高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念优秀当堂检测题

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知识点01：集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示.
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.
知识拓展集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【即学即练1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
知识点02：元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belng t)：如果是集合的元素，就说属于，记作 .
(2)不属于(nt belng t)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作.
特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：.
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练2】（2023·高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2020，都是数集．
选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
故选：C
知识点03：集合的表示方法与分类
1常用数集及其符号
2集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4）（韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。
3集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练3】（2023高一课时练习）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，
其中正确的个数为______.
【答案】3
【详解】是无理数，属于实数，①正确；
是分数，属于有理数，②正确；
0表示一个元素，表示一个集合，③错误；
N表示从0开始的所有自然数集合，，④错误；
是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；
Z表示所有整数的集合，-3是整数，，⑥正确；
故答案为：3.
知识点04：集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ，
【即学即练4】（2023·江苏·高一专题练习）集合，且，则实数m=________.
【答案】1或/或1
【详解】因为，且，
所以，
由，得，解得或
故答案为：1或
题型01 判断元素能否构成集合
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【典例2】（2023·高一课时练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生B．年高考数学难题
C．所有有理数D．小于的正整数
【变式1】（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）下列四组对象中能构成集合的是（ ）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
题型02 判断是否为同一集合
【典例1】（2023·高一课时练习）判断下列命题是否正确．
（1）集合与集合表示同一集合；( )
（2）集合与集合表示同一集合；( )
（3）集合与集合不表示同一集合；( )
（4）集合与集合表示同一集合．( )
【典例2】（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为或
B．与是同一个集合
C．集合与集合是同一个集合
D．集合与集合是同一个集合
【变式1】（2023·高三课时练习）设是有理数，集合，在下列集合中；
（1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
题型03判断元素与集合的关系
【典例1】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2023·广西百色·高一校考阶段练习）已知集合，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·河北·高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是 ( )
A．0∈M,2∈MB．0∉M,2∈M
C．0∈M,2∉MD．0∉M,2∉M
题型04根据元素与集合的关系求参数
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 ，且 ，则实数的值为（ ）
A．3B．2C．0或3D．0或2或3
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若集合，且，则实数___________.
【变式1】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知，则a的值为______．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）集合中所有元素之和为，则实数________．
题型05根据集合元素互异性求参数
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【典例2】（2023·高一课时练习）已知集合中的元素1，4，，且实数满足，求实数的值.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知集合，则实数______．
题型06自然语言法
【典例1】（2023·高一课时练习）用自然语言描述下列集合：
(1)；
(2)；
(3).
题型07列举法
【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）集合用列举法表示为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）方程组的解集是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·四川·高一校考阶段练习）设集合，则用列举法表示集合为______.
【变式1】（2023·山西运城·高一校考阶段练习）集合，用列举法表示为（ ）
A．1B．2C．D．
【变式2】（2023·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知集合，，用列举法表示集合_____________．
题型08描述法
【典例1】（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【典例2】（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
【变式1】（2023·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
题型09两个集合相等问题
【典例1】（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【典例2】（2023·高一单元测试）设，，，若，则______．
【变式1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合，，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．
题型10根据集合中元素的个数求参数
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知集合的元素只有一个，则实数的值为（ ）
A．B．0C．或0D．无解
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【变式1】（2023·高一课时练习）已知集合.
（1）若中只有一个元素，求及；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.
题型11常见数集或数集关系的应用
【典例1】（2023·海南·高一海南中学校考期中）下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（多选）（2022秋·广东佛山·高一校考期中）下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2023·陕西榆林·高一校考阶段练习）下列关系中，正确的个数为（ ）
①②③④⑤
A．5B．4C．3D．2
题型12新定义题
【典例1】（多选）（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义若则中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【变式1】（2023·高一课时练习）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
本节重点方法 分类讨论法
【典例1】（多选）（2023秋·山东东营·高一统考期末）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的值可能是（ ）
A．B．C．D．
【典例1】（2023·高一课时练习）已知集合，其中.
（1）1是中的一个元素，用列举法表示；
（2）若中至多有一个元素，试求的取值范围.
【变式1】（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知集合.
(1)若是空集，求的取值范围；
(2)若中至多有一个元素，求的取值范围.
1.1集合的概念
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．（2023·全国·高三专题练习）集合中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
3．（2023秋·山东济南·高一济南市历城第二中学校考期末）方程x2＝x的所有实数根组成的集合为
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）若，则a =（ ）
A．2B．1或－1C．1D．－1
5．（2023春·河北承德·高三河北省滦平县第一中学校考阶段练习）已知集合M=且，则M等于（ ）
A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3，6}D．{，2，3，4}
6．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若集合中只有一个元素，则
A．B．C．0D．0或
8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{2，5}D．{1，5}
二、多选题
9．（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．与表示同一个集合
B．集合＝与＝表示同一个集合
C．方程＝的所有解的集合可表示为
D．集合不能用列举法表示
10．（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期中）已知集合，则有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
11．（2023·高三课时练习）已知集合，则的值为_________．
12．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为_________．
四、解答题
13.（2023·高一课时练习）用适当方法表示下列集合：
（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；
（2）方程+|y﹣2|＝0的解集；
（3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.
14．（2023·高一课时练习）已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合且；
（2）试用列举法表示集合且．
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则C集合中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
3．（多选）（2022·江苏·高一专题练习）已知，且，，，则取值可能为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）设关于的不等式的解集为 .
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围.
C综合素养
1．（2023·高一单元测试）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A．NB．ZC．QD．
2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）（2022·全国·高一专题练习）已知集合，则下列说法中正确的是（ ）
A．但
B．若，其中，则
C．若，其中，则
D．若，其中，则
4．（2022秋·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②2025∈[1] ； ③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3] ；④若a∈[1]，b∈[3]，则a3b∈[0].其中正确的结论是__________.
5．（2022·高一课时练习）（1）如果集合，，证明：．
（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
课程标准
学习目标
1.元素与集合
① 理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法.
② 了解“属于”关系的意义.
③了解有限集、无限集、空集的意义.
2.集合的表示方法
掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化).
3.元素的性质
理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性.
1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力.
2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
数学符合
或