八年级上数学寒假作业 (20)

这是一份八年级上数学寒假作业 (20)，共25页。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 2019年6月全国开始实行生活垃圾分类，下列四个图标分别为可回收垃圾、厨余垃圾、湿垃圾和有害垃圾，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 使分式有意义的x的取值范围是( )
A. x≠0B. x>1C. x＜1D. x≠1
3. 下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
5. 用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A. B.
C D.
6. 如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是( )

A. 50°B. 63°C. 67°D. 87°
7. 运用乘法公式计算，则公式中的2ab是( )
A. B. C. D.
8. 若分式中的、都同时扩大为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大2倍C. 缩小2倍D. 扩大4倍
9. 下列多项式中，能分解出因式m+1的是（ ）
A. m2﹣2m+1B. m2+1C. m2+mD. （m+1）2+2（m+1）+1
10. 如图，，，边上存在一点，使得．下列描述正确的是（ ）

A. 是的垂直平分线与的交点B. 是的平分线与的交点
C. 是垂直平分线与的交点D. 是的中点
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：________．
12. 已知边形的内角和与外角和相等，则__________．
13. 如图，已知，与相交于点，请你添加一个适当的条件_______________，使得．（要求不再添加任何线段）．

14. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____．

15. 若，，则的值为__________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一直线上，当的周长最小时，点的坐标是_________．

三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）
17. (1)计算：；
(2)分解因式：．
18. 先化简，再求值：，其中
19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．

20. 福平铁路于2020年12月26日正式通车运营，结束了平潭岛不通铁路历史．铁路全程千米．按照设计，福平铁路上高铁列车的平均行驶速度是普通列车的倍，全程用时比普通列车用时少了小时，求高铁列车的平均行驶速度．
21. 如图，．下列 个条件：①；②；③．请选出能推出 是等边三角形的两个条件．

已知：如图，， ， ；(写出一种情况即可)
求证： 是等边三角形．
22 如图， 中，，

（1）尺规作图：作边垂直平分线交于点，交于点．(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
（2）求证：．
23. 先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：
，
，
参照以上解答过程解决以下问题：
（1）若，求的值．
（2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
24. 如图1，已知在中，，，直线经过点，于，于，且 ，，．

（1）求证：；
（2）若将直线绕点旋转到如图的位置，其它条件不变，中的结论是否仍然成立若成立，请说明理由，若不成立，请写出新的数量关系，并给予证明；
（3）若 ，请利用图证明：．
25. 定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．

（1）如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ；
（2）如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：
①点是的费马点；
②．
八年级（上）数学寒假作业
【完卷时间：120分钟；满分：150分】
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1. 2019年6月全国开始实行生活垃圾分类，下列四个图标分别为可回收垃圾、厨余垃圾、湿垃圾和有害垃圾，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”即可得.
【详解】A、不是轴对称图形，本选项不合题意
B、是轴对称图形，本选项符合题意
C、不是轴对称图形，本选项不合题意
D、不是轴对称图形，本选项不合题意
故选：B.
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟记理解定义是解题关键.
2. 使分式有意义的x的取值范围是( )
A. x≠0B. x>1C. x＜1D. x≠1
【答案】D
【解析】
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0.
【详解】要使有意义，需满足x－1≠0，解得x≠1.故选D.
【点睛】本题主要考查分式的概念，熟记分式的概念是解答本题的关键.
3. 下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：根据三角形具有稳定性可得A具有稳定性，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
4. 下列计算结果为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方运算法则进行计算，进而得出答案．
【详解】A．a2•a3=a5，正确；
B．a2+a3，不是同类项，无法计算，故此选项错误；
C．（a3）2=a6，故此选项错误；
D．a15÷a3=a12，故此选项错误．
故选A．
【点睛】本题考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除法等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5. 用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：B，C，D都不是△ABC的边BC上的高，
A选项是△ABC的边BC上的高，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的高，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
6. 如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是( )

A. 50°B. 63°C. 67°D. 87°
【答案】C
【解析】
【分析】由全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理，可求得答案．
【详解】解：∵两三角形全等，
∴、两边的夹角相等，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，涉及到三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7. 运用乘法公式计算，则公式中的2ab是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用完全平方公式计算，然后和对比即可解答．
【详解】解：，
对比，可得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式的特征成为解答本题的关键．
8. 若分式中的、都同时扩大为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大2倍C. 缩小2倍D. 扩大4倍
【答案】B
【解析】
【分析】将原式中的、换成、，然后根据分式的基本性质进行化简判断即可．
【详解】解：把分式中的、都扩大倍，
则原分式变形为，
分式的值扩大倍，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解答的关键．
9. 下列多项式中，能分解出因式m+1的是（ ）
A. m2﹣2m+1B. m2+1C. m2+mD. （m+1）2+2（m+1）+1
【答案】C
【解析】
【分析】根据提公因式法和运用公式法分解每一个多项式，即可得到结论．
【详解】A．m2﹣2m+1=（m﹣1）2；
B．，不能分解；
C．=m（m+1）；
D．=（m+1+1）2=（m+2）2．
故选C．
【点睛】本题考查了提公因式法和运用公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和运用公式法是解题的关键．
10. 如图，，，边上存在一点，使得．下列描述正确的是（ ）

A. 是的垂直平分线与的交点B. 是的平分线与的交点
C. 是的垂直平分线与的交点D. 是的中点
【答案】C
【解析】
【分析】由易得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点在的垂直平分线上，即是的垂直平分线与的交点．
【详解】，，
，
点在的垂直平分线上，
是的垂直平分线与的交点；

故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂公式可得答案．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，任何非数的次幂等于．
12. 已知边形的内角和与外角和相等，则__________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意可得边形的内角和等于360°，从而得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：边形的内角和等于360°，
∴，
解得：．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握多边形的内角和定理，多边形的外角和等于360°是解题的关键．
13. 如图，已知，与相交于点，请你添加一个适当的条件_______________，使得．（要求不再添加任何线段）．

【答案】（或答案不唯一）
【解析】
【分析】已知，，再添加一组边相等或两边的夹角相等，即可求解．
【详解】解：依题意，，，
添加，则,
添加，则，
故答案为：（或答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
14. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角性质得出，进而根据等边对等角，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15. 若，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据异分母分式的加法进行计算，然后将已知式子的值代入，即可求解．
详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求分式的值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一直线上，当的周长最小时，点的坐标是_________．

【答案】
【解析】
【分析】首先求得关于轴的对称点，然后求得的解析式，然后求得直线与轴的交点即可．
【详解】解：如图所示，

关于轴的对称点，
设的解析式是，
则，
解得：，
则一次函数的解析式是，
当时，，
则的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是轴对称—最短路线问题， 坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握轴对称-最短路线问题， 坐标与图形性质．
三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）
17. (1)计算：；
(2)分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；
（2）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：（1）

；
（2）
【点睛】本题考查了整式的乘法与因式分解，熟练掌握整式的乘法以及因式分解的方法是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据得到，得到，最后即可通过证明三角形全等证明结论．
【详解】，
，
，
．
在和中，
，
≌
【点睛】本题考查三角形全等的证明，平行线的性质；掌握证明三角形全等的判定定理是本题关键．
20. 福平铁路于2020年12月26日正式通车运营，结束了平潭岛不通铁路的历史．铁路全程千米．按照设计，福平铁路上高铁列车的平均行驶速度是普通列车的倍，全程用时比普通列车用时少了小时，求高铁列车的平均行驶速度．
【答案】高铁列车平均行驶速度为
【解析】
【分析】设普通列车的速度为,则高铁列车的速度为，根据时间=路程÷速度结合高铁比普通列车少用小时，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】解：设普通列车的速度为,则高铁列车的速度为，
依题意得，
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：高铁列车的平均行驶速度为.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21. 如图，．下列 个条件：①；②；③．请选出能推出 是等边三角形的两个条件．

已知：如图，， ， ；(写出一种情况即可)
求证： 是等边三角形．
【答案】①②或①③，证明见解析
【解析】
【分析】根据是等边三角形只需满足三个角都为或两条边相等一个角为，即可求解．
【详解】添加条件①②或①③
证明：情形一：选择①，②
证明：，，
，
，
是等边三角形
情形二：
选择①，③．
证明：，
，
，，
，
是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题关键是熟记等边三角形的判定定理．
22. 如图， 中，，

（1）尺规作图：作边的垂直平分线交于点，交于点．(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，作的垂直平分线，交于点，交于点；
（2）根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，进而得出，根据含度角的直角三角形的性质，得出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
23. 先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求和的值．
解：
，
，
参照以上解答过程解决以下问题：
（1）若，求的值．
（2）已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出、的值，然后利用三角形的三边关系即可求解．
【小问1详解】
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
，
，
，
，
，
．
，，是三边，
的取值为： ．
又 是中最长的边，且，
的取值为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，三角形三边关系，第问中一定要特别注意为最长边这一条件．利用完全平方公式配方成平方和的形式是解题的关键．
24. 如图1，已知中，，，直线经过点，于，于，且 ，，．

（1）求证：；
（2）若将直线绕点旋转到如图的位置，其它条件不变，中的结论是否仍然成立若成立，请说明理由，若不成立，请写出新的数量关系，并给予证明；
（3）若 ，请利用图证明：．
【答案】（1）见解析 （2）不成立，
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）、、之间的数量关系是．由垂直的性质可得到，证得，得到，，即有；
（2）同（1）的方法，证得，得到，，即有；
（3）用两种方法求得梯形的面积，进而即可得证．
【小问1详解】
证明：，，，，
∴，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
；
∵ ，，
∴；
【小问2详解】
解：不成立，，理由如下，
，，，，
∴，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
；
，，
；
【小问3详解】
解：，
，，
，，
梯形的面积为
又梯形的面积
即
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、完全平方公式，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 定义：若为内一点，且满足，则点叫做的费马点．

（1）如图1，若点是高为的等边的费马点，则= ；
（2）如图2，已知是等边外一点，且，请探究线段，，之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，已知，分别以、为边向外作等边与等边，线段、交于点，连接，求证：
①点是的费马点；
②．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】（1）延长交于点，根据费马点的定义可得，进而根据等腰三角形的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质，求得，即可求解；
（2）延长至，使得，连接，证明，根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）①作于，于设交 于．证明（）即可解决问题；
②在线段上取一点，使得，连接．证明（），推出即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，

∴是等边三角形，是等边三角形，
∵点是高为的等边的费马点，
∴，
∴
∴四点共线，
∵
∴在的垂直平分线上，
∴，
∴，
如图所示，延长交于点

∵点是高为的等边的费马点，
∴，
∴，
∴，则
∴
∵
∴
∴,
故答案为：．
【小问2详解】
解：，理由如下，
如图所示，延长至，使得，连接，

∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
即，
又，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
①证明：如图，作A于，于设交 于．

，都是等边三角形，
，，，
，
)，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是就是费马点．
②在线段上取一点，使得，连接．

，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
．