八年级上数学寒假作业 (16)

这是一份八年级上数学寒假作业 (16)，共25页。试卷主要包含了时间120分钟；满分150分等内容，欢迎下载使用。

2、请将答案填写在答题卷上．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回．
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. “手撕钢”是一种能够被徒手撕碎、厚度只有A4纸四分之一不锈钢，广泛应用于航空航天、国防、精密仪器等领域．山西太钢自主研制的不锈钢箔材厚度为，其制造工艺达到世界领先水平．将数据“”化为以“”为单位的数，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 13B. 17C. 22D. 17或22
4. 若把分式（均不为0）中的和都扩大3倍，则原分式的值是（ ）
A. 扩大3倍B. 缩小至原来的C. 不变D. 缩小至原来的
5. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，，则的范围是（ ）

A. B.
C. D.
7. 宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ）
A. B.
C D.
8. 如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
9. 关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
10. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD比AB大3时，S2﹣S1的值为（ ）
A. 3aB. 3bC. 3a﹣bD. 3b﹣a
二、填空：（每小题5分，共20分）
11. 分解因式：________．
12. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______．
13. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．
14. 如图，等边的周长为1，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则，，，…，的周长和为________．

三、解答题：（共90分）
15. 如图，在五边形中满足．求图形中的x的值．

16. 解方程：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）关于y轴对称的（其中点A，B，C分别对应点D，E，F，不写画法）
（2）将向左平移三个长度单位，再下平移两个长度单位，则平移后点A、B、C的对应的坐标分别是________．
（3）若在y轴上存在点P，使的值最大，则点P的坐标为________．
18. 若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
19. 如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：．
20. 某商店计划今年的圣诞节购进、两种纪念品若干件．若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．
（1）求一件种纪念品、一件种纪念品的进价各是多少元？
（2）老板花费480元种纪念品后，以每个20元价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的种纪念品每个售价至少要多少元？
21. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解：
（1）若是多项式的一个因式，求k的值；
（2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
（3）在（2）条件下，把多项式因式分解．
22. 如图1，等腰直角三角形中，O为斜边的中点，为的平分线，过点B作，垂足为D，交于点E，与交于点F．
（1）求证：；
（2）将沿方向移动至P处，角的一边分别交、于点Q、H，如图2所示，试探究线段和的数量关系，以及它们所在直线的位置关系．
八年级上数学寒假作业
注意事项：1、时间120分钟；满分150分
2、请将答案填写在答题卷上．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回．
一、选择题：（每小题4分，共40分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，判断即可．
【详解】根据轴对称图形的定义，只有D有对称轴为轴对称图形，故选D.
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的定义，正确利用定义判断是解题关键，难度较小.
2. “手撕钢”是一种能够被徒手撕碎、厚度只有A4纸四分之一的不锈钢，广泛应用于航空航天、国防、精密仪器等领域．山西太钢自主研制的不锈钢箔材厚度为，其制造工艺达到世界领先水平．将数据“”化为以“”为单位的数，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据换算进率及同底数幂乘法法则计算即可得到答案．
【详解】解：
故选：C．
【点睛】此题考查同底数幂的乘法计算法则，熟记计算法则是解题的关键．
3. 已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A. 13B. 17C. 22D. 17或22
【答案】C
【解析】
【分析】由于等腰三角形的底和腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】分为两种情况：
①当三角形的三边是4，4，9时，
∵4+4＜9，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；
②当三角形的三边是4，9，9时，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22．
故选C．
4. 若把分式（均不为0）中的和都扩大3倍，则原分式的值是（ ）
A. 扩大3倍B. 缩小至原来的C. 不变D. 缩小至原来的
【答案】A
【解析】
【分析】将原式中x变成3x，将y变成3y，再进行化简，与原式相比较即可.
【详解】由题意得，所以原分式的值扩大了3倍
故选择A.
【点睛】此题考查分式的化简，注意结果应化为最简分式后与原分式相比较.
5. 如图，边长为，的长方形，它的周长为，面积为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据长方形的周长和面积得出a+b和ab的值，再将的前两项提出ab，然后代入求出即可．
【详解】解：∵边长为，的长方形，它的周长为，面积为，
∴a+b=7，ab=10，
∴
故选：B
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
6. 如图，，则的范围是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等边对等角，以及三角形外角的性质，推出，根据，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选B
【点睛】本题考查等边对等角，三角形的外角．熟练掌握等边对等角，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
7. 宣汉到达州要铺设一条长35千米管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设原计划每天铺设管道的长度为千米，要铺设一条长35千米的管道除以原计划每天铺设管道的长度千米-要铺设一条长35千米的管道除以实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%=7，列分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天铺设管道的长度为千米，
则可列方程为．
故选择B．
【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题方法与步骤，抓住等量关系是解题关键．
8. 如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点，则BP＋PQ＋CQ的最小值是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ，得出BP＋PQ＋CQ的最小值为，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得和即可求得．
【详解】解：分别作B、C关于AG和AH对称的点、，连接BP、CQ、、，PQ
∵HC与GB关于y轴对称，
∴GO=HO,BO=CO,
∵x轴⊥y轴，
∴AG=AH，、关于y轴对称，
∴当、，P、Q在同一条直线上时，最小，此时轴，
∵∠GAH＝60°，
∴△AGH等边三角形，
∴∠AGO=60°，
∵轴，B、关于AG对称，
∴,，
∴△BPG为等边三角形，
过作PM⊥GO交x轴与M，
∵G（﹣3，0），B（﹣2，0），
∴BG=1，BO=2，
∴，
∴，
同理可得,
即．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
9. 关于x的方程的两个解为，，的两个解为，；的两个解为，，则关于x的方程的两个解为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由于可化为，由题中可得规律：方程 （其中为正整数）的解为，，根据这个规律即中得方程的解．
【详解】∵
∴
∴上述方程有解及
即及
所以原方程的解为，
故选：D
【点睛】本题主要考查了一类特殊方程的解，这是一个规律性的问题，要从所给的前面几个方程的解，归纳出一般性的结论，再所得的一般性结论，求出所给方程的解，体现了由特殊到一般再到特殊的思维过程，这是数学中常用的方法；这里也用到了整体思想，即要分别把、看成一个整体，才能符合题中所给方程的结构，否则无法完成．
10. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD比AB大3时，S2﹣S1的值为（ ）
A. 3aB. 3bC. 3a﹣bD. 3b﹣a
【答案】B
【解析】
【分析】利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．
【详解】解：∵，
，
∴
∵AD比AB大3，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积以及整式的运算法则．
二、填空：（每小题5分，共20分）
11. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用完全平方公式法因式分解．
【详解】解：；
故答案为：
【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．
12. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是_______．
【答案】m＜-2且m≠-4
【解析】
【分析】首先解方程求得方程解，根据方程的解是正数，即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【详解】解：∵关于x的方程有解，
∴x-2≠0，
去分母得：2x+m-x+2=0，
即x=-m-2，
根据题意得：-m-2＞0且-m-2≠2，
解得：m＜-2且m≠-4．
故答案是：m＜-2且m≠-4．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解的符号的确定，正确求解分式方程是解题的关键．
13. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．
【答案】50°
【解析】
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案
【详解】
解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-（x°-40°）-（x°-40°）=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA，PF=PM，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP=∠PAC=50°．
故答案为：50°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．
14. 如图，等边的周长为1，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；…且点，，，…都在直线同侧，如此下去，则，，，…，的周长和为________．

【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质分别求出，，，…，的周长，再求周长和即可．
【详解】如下图，

∵等边的周长为1，于，
∴，，
由得，，
∴，
∴，
∴，
于是，
∴
∴的周长的周长，
∴，…，的周长分别为1，，，…，，
∴的周长为
的周长和为
的周长和为
，…，的周长和为，
故所有等边三角形的周长和为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、数字类规律探究，理解题意，找出变化规律是解答的关键．
三、解答题：（共90分）
15. 如图，在五边形中满足．求图形中x的值．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质，求出，再根据五边形的内角和进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和多边形的内角和．熟练掌握两直线平行，同旁内角互补，以及多边形的内角和公式，是解题的关键．
16. 解方程：．
【答案】无解
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤去解答：去分母将分式方程化为整式方程、解整式方程、检验、回答．
【详解】解：原方程可化为：．
方程两边同时乘以，得
．
化简，得．
解得 ．
检验：时，
所以不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，尤其是检验是解分式方程的重要步骤．
17. 如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）关于y轴对称的（其中点A，B，C分别对应点D，E，F，不写画法）
（2）将向左平移三个长度单位，再下平移两个长度单位，则平移后点A、B、C的对应的坐标分别是________．
（3）若在y轴上存在点P，使的值最大，则点P的坐标为________．
【答案】（1）图见解析
（2），，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据成轴对称的性质，画图即可；
（2）根据点的平移规则，上加下减，左减右加，求解即可；
（3）根据，得到三点共线时，的值最大，延长与的交点即为点．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
∵向左平移三个长度单位，再下平移两个长度单位，，，，
∴对应坐标为：，，，
即：，，；
【小问3详解】
∵，
∴当三点共线时，值最大，
延长与的交点即为点，如图：

由图可知：；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与轴对称，坐标与平移．熟练掌握成轴对称的性质，以及点的平移规则，是解题的关键．
18. 若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程的解为非负数，求符合条件的所有整数a之和．
【答案】1
【解析】
【分析】解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含有a的式子表示y，根据解的非负性求出a的取值范围，确定符合条件的整数a，相加即可．
【详解】解：，
解①得，；
解②得，，
∵不等式组有且只有四个整数解，
∴不等式组的解集为，整数解为：1，2，3，4；
∴，
解得，；
解分式方程得，；
∵方程的解为非负数，且
∴；即；
综上：且
∵a是整数，
∴；
∴．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程，根据题目条件确定a的取值范围，是解题的关键．
19. 如图，是的中线，交于E，交于F，且，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】如图，延长到G，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可证．
【详解】证明：如图，延长到G，使，连接，
∵是的中线，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键.
20. 某商店计划今年的圣诞节购进、两种纪念品若干件．若花费480元购进的种纪念品的数量是花费480元购进种纪念品的数量的，已知每件种纪念品比每件种纪念品多4元．
（1）求一件种纪念品、一件种纪念品的进价各是多少元？
（2）老板花费480元种纪念品后，以每个20元的价格销售种纪念品，当种纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使种纪念品的销售利润不低于224元，剩余的种纪念品每个售价至少要多少元？
【答案】（1）购买一件种纪念品需16元，购买一件种纪念品需12元；（2）剩余的种纪念品每个售价至少要为14元
【解析】
【分析】（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需(x+4) 元，根据数量=总价÷单价，结合花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设剩余的B种纪念品每个售价为y元，根据销售利润不低于224元，列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设购买一件种纪念品需元，则购买一件种纪念品需元，
依题意，得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：购买一件种纪念品需16元，购买一件种纪念品需12元．
（2）设剩余的种纪念品每个售价为元
依题意，得：
解得：
答：剩余的种纪念品每个售价至少要为14元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21. 因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解：
（1）若是多项式的一个因式，求k的值；
（2）若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
（3）在（2）的条件下，把多项式因式分解．
【答案】（1）；（2）m，n的值分别为和0；（3）．
【解析】
【分析】（1）由已知条件可知，当时，，将的值代入即可求得
（2）由题意可知，和时，，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值；
（3）将（2）中m和n的值代入，提取公因式，则由题意知和也是所给多项式的因式，从而问题得解．
【详解】解：（1）∵是多项式的一个因式
∴时，
∴
∴
∴
∴的值为；
（2）和是多项式的两个因式，
∴当和时，，
∴，
解得：
∴m，n的值分别为和0；
（3）∵，，
∴可化为：
∴
．
【点睛】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
22. 如图1，等腰直角三角形中，O为斜边的中点，为的平分线，过点B作，垂足为D，交于点E，与交于点F．
（1）求证：；
（2）将沿方向移动至P处，角的一边分别交、于点Q、H，如图2所示，试探究线段和的数量关系，以及它们所在直线的位置关系．
【答案】（1）见解析；（2）=且⊥，见解析
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形，可得AB=CB，∠ABC=90°，∠A=∠ACB=45°，由为的平分线，可得∠OCH=∠BOH=22.5°，可证∠ABE=∠BCH=22.5°，由O为斜边的中点，可得AO=CO=BO，∠ABO=∠CBO=45°，可证△ABE≌△BCH（ASA），再证Rt△BOE≌Rt△COH（HL）；
（2）=2，PQ⊥BE，过P作PM⊥OB于N，交BE于M，CD⊥BE于D，由沿方向移动至P处，可得QP∥CD，∠QPB=∠DCB=22.5°由，可得PQ⊥BE，由OC⊥OB，可得PM∥OC，可证∠NPB=∠NBP,可证△BMN≌△PHN（ASA），再证△BPQ≌△MPQ（ASA）可推出PH=2BQ．
【详解】证明（1）∵等腰直角三角形，
∴AB=CB，∠ABC=90°，∠A=∠ACB=45°，
∵为的平分线，
∴∠OCH=∠BOH=22.5°
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∵，
∴∠BDC=90°，
∴∠EBC+∠HCB=90°，
∴∠ABE=∠BCH=22.5°，
∵O为斜边的中点，
∴AO=CO=BO，∠ABO=∠CBO=45°，
∴∠A=∠HBC，
∴△ABE≌△BCH（ASA），
∴BE=CH，
∵OB=OC，
∵BO是等腰直角三角形的斜边中线，
∴OB⊥AC，
∴Rt△BOE≌Rt△COH（HL）；
（2）=2，PQ⊥BE，
过P作PM⊥OB于N，交BE于M，CD⊥BE于D，
∵将沿方向移动至P处，
∴QP∥CD，
∴∠QPB=∠DCB=22.5°，
∵，
∴PQ⊥BE，
∵OC⊥OB，
∴PM∥OC，
∴∠NPB=45°，
∵∠NBP=45°，
∴∠NPB=∠NBP,
∴BN=PN，
由（1）知∠EBO=∠OCD=22.5°，
∵∠NPH=∠NPB-∠HPB=45°-22.5°=22.5°=∠MBN，
∵∠MNB=∠HNP=90°，
∴△BMN≌△PHN（ASA），
∴BM=PH，
由PQ⊥BE，
∴∠PQB=∠PQM=90°，
∵∠BPQ=∠MPQ=22.5°，PQ=PQ，
∴△BPQ≌△MPQ（ASA），
∴BQ=QM=，
∴PH=2BQ．