2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（八）数学试题（解析版）

这是一份2023年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（八）数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．或B．
C．或D．
【答案】C
【分析】根据补集的定义运算即得.
【详解】∵，集合，
∴或.
故选：C.
2．函数的定义域是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】表达式中带根号，故只需考虑根号内大于等于0即可．
【详解】由，则 ，解得 ，故选C．
【点睛】求定义域时需要注意：1.根号内大于等于0；2.分母不能为0；3.对数函数中真数大于0．
3．函数的最小正周期是（ ）
A．B．πC．2πD．4π
【答案】D
【分析】利用正弦函数的周期求解．
【详解】f(x)的最小正周期为．
故选：D．
4．已知向量，则（ ）
A．(4，3)B．(5，1)
C．(5，3)D．(7，8)
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算即得.
【详解】∵，
∴．
故选：B.
5．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝（ ）
A．B．
C．4D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】∵A＝60°，b＝2，c＝3，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝4＋9－2×2×3×＝7，
∴a＝．
故选：A
6．若，则的值为（ ）
A．－B．C．－3D．3
【答案】A
【分析】根据和差角的正切公式即得.
【详解】∵，
∴．
故选：A.
7．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】利用复数的乘方和复数的除法运算律将复数表示为一般形式，即可得出复数在复平面内对应的点的坐标.
【详解】，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为.
故选：A.
【点睛】本题考查复数的乘方、复数的除法运算，同时也考查了复数对应的点的坐标的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.
8．如果两个球的表面积之比为4∶9，那么这两个球的体积之比为（ ）
A．2∶3B．4∶9C．8∶27D．16∶81
【答案】C
【分析】球的表面积之比是两球的半径的平方之比，体积之比是半径的立方之比，据此即可计算.
【详解】设两球的半径分别为，则，∴，所以两球的体积比为；
故选：C.
9．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的图象和性质即得.
【详解】由对数函数性质知为增函数，故排除BD；
当时，，即函数过点，排除C.
故选：A．
10．某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间（单位：小时）进行调查，并根据统计数据绘制了如图所示的频率分布直方图，其中实践活动时间的范围是[9，14]，数据的分组依次为：[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14]．已知活动时间在[9，10）内的人数为300，则活动时间在[11，12）内的人数为（ ）
A．600B．800C．1 000D．1 200
【答案】D
【分析】由频率分布直方图，根据频率的意义计算．
【详解】解析：活动时间在[9，10）内的频率为0.10，在[11，12）内的频率为0.40，设活动时间在[11，12）内的人数为x，则，解得x＝1 200．
故选：D．
11．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件互斥但不对立的是（ ）
A．“至少有1件次品”与“全是次品”
B．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品”
C．“至少有1件次品”与“全是正品”
D．“至少有1件正品”与“至少有1件次品”
【答案】B
【分析】由互斥事件和对立事件的定义判断．
【详解】从一堆产品中任取2件，基本事件为“全是正品”，“一件正品，一件次品”，“全是次品”，共3种情况，
其中AD不互斥，C是对立事件，只有B互斥但不对立．
故选：B．
12．函数（a>0，且a≠1）的图象恒过定点（ ）
A．（0，－3）B．（0，－2）
C．（1，－3）D．（1，－2）
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象所过定点的性质求解．
【详解】令x－1＝0，则x＝1，此时，y＝a0－3＝－2，∴图象过定点（1，－2）．
故选：D．
13．从3本不同的数学书和1本语文书中任取两本，则取出的两本书中有语文书的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把四本书编号，用列举法写出所有基本事件，并得出有语文书的基本事件，计数后计算概率．
【详解】记3本数学书为a，b，c，1本语文书为d，从中任取两本，共有取法：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种情况，其中有语文书有3种情况，故所求概率为．
故选：A．
14．一个扇形的弧长与面积的数值都是3，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．
【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得
故选：C．
15．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】还原为正方体根据空间直线的位置关系结合正方体的性质即得.
【详解】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体,
则BF与DN是异面直线，故①错误；
CM与BN平行，故②错误；
由题可知，所以DF与BN垂直，故③正确；
AE与DN是异面直线，故④正确；
故正确个数为2．
故选：B.
二、填空题
16．已知函数，则的值为________
【答案】－3
【分析】由分段函数的定义计算，注意自变量的取值范围．
【详解】，，
∴．
故答案为：．
17．已知向量与的夹角为，且，，则的值为________．
【答案】－6
【分析】由数量积的定义计算．
【详解】．
故答案为：．
18．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D为D′，且平面AED′⊥平面ABCE.则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为_____.
【答案】
【分析】由面面垂直，易得斜线在平面的射影，进而得角.
【详解】解：由题意，为等腰直角三角形，
∵平面平面，
∴在底面的射影为，
∴为直线与平面所成角，
且，
其正弦值为.
故答案为：.
【点睛】此题考查了斜线与平面所成角，难度不大.
19．已知函数对任意，都有成立．有以下结论：
①；②是上的偶函数；③若，则；
④当时，恒有，则函数在上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是________
【答案】①③
【分析】对于①，通过赋值可得，①正确；
对于②，通过赋值可证为奇函数，②错误；
对于③，通过赋值可得，③正确；
对于④，函数单调性的定义，根据题意，结合函数为奇函数，可证在上单调递减，④错误．
【详解】对于①令，则，解得，①正确；
对于②令，则，∴，∴是上的奇函数，②错误；
对于③令，则，∴，③正确；
对于④设，则，∴，
则，∴在上单调递减，④错误．
故答案为：①③．
三、解答题
20．如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点．证明：EF∥平面AB1D1．
【答案】证明见解析
【分析】由直线与平面平行的判定定理，需要证明EF∥AD1.
【详解】证明:连接BC1，如图所示
∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，
在四棱柱中,底面ABCD为平行四边形，∴AB∥DC∥D1C1且AB=DC=D1C1，
∴四边形AB C1D1为平行四边形，有BC1∥AD1，∴EF∥AD1，
∵EF⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1．
21．已知函数，
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若函数在上有零点，求的取值范围．
【答案】(1) ，k∈Z
(2)
【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程在上有解即可.
【详解】(1)
当 ，k∈Z时，单调递增，
∴函数的单调递增区间为，k∈Z．
(2)函数在上有零点，也就是在上有解．
∵当时，．
∴a的取值范围是．
22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占.现从参与调查的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组第组第组得到的频率分布直方图如图所示：
（1）求的值
（2）求这人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精确到小数点后一位)；
（3）现在要从年龄较小的第组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求这组恰好抽到人的概率.
【答案】（1）；（2）平均数为岁；中位数为岁；（3）.
【解析】（1）由频率分布直方图即能求出；
（2）由频率分布直方图即能求出平均数和中位数；
（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，再利用列举法即可求出.
【详解】解：（1）由，得.
（2）平均数为岁；
设中位数为，则，∴岁.
（3）第组的人数分别为人，人，从第组中用分层抽样的方法抽取人，
则第组抽取的人数分别为人，人，分别记为.
从人中随机抽取人，有，
共个基本事件，从而第组中抽到人的概率.
【点睛】方法点睛：求解古典概型的问题方法之一：运用列举法是常用的方法，列举时，注意思考的顺序，做到不重不漏.