(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义第13讲 复数的乘、除运算及复数的三角形式（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
知识点01 复数乘法的运算法则和运算律
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
【即学即练1】 计算下列各题．
(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
解 (1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2＝1－i2＋4＋4i＋i2＝5＋4i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
反思感悟 (1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤
①首先按多项式的乘法展开．
②再将i2换成－1.
③然后再进行复数的加、减运算．
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．
③(1±i)2＝±2i.
知识点02 复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)是任意两个复数，
则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i.
复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子分母同乘以分母的共轭复数．
【即学即练2】计算：eq \f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝________.
答案 －2＋i
解析 方法一 eq \f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝eq \f(1＋7i,1－3i)＝eq \f(1＋7i1＋3i,10)＝－2＋i.
方法二 eq \f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4＋3i,2－i)))＝eq \f(i4＋3i2＋i,5)＝eq \f(－3＋4i2＋i,5)＝eq \f(－10＋5i,5)＝－2＋i.
反思感悟 复数的除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
能力拓展
考法01 复数代数形式的乘法运算
【典例1】计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于( )
A．2i－13 B．13＋2i C．13－2i D．－13－2i
答案 D
解析 (1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
【变式训练】若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案 B
解析 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
又此点在第二象限，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1.
考法02 复数代数形式的除法运算
【典例2】设复数z满足eq \f(1＋z,1－z)＝i，则|z|等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
答案 A
解析 由eq \f(1＋z,1－z)＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝eq \f(－1＋i,1＋i)＝eq \f(－1＋i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(－1－i2,2)＝i，|z|＝1.
【变式训练】)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( )
A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i
答案 A
解析 ∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq \f(11＋7i,2－i)＝eq \f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(15＋25i,5)＝3＋5i.
考法03 在复数范围内解方程
【典例3】在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
解 方法一 因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.
方法二 因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，所以方程的根为x＝eq \f(－6±\r(4)i,2)＝－3±i.
反思感悟 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法
(1)求根公式法
①当Δ≥0时，x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a).
②当Δ<0时，x＝eq \f(－b±\r(－b2－4ac) i,2a).
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【变式训练】已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0(b，c为实数)的一个根．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，且b，c为实数，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(b＋2)i＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－2，,c＝2.))
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
即方程式成立．
∴1－i是方程的根．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知i为虚数单位，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
2．复数 SKIPIF 1 < 0 的虚部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 所以虚部为1.故选：B
3．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
4．已知复数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 代入计算可得 SKIPIF 1 < 0 ．故选：D．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则复数z+5的实部与虚部的和为（ ）
A．10B． SKIPIF 1 < 0 C．0D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的实部与虚部的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
6．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
7．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
8．复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故对应的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
9．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则z的虚部是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴z的虚部为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则复数z的虚部为（ ）
A．1B．-iC．-1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故虚部为-1故选：C
二、填空题
11．设复数z满足 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由已知条件得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．如果 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位）是共轭复数，则实数x＝_____，y＝________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位）是共轭复数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故选：A
2．已知i为虚数单位，复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则复数z在复平面上的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以z在复平面上的点位于第四象限.
故选：D．
3．已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位)，则 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故复平面内对应的点在第二象限，故选：B
4．已知复数 SKIPIF 1 < 0 (i为虚数单位)，则复数z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴复数 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 则对应点坐标为 SKIPIF 1 < 0 位于第四象限.故选：D
5．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
6．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 故选：C.
7．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
8．已知 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点的坐标是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为复数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，故选： SKIPIF 1 < 0 .
9．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 故选：A
10．已知 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
11．若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 D．在复平面内 SKIPIF 1 < 0 是第三象限的点
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 ；在复平面内 SKIPIF 1 < 0 对应点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，它在第四象限，故选：B
二、填空题
12．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 _______
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
13．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14．已知 SKIPIF 1 < 0 是实数， SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，若复数 SKIPIF 1 < 0 的实部和虚部互为相反数，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ，
因为实部和虚部互为相反数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0
15．若 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，则复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点的坐标为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ,则复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
16．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 （i为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故选：B
2．已知复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
3．复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
4． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 故选:A
5．已知复数满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为复数满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
6．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数的模是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数的模是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
7．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的实部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
二、多选题
8．已知非零复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解答】对A， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，D错.故选：AC
9．下列说法中正确的有（ ）
A．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点在第四象限；
B．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点在第三象限；
C．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰或直角三角形；
D．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形.
【答案】ABD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，其所对应的点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，在第四象限，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，所对应的点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，在第三象限，
故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，结合正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，故D正确，
故选：ABD.
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均为实数），下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】对于A; 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但是复数不可以比较大小，故错误，
对于B; SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，故正确，
对于C; 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0
，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确，
对于D; SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ,进而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以正确，
故选：BCD
三、填空题
11．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个虚根，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】2
【详解】将 SKIPIF 1 < 0 代入方程得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2
四、解答题
12．已知复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求a的值；
(2)若复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点在第一、三象限的角平分线上，求a的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，由于z对应的点在第一、三象限的角平分线上，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
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知识精讲
知识点01 复数的三角形式
1.复数的辅角：设复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）对应向量 SKIPIF 1 < 0 ，以x轴的正半轴为始边，向量 SKIPIF 1 < 0 所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角，记作Arg SKIPIF 1 < 0 ，其中适合 SKIPIF 1 < 0 的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作 SKIPIF 1 < 0 ．
说明：（1）不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍，即Arg SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 +arg SKIPIF 1 < 0 ．
（2）当a∈R+时，arga=0，arg（-a）=π，argai= SKIPIF 1 < 0 ，arg（-ai）= SKIPIF 1 < 0 ，arg0不一定。
【即学即练1】 设函数 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
知识点02 复数的三角形式
r(csθ＋isinθ)叫做复数 SKIPIF 1 < 0 的三角形式，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．定义本身告诉我们复数的三角形式和代数形式可以互化。
【即学即练2】复数 SKIPIF 1 < 0 的三角形式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
知识点03复数三角形式的运算
：设 SKIPIF 1 < 0 =r(csθ＋isinθ)， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (csθ1＋isinθ1)， SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 (csθ2＋isinθ2)．则
（1）乘法： SKIPIF 1 < 0 （向量的旋转与伸缩）
（2）除法： SKIPIF 1 < 0
（3）乘方： SKIPIF 1 < 0
（4）开方： SKIPIF 1 < 0 ，
其几何意义：复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点。
【即学即练2】欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选：B.
能力拓展
考法01
【典例1】设复数z的辐角的主值为 SKIPIF 1 < 0 ，虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由复数z的辐角的主值为 SKIPIF 1 < 0 可设复数 SKIPIF 1 < 0 .因为虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【变式训练】在复平面内，复数 SKIPIF 1 < 0 （i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内对应的点在第一象限.故选：A.
考法02 辐角主值
【典例2】复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D
【变式训练】复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，满足要求， SKIPIF 1 < 0
所以辐角主值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
考法03 复数三角形式应用
【典例3】欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 ，其虚部为1，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D, SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ，D正确，故选：D
【变式训练】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 .故选：A
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故选：B
2．已知复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
3．复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
4． SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 故选:A
5．已知复数满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为复数满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
6．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数的模是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的共轭复数的模是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
7．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的实部为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
根据实部定义可得结果.【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
二、多选题
8．已知非零复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，则（ ）
A．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
B．当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解答】对A， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，A对；
对 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因此存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，C对；
对 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，D错.
故选：AC
9．下列说法中正确的有（ ）
A．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点在第四象限；
B．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内所对应的点在第三象限；
C．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰或直角三角形；
D．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形.
【答案】ABD
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，其所对应的点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，在第四象限，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，所对应的点的坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，在第三象限，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，结合正弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，故D正确，故选：ABD.
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 均为实数），下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】对于A; 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，但是复数不可以比较大小，故错误，
对于B; SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 的虚部为 SKIPIF 1 < 0 ，故正确，
对于C; 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0
，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确，对于D; SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ,
进而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以正确，
故选：BCD
三、填空题
11．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，若 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个虚根，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】2
【详解】将 SKIPIF 1 < 0 代入方程得： SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：2
四、解答题
12．已知复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求a的值；
(2)若复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点在第一、三象限的角平分线上，求a的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
由于z对应的点在第一、三象限的角平分线上，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
题组B 能力提升练
一、多选题
1．欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第三象限B． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数
C．复数 SKIPIF 1 < 0 的模等于 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的共轭复数为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】由题知 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第二象限，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的模为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，其共轭复数为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误．故选：BC
2．设复数 SKIPIF 1 < 0 ，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．z是方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根D．满足 SKIPIF 1 < 0 最小正整数n为3
【答案】ACD
【详解】由题设， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以A正确，B错误；
由 SKIPIF 1 < 0 的根为 SKIPIF 1 < 0 ，故z是该方程的一个根，C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故最小正整数n为3时， SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：ACD
3．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】解：对于A： SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，选项D正确；故选：BCD
4．以下不是复数 SKIPIF 1 < 0 的三角形式是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，所以B正确，而 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确.故选：AD
5．如果非零复数z有一个辐角为 SKIPIF 1 < 0 ，那么下列对z判断错误的是（ ）
A．辐角唯一B．辐角主值唯一
C．辐角主值为 SKIPIF 1 < 0 D．辐角主值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】 SKIPIF 1 < 0 辐角主值的范围是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，任何一个复数都有唯一的辐角主值，
SKIPIF 1 < 0 非0复数有一个辐角为 SKIPIF 1 < 0 ，则该复数有唯一的一个辐角主值 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：ACD．
6．欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （其中i为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数
C．复数 SKIPIF 1 < 0 的模长等于 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误；
SKIPIF 1 < 0 为实数，故B错误；
复数 SKIPIF 1 < 0 的模长为 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：CD
7． SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，i是虚数单位，e是自然对数的底）称为欧拉公式，被称为世界上最完美的公式，在复分析领域内占重要地位，它将三角函数与复数指数函数相关联．根据欧拉公式，下列说法正确的是（ ）
A．对任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第一象限
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】对于A选项， SKIPIF 1 < 0 ，正确；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，正确；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 错误；
对于D选项， SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：ABD
8．下列关于复数z的运算结论，正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】记 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.故选：ACD
9．任何一个复数 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ，i为虚数单位）都可以表示成： SKIPIF 1 < 0 的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现： SKIPIF 1 < 0 ，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
C．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，若n为偶数，则复数 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数
【答案】AC
【详解】对于复数 SKIPIF 1 < 0 有， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项A正确；
根据复数的三角形式， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 此时， SKIPIF 1 < 0 ，选项B错误；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
根据棣莫弗定理， SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C正确；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，n为偶数时，设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
所以k为奇数时， SKIPIF 1 < 0 为纯虚数；k为偶数时 SKIPIF 1 < 0 为实数，选项D错误.故选：AC.
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关于复数z的结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C．复数z是方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根
D．复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确； SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误；故选：ABC
题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．复数 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．16C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .故选：A
2．设复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面上对应向量 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到向量 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】复数 SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 按顺时针方向旋转 SKIPIF 1 < 0 后得到向量 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
因此复数 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
二、填空题
3．若 SKIPIF 1 < 0 是虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以设 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 是实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且复数 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，
又复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是实系数一元二次方程 SKIPIF 1 < 0 的一个根，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
三、解答题
5．在复平面内，设复数 SKIPIF 1 < 0 对应向量 SKIPIF 1 < 0 ，它的共轭复数 SKIPIF 1 < 0 对应向量 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若复数 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的一个虚根，求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，并用 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 点满足 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 所对应的复数 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 在变化时会对应到不同的复数 SKIPIF 1 < 0 ，若取不同的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得其所对应的复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 所对应的点 SKIPIF 1 < 0 可以构成矩形．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ; SKIPIF 1 < 0 ;(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3)证明见解析.
【详解】（1）复数 SKIPIF 1 < 0 是关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的一个虚根， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 ；
解方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨令复数 SKIPIF 1 < 0 ，另一根为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的重心 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
（3）由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 所对应的点 SKIPIF 1 < 0 都在单位圆上，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为单位圆的两直径，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 的对角线互相平分且对角线相等，
则四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，即 SKIPIF 1 < 0 所对应的点 SKIPIF 1 < 0 可以构成矩形．
6．已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)设 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的三角形式；
(2)如果 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a，b的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 对应的点是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 对应的复数辐角为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，又由对应的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的三角形式为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
7．求满足方程 SKIPIF 1 < 0 的辐角主值最小的复数z．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，表示以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆.如图所示：当 SKIPIF 1 < 0 与圆相切于点 SKIPIF 1 < 0 时，对应的复数的辐角主值最小.
易知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，故复数的辐角主值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
8．设O为复平面的原点， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为复平面内的两动点，并且满足：
（1） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 所对应的复数的辐角分别为定值 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）；
（2） SKIPIF 1 < 0 的面积为定值S.
求 SKIPIF 1 < 0 的重心Z所对应的复数的模的最小值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 对应的复数分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 是△ SKIPIF 1 < 0 的重心，根据复数加法的几何意义，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又知△ SKIPIF 1 < 0 的面积为定值 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由此 SKIPIF 1 < 0 ，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最小， SKIPIF 1 < 0 最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
9．已知 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设z的辐角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）证明：由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ．可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 的辐角为 SKIPIF 1 < 0 时，复数 SKIPIF 1 < 0 的实部为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
课标解读
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
1.在熟悉课本能容的基础上，掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.在学习中逐步加强理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
课程标准
课标解读
1.掌握复数的三角形式,并能与代数形式进行相互转化;
2. 掌握复数的三角形式的运算法则和运算律并能熟练应用
复数的代数形式化为三角形式; 复数的三角形式的运算法则和运算律的应用