(辅导班专用)2023-2024年高一数学寒假讲义阶段性检测卷一（2份打包，教师版+原卷版，A3版）

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下列等式：①0﹣a＝﹣a；②﹣(﹣a)＝a；③a＋(﹣a)＝0；④a＋0＝a；⑤a﹣b＝a＋(﹣b)；⑥a＋(﹣a)＝0.正确的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案解析】答案为：C；
解析：①、②、④、⑤、⑥正确，③不正确，故选C.
下列各式中不能化简为eq \(PQ,\s\up6(→))的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))＋(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))) B.(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))＋(eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→)))
C.eq \(QC,\s\up6(→))－eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→)) D.eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(BQ,\s\up6(→))
【答案解析】答案为：D；
解析：A中eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BQ,\s\up6(→))＋eq \(PA,\s\up6(→))=eq \(AQ,\s\up6(→))＋eq \(PA,\s\up6(→))=eq \(PQ,\s\up6(→))，B中eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→))=eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(QC,\s\up6(→))=eq \(PQ,\s\up6(→))，
C中eq \(QC,\s\up6(→))－eq \(QP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))=eq \(PQ,\s\up6(→))，故选D.
在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( ).
A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c
【答案解析】答案为：A；
解析：=＋＋=a－b＋c.
在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( ).
A.1 B.2 C. D.
【答案解析】答案为：D；
在四边形ABCD中，eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，则( )
A.ABCD一定为矩形 B.ABCD一定为菱形
C.ABCD一定为正方形 D.ABCD一定为平行四边形
【答案解析】答案为：D；
已知向量a＝(1，﹣1)，则下列向量中与向量a平行且同向的是( )
A.b＝(2，﹣2) B.b＝(﹣2,2) C.b＝(﹣1,2) D.b＝(2，﹣1)
【答案解析】答案为：a.
解析：(2，﹣2)＝2(1，﹣1)，b＝2a，故选A.
已知a＝(1,2)，b＝(﹣1,1)，c＝2a﹣b，则| c |＝( )
A.eq \r(26) B.3eq \r(2) C.eq \r(10) D.eq \r(6)
【答案解析】答案为：B.
解析：∵a＝(1,2)，b＝(﹣1,1)，∴c＝2a﹣b＝(3,3)，∴| c|＝eq \r(9＋9)＝3eq \r(2)，故选B.
已知向量a＝(1,2)，a﹣b＝(4,5)，c＝(x,3)，若(2a＋b)∥c，则x＝( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.﹣4
【答案解析】答案为：C.
解析：∵a＝(1,2)，a﹣b＝(4,5)，∴b＝a﹣(a﹣b)＝(1,2)﹣(4,5)＝(﹣3，﹣3)，
∴2a＋b＝2(1,2)＋(﹣3，﹣3)＝(﹣1,1).又∵c＝(x,3)，(2a＋b)∥c，
∴﹣1×3﹣x＝0，∴x＝﹣3.故选C.
已知向量a＝(λ，2)，b＝(﹣1,2)，若a⊥b，则|a＋b|等于( )
A.5 B.6 C.eq \r(41) D.4eq \r(3)
【答案解析】答案为：A
解析：∵a＝(λ，2)，b＝(﹣1,2)，a⊥b，∴a·b＝0，即﹣λ＋4＝0，∴λ＝4，
∴a＋b＝(3,4)，|a＋b|＝eq \r(32＋42)＝5.
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于( )
A.12 B.12eq \r(2) C.﹣12eq \r(2) D.﹣12
【答案解析】答案为：C
解析：由题意知m·n＝|m||n|cs 135°＝4×6×(﹣eq \f(\r(2),2))＝﹣12eq \r(2).
已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=|c|=1，若a·b=eq \f(1,2)，则(a＋b)·(2b－c)最小值为( )
A.－2 B.3－eq \r(3) C.－1 D.0
【答案解析】答案为：B；
解析：由|a|=|b|=1，a·b=eq \f(1,2)，
可得〈a，b〉=eq \f(π,3).令eq \(OA,\s\up15(→))=a，eq \(OB,\s\up15(→))=b，
以eq \(OA,\s\up15(→))的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则a=eq \(OA,\s\up15(→))=(1,0)，b=eq \(OB,\s\up15(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，设c=eq \(OC,\s\up15(→))=(csθ，sinθ)(0≤θ＜2π)，
则(a＋b)·(2b－c)=2a·b－a·c＋2b2－b·c=3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(csθ＋\f(1,2)csθ＋\f(\r(3),2)sinθ))=3－eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))，
则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－eq \r(3)，故选B.
如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若eq \(AB,\s\up6(→))＝meq \(AM,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝neq \(AN,\s\up6(→))，则m＋n等于( )
A.1 B.eq \f(3,2) C.2 D.3
【答案解析】答案为：C
解析：由题意得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)meq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)neq \(AN,\s\up6(→))，又O，M，N三点共线，所以eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n＝1.即m＋n＝2.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
向量eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→))=_______.
【答案解析】答案为：0；
已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，则a＋b＝________.
【答案解析】答案为：(4,6).
解析：a＋b＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6).
若向量a＝(1,2)，b＝(﹣3,4)，则a·b的值等于______；a与b夹角的余弦值等于_______.
【答案解析】答案为：5，eq \f(\r(5),5).
解析：因为a＝(1,2)，b＝(﹣3,4)，所以a·b＝﹣3×1＋2×4＝5，
|a|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，|b|＝eq \r(－32＋42)＝5，所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(5,5×\r(5))＝eq \f(\r(5),5).
已知m，n均为正数，a＝(1，m)，b＝(2,1﹣n)，且a∥b，则eq \f(1,m)＋eq \f(m,n)的最小值为________.
【答案解析】答案为：4
解析：因为a＝(1，m)，b＝(2,1﹣n)，且a∥b，所以2m＝1﹣n，即2m＋n＝1，因为m，n均为正数，所以eq \f(1,m)＋eq \f(m,n)＝eq \f(2m＋n,m)＋eq \f(m,n)＝2＋eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)≥2＋2eq \r(\f(n,m)·\f(m,n))＝4，当且仅当m＝n＝eq \f(1,3)时取得最小值.
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
化简下列各式：
(1)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))； (2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))； (3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→)).
【答案解析】解：(1)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))=(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＋(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))=eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))=0.
(2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(OA,\s\up6(→))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DO,\s\up6(→)))=eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AO,\s\up6(→))=0.
(3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(DC,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))－(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))=eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))=eq \(CB,\s\up6(→)).
如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq \(AE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))，eq \(AB,\s\up15(→))=a，eq \(AC,\s\up15(→))=b.
(1)用a，b表示向量eq \(AD,\s\up15(→))，eq \(AE,\s\up15(→))，eq \(AF,\s\up15(→))，eq \(BE,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))；(2)求证：B，E，F三点共线.
【答案解析】解：(1)延长AD到G，使eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up15(→))，
连接BG，CG，得到▱ABGC，如图，
所以eq \(AG,\s\up15(→))=eq \(AB,\s\up15(→))＋eq \(AC,\s\up15(→))=a＋b，eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up15(→))=eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(AE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up15(→))=eq \f(1,3)(a＋b)，eq \(AF,\s\up15(→))=eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up15(→))=eq \f(1,2)b，
eq \(BE,\s\up15(→))=eq \(AE,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(1,3)(a＋b)－a=eq \f(1,3)(b－2a)，eq \(BF,\s\up15(→))=eq \(AF,\s\up15(→))－eq \(AB,\s\up15(→))=eq \f(1,2)b－a=eq \f(1,2)(b－2a).
(2)证明：由(1)可知eq \(BE,\s\up15(→))=eq \f(2,3)eq \(BF,\s\up15(→))，
又因为eq \(BE,\s\up15(→))，eq \(BF,\s\up15(→))有公共点B，所以B，E，F三点共线.
平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(﹣1,2)，c＝(4,1).
(1)若(a＋kc)∥(2b﹣a)，求实数k；
(2)若d满足(d﹣c)∥(a＋b)，且|d﹣c|＝eq \r(5)，求d的坐标.
【答案解析】解：(1)a＋k c＝(3＋4k,2＋k)，2b﹣a＝(﹣5,2)，
由题意得2×(3＋4k)﹣(﹣5)×(2＋k)＝0，解得k＝﹣eq \f(16,13).
(2)设d＝(x，y)，则d﹣c＝(x﹣4，y﹣1)，
又a＋b＝(2,4)，| d﹣c|＝eq \r(5)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝3.))
∴d的坐标为(3，﹣1)或(5,3).
已知a=(1,0)，b=(2,1).
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))=2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))=a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值.
【答案解析】解：(1)∵a=(1,0)，b=(2,1)，
∴ka－b=k(1,0)－(2,1)=(k－2，－1)，
a＋2b=(1,0)＋2(2,1)=(5,2)，
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5=0，∴k=－eq \f(1,2).
(2)eq \(AB,\s\up6(→))=2(1,0)＋3(2,1)=(8,3)，
eq \(BC,\s\up6(→))=(1,0)＋m(2,1)=(2m＋1，m).
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴8m－3(2m＋1)=0，∴m=eq \f(3,2).
已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|和|a-b|.
【答案解析】解:(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4|a|2-4a·b-3|b|2=61及|a|=4,|b|=3得a·b=-6,
∴cs θ=.又θ∈[0,π],∴θ=.
(2)|a+b|=.同理,|a-b|=.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(cs(A－B)，sin(A－B))，
n=(csB，－sinB)，且m·n=－eq \f(3,5).
(1)求sinA的值；
(2)若a=4eq \r(2)，b=5，求角B的大小及向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影.
【答案解析】解：(1)由m·n=－eq \f(3,5)，
得cs(A－B)csB－sin(A－B)sinB=－eq \f(3,5)，
所以csA=－eq \f(3,5).因为0(2)由正弦定理，得eq \f(a,sinA)=eq \f(b,sinB)，则sinB=eq \f(bsinA,a)=eq \f(5×\f(4,5),4\r(2))=eq \f(\r(2),2)，
因为a>b，所以A>B，且B是△ABC一内角，则B=eq \f(π,4).
由余弦定理得(4eq \r(2))2=52＋c2－2×5c×(－eq \f(3,5))，解得c=1，c=－7(舍去)，
故向量eq \(BA,\s\up6(→))在eq \(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq \(BA,\s\up6(→))|csB=ccsB=1×eq \f(\r(2),2)=eq \f(\r(2),2).
给定两个长度为1的平面向量eq \(OA,\s\up15(→))和eq \(OB,\s\up15(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3).如图所示，点C在以O为圆心的圆
弧eq \(AB,\s\up15(→))上运动.若eq \(OC,\s\up15(→))=xeq \(OA,\s\up15(→))＋yeq \(OB,\s\up15(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值.
【答案解析】解：以O为坐标原点，eq \(OA,\s\up15(→))所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
设∠AOC=αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))))，则点C的坐标为(cs α，sin α)，
由eq \(OC,\s\up15(→))=xeq \(OA,\s\up15(→))＋yeq \(OB,\s\up15(→))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝x－\f(1,2)y，,sin α＝\f(\r(3),2)y，))
所以x=cs α＋eq \f(\r(3),3)sin α，y=eq \f(2 \r(3),3)sin α，
所以x＋y=cs α＋eq \r(3)sin α=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))，
又α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，则α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(5π,6))).
所以当α＋eq \f(π,6)=eq \f(π,2)，即α=eq \f(π,3)时，x＋y取得最大值2.