单调递减.
    1、【2020年新高考2卷(海南卷)】已知函数在上单调递增,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    2、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为( )
    A.B.C.D.
    3、【2018年新课标1卷文科】设函数,则满足的x的取值范围是
    A.B.C.D.
    1、下列函数中,定义域是且为增函数的是
    A. B. C. D..
    2、函数,的值域是( )
    A.B.C.D.
    3、已知函数,则
    A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数
    C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数
    4、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)如果函数eq f(x)=lg\s\d(a)|x-1|在(0,1)上是减函数,那么
    A.f(x)在(1,+∞)上递增且无最大值
    B.f(x)在(1,+∞)上递减且无最小值
    C.f(x)在定义域内是偶函数
    D.f(x)的图象关于直线x=1对称
    考向一 函数单调性的证明与判断
    例1、讨论并用定义证明函数f(x)= eq \f(x,x2-1)在区间(-1,1)上的单调性.
    变式1、判断函数f(x)=eq \f(x,1+x2)在区间[1,+∞)上的单调性并证明你的结论.
    方法总结: 1. 判断函数的单调性,通常的方法有:(1)定义法;(2)图像法;(3)利用常见函数的单调性;(4)导数法.而要证明一个函数的单调性,基本方法是利用单调性定义或导数法.
    2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性,其基本步骤如下:
    eq \x(取值)
    {eq \x(取值)→eq \x(作差)→eq \x(变形)→eq \x(确定符号)→eq \x(得出结论)
    其中,变形是十分重要的一步,其目的是使得变形后的式子易于判断符号,常用的方法是(1)分解因式;(2)配方;(3)通分约分等.
    考向二 函数的单调区间
    例1、求下列函数的单调区间
    (1)y=-x2+2|x|+1;
    (2)、函数y=|x|(1-x)的单调递增区间是________.
    变式1、求下列函数的单调区间.
    (1) f(x)=|x2-2x+2|;
    (2) f(x)=lg2(x2-2x-3).
    变式2、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数eq y=lg\s\d(5)(x\s\up6(2)+2x-3)的单调递增区间是______.
    变式3、.函数y=lgeq \f(1,2)(-x2+x+6)的单调递增区间为( )
    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2,\f(1,2)))
    C.(-2,3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2),+∞))
    方法总结:求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似,有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等.值得引起高度重视的是:
    (1)函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求单调区间,必须先求出定义域;
    (2)对于基本初等函数的单调区间,可以直接利用已知结论求解
    考向三 函数的最值
    例3、设m∈R,若函数f(x)=|x3-3x-2m|在区间[0,2]上的最大值为4,求实数m的值.
    变式1、(2022·河北·石家庄二中模拟预测)设,函数,若的最小值为,则实数的取值范围为( )
    A.B.C.D.
    方法总结:研究函数的单调区间,进行讨论求解求解
    考向四 函数单调性中的含参问题
    例4、 设a>0且a≠1,函数f(x)=lga(ax-1)在区间[3,5]上是单调增函数,求实数a的取值范围.
    变式1、设a>0且a≠1,函数f(x)=lga(ax2-x)在区间[3,5]上是单调增函数,求实数a的取值范围.
    变式2、已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((1-2a)x+3a,x<1,,2x-1,x≥1))的值域为R,则实数a的取值范围是________.
    1、(2022·湖南·雅礼中学二模)下列函数中,在R上为增函数的是( )
    A.B.C.D.
    2、(2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测)函数在上是减函数,则实数的范围是_______.
    3、(2022·江苏镇江中学高三10月月考)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.
    4、(2022·湖北·一模)已知函数(x>0),若的最大值为,则正实数a=___________.增函数
    减函数
    定义
    一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果∀x1,x2∈D
    当x1当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上是减函数
    图象描述
    自左向右看图象是上升的
    自左向右看图象是下降的
    前提
    设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
    条件
    (1)∀x∈I,都有f(x)≤M;
    (2)∃x0∈I,使得f(x0)=M
    (1)∀x∈I,都有f(x)≥M;
    (2)∃x0∈I,使得f(x0)=M
    结论
    M为最大值
    M为最小值
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