(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第02课 平面向量的加法运算（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
知识点01 向量加法的定义及其运算法则
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2．向量求和的法则
位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型．
【即学即练1】化简 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案C
解析 SKIPIF 1 < 0 .故选:C.
知识点02 向量加法的运算律
【即学即练2】[多选]如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
解析：选ACD 由平行四边形加法法则可得： SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
由三角形加法法则 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，C正确； SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：ACD
知识点03 向量加法的实际应用
【即学即练3】在静水中船的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，水流的速度为 SKIPIF 1 < 0 ，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
答案 答案见解析.解析 如图所示，
SKIPIF 1 < 0 表示船速， SKIPIF 1 < 0 表示水速，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为邻边作 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示船实际航行的方向.
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
所以船实际行进的方向的正切值为 SKIPIF 1 < 0 .
能力拓展
考法01 向量的加法法则
【典例1】已知在边长为2的等边 SKIPIF 1 < 0 中，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
答案 C
解析 如图所示：
设点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，由题可知： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【变式训练】
1．已知 SKIPIF 1 < 0 是非零向量，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，与向量 SKIPIF 1 < 0 相等的向量的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 A
解析 因为向量的加法满足交换律和结合律，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都等于 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A
2．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的点且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ______．
答案 SKIPIF 1 < 0 .
解析 因为在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的点且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
考法02 相等加法运算律的应用
【典例2】如图所示，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值.
答案 (1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
解析 （1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0
代入 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
【变式训练】
1．如图，正六边形ABCDEF中，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 D
解析 由已知，ABCDEF为正六边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
2．（多选）在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，则有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 AC
解析 如图所示：
对A， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对B， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对C，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点，由题意可得： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的重心，故 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对D， SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：AC.
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 对于选项A：若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为非零向量， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不一定等于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不成立，A错误；
对于选项B： SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 同向，于是可知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 共线，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于选项C：若 SKIPIF 1 < 0 为零向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定能推出 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于选项D： SKIPIF 1 < 0 ，但是两个向量方向不一定相同，故不可以推出 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；
故选：B
2．下列说法错误的是（ ）
A．向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 长度相等B．单位向量都相等
C． SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 ，且方向是任意的D．任一非零向量都可以平行移动
答案 B
解析 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确；
单位向量长度都为 SKIPIF 1 < 0 ，但方向不确定，故B选项错误；
根据零向量的概念，易知C选项正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确；
故选：B.
3．如图所示，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 由于 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 上的中点，则 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
4． SKIPIF 1 < 0 中，M，N分别为AC，BC的中点，AN与BM交于点O，下列表达正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 D
解析
取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ,则点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的重心， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 B
解析 因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
6．若 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 上两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 C
解析 若 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形时， SKIPIF 1 < 0 ，故A，B错误
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，设 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 也是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故C正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D错误，故选：C
7．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0
B．若两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是互为相反向量
C． SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合
D．模为 SKIPIF 1 < 0 是一个向量方向不确定的充要条件
答案 BD
解析 对A：向量不可比较大小，故A错误；
对B：若两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且方向相反，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为相反向量，B正确；
对C： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，故 SKIPIF 1 < 0 ，充分性成立；但 SKIPIF 1 < 0 ，根据向量可平移性，不一定有 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，必要性不满足，C错误；
对D：模为 SKIPIF 1 < 0 的向量是零向量，其方向不确定，故充分性成立；一个向量方向不确定，是零向量，其模为 SKIPIF 1 < 0 ，必要性成立，即模为 SKIPIF 1 < 0 是一个向量方向不确定的充要条件，D正确.
故选：BD.
8．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．模为 SKIPIF 1 < 0 是一个向量方向不确定的充要条件
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向，则 SKIPIF 1 < 0
C．若两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是互为相反向量
D． SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合
答案 AC
解析 解：对于A，只有零向量的模长为 SKIPIF 1 < 0 ，且方向是任意的，因为模长为 SKIPIF 1 < 0 的向量方向是不确定的，所以充分性成立，因为一个方向不确定的向量的模长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以必要性成立，故A正确，
对于B， SKIPIF 1 < 0 表达错误，向量既有大小又有方向，它的模长可以比较大小，其本身不能比较大小，故B错误，
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 模长相等，方向相反，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互为相反向量，故C正确，
对于D，由于向量可以平行移动，所以由 SKIPIF 1 < 0 不一定能得到 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 重合，故D错误，
故选：AC．
9．在 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的面积比为___________．
答案 SKIPIF 1 < 0 .
解析 取 SKIPIF 1 < 0 边的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 点为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
10．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，E为 SKIPIF 1 < 0 中点，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
答案 SKIPIF 1 < 0
解析 解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 )= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
11．向量的和、向量的加法：已知向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，______________，则向量 SKIPIF 1 < 0 叫作 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的和，记作：____________．求两个向量_________的运算叫作向量的加法．
答案 在平面内取任取一点O，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 和
12．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的点且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ______．
答案 SKIPIF 1 < 0
解析 解：因为在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上的点且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题组B 能力提升练
1．若非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，由 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 中有一个必为零向量，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不共线，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .同理知无法判断 SKIPIF 1 < 0 之间的大小关系.
故选：C.
2．已知 SKIPIF 1 < 0 是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
对于B，因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点)，故错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点), SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点),
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确；对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故正确.
故选：B.
3．若非零不共线的向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
（2）由非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, SKIPIF 1 < 0 ,
则 SKIPIF 1 < 0 . 在图（1）中, SKIPIF 1 < 0 , 不能比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小;
在图（2）中, 由 SKIPIF 1 < 0 , 得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直角三角形. 易知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
由三角形中大角对大边, 得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
4． SKIPIF 1 < 0 为非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相同B． SKIPIF 1 < 0 是共线向量且方向相反
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 无论什么关系均可
【答案】A
【详解】当两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 不共线时， SKIPIF 1 < 0 的方向与 SKIPIF 1 < 0 的方向都不相同，且 SKIPIF 1 < 0 ；
当两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 同向时， SKIPIF 1 < 0 的方向与 SKIPIF 1 < 0 的方向都相同，且 SKIPIF 1 < 0 ；
当两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 反向时且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向与 SKIPIF 1 < 0 的方向相同，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以对于非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 方向相同.
故选：A.
5．（多选）下列关于向量的叙述正确的是（ ）
A．向量 SKIPIF 1 < 0 的相反向量是 SKIPIF 1 < 0
B．模为1的向量是单位向量，其方向是任意的
C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足关系 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线
【答案】ABD
【详解】解：A向量 SKIPIF 1 < 0 的相反向量是 SKIPIF 1 < 0 ，正确：B.模为1的向量是单位向量，其方向是任意的，正确：
C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不正确，因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可能方向相反；
D.若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 满足关系 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线，正确.故选：ABD
6．（多选）设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内部（不含边界）的一点，以下可能成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】对于A：如下图所示，可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部，故成立；
对于B：如下图所示，可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 外部，故不成立；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
如下图所示，可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内部，故成立；
对于D：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
如下图所示，可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 外部，故不成立；
故选：AC.
7．一架救援直升飞机从 SKIPIF 1 < 0 地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达 SKIPIF 1 < 0 地，再由 SKIPIF 1 < 0 地沿正北方向飞行40 km到达 SKIPIF 1 < 0 地，求此时直升飞机与 SKIPIF 1 < 0 地的相对位置.
【答案】直升飞机位于 SKIPIF 1 < 0 地北偏东30°方向，且距离 SKIPIF 1 < 0 地 SKIPIF 1 < 0 km处
【详解】如图所示，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是直升飞机的位移，则 SKIPIF 1 < 0 表示两次位移的合位移，即 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即此时直升飞机位于 SKIPIF 1 < 0 地北偏东30°方向，且距离 SKIPIF 1 < 0 地 SKIPIF 1 < 0 km处.
8．在静水中船的速度是 SKIPIF 1 < 0 ，水流的速度是 SKIPIF 1 < 0 .如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【答案】船的航行方向与水流方向成 SKIPIF 1 < 0 ，船的实际航速为 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 表示水流的速度， SKIPIF 1 < 0 表示船实际航行的速度， SKIPIF 1 < 0 表示船行驶的速度，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形.
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故船的航行方向与水流方向成 SKIPIF 1 < 0 ，船的实际航速为 SKIPIF 1 < 0 .
题组C 培优拔尖练
1．如图，D，E，F分别为 SKIPIF 1 < 0 的边AB，BC，CA的中点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 A
解析 解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；故选：A．
2．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 A
解析 连接OB.由正六边形的性质，可知 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都是等边三角形， SKIPIF 1 < 0
∴四边形OABC是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故选:A.
3．（多选）在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列等式中成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 ABD
解析 由向量加法的平行四边形法则，知 SKIPIF 1 < 0 成立，故 SKIPIF 1 < 0 也成立；
由向量加法的三角形法则，知 SKIPIF 1 < 0 成立， SKIPIF 1 < 0 不成立.故选：ABD
4．（多选）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
答案 AC
解析 由题意， SKIPIF 1 < 0 ，易知A, C正确，B错误；
平面向量不能比较大小，故D错误.故选：AC.
5．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，（其中 SKIPIF 1 < 0 ），且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中点，当线段 SKIPIF 1 < 0 取最小值时 SKIPIF 1 < 0 ____ SKIPIF 1 < 0 ____
答案 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解析 连接 SKIPIF 1 < 0 ,如图所示：
由等腰三角形中， SKIPIF 1 < 0 知 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中线，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值，此时 SKIPIF 1 < 0 .故填 SKIPIF 1 < 0 .
6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 SKIPIF 1 < 0 ，风速是 SKIPIF 1 < 0 ；水的流向是正东方向，流速是 SKIPIF 1 < 0 ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东___________，大小是____________ SKIPIF 1 < 0 ．
答案 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
解析 如图
风速为风速是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，水的流速是 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
则救生艇速度大小即为 SKIPIF 1 < 0 ，由题可知：四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
所以救生艇在洪水中漂行的速度的方向是北偏东 SKIPIF 1 < 0 ，大小为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
7.如图，小船要从 SKIPIF 1 < 0 处沿垂直河岸 SKIPIF 1 < 0 的方向到达对岸 SKIPIF 1 < 0 处，此时水流的速度为6km/h，测得小船正以8km/h的速度沿垂直水流的方向向前行驶，求小船在静水中速度的大小及方向.
答案 小船在静水中的速度的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，方向与水流方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
解析 设 SKIPIF 1 < 0 表示小船垂直于河岸行驶的速度， SKIPIF 1 < 0 表示水流的速度，如图：
连接BC，过点B作AC的平行线，过点A作BC的平行线，两条直线交于点D，
则四边形ACBD为平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 就是小船在静水中的速度.
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴小船在静水中的速度的大小为10 km/h，方向与水流方向的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
8．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为 SKIPIF 1 < 0 .如果此船实际向南偏西 SKIPIF 1 < 0 方向行驶 SKIPIF 1 < 0 ，然后又向西行驶 SKIPIF 1 < 0 ，你知道此船在整个过程中的位移吗?
答案 两次位移的和位移的方向是南偏西 SKIPIF 1 < 0 ，位移的大小为 SKIPIF 1 < 0 .
解析 用 SKIPIF 1 < 0 表示船的第一次位移，用 SKIPIF 1 < 0 表示船的第二次位移，
根据向量加法的三角形法则知： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 可表示两次位移的和位移.
由题意知，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 两次位移的和位移的方向是南偏西 SKIPIF 1 < 0 ，位移的大小为 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
理解并掌握向量加法的概念.
掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．
1、通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与数量加法的异同.
2、熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两个向量的加法运算.
3、.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广.
向量求和的法则
三角形
法则
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a
平行四边形
法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量eq \(OC,\s\up6(→))(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
交换律
a＋b＝b＋a
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)