高中北师大版 (2019)第一章 预备知识1 集合1.1 集合的概念与表示教案设计

这是一份高中北师大版 (2019)第一章 预备知识1 集合1.1 集合的概念与表示教案设计，共5页。教案主要包含了新课导入，新知探究，应用举例，课堂练习，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1．通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，能选择集合不同的语言形式描述具体的问题．
2．了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题．
3．会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法；并学会用区间表示集合．
教学重难点

重点：集合的含义与表示方法，元素与集合的关系，用区间表示集合；
难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合．
教学过程
一、新课导入
情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始人是康托尔（1829－1920，德国数学家）．集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学．
回顾：初中数学中，经常按类来研究事物．现实生活中也经常把事物分类来看．同学们能举例子说一说吗？
答案：代数方面：自然数，有理数，实数等；几何方面：点，三角形，四边形，圆等．现实生活方面：中国人，中考考生，科幻迷等．
在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象分类，把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起．
二、新知探究
集合的定义：
一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合，用大写英文字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写英文字母a，b，c，…表示．
问题１：字母a，b，c能否构成一个集合？全体正奇数能否构成一个集合？接近1的数能否构成一个集合？
答案：字母a，b，c可以构成一个集合，这个集合中有３个元素，分别为a，b，c；全体正奇数可以构成一个集合，这个集合中含有无限个元素，1，3，5是它的一部分元素；接近1的数不能构成一个集合，不能确定接近１的数有哪些．
问题２：初中数学中，我们学过的数集有哪些？
答案： 全体自然数组成的集合简称自然数集，记作?；
全体正整数组成的集合简称正整数集，记作N＋或N∗
全体整数组成的集合简称整数集，记作?；
全体有理数组成的集合简称有理数集，记作?；
全体实数组成的集合简称实数集，记作?；
全体正实数组成的集合简称正实数集，记作R＋．
例如：0∈?，−3∈?，0．618∈?，13∈?， 13∉?，3∈?，3 ∉?， π∈?．
问题３：集合不仅仅有前面的常见数集，其它的集合又该如何表示呢？
列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }” 内表示集合的方法叫做列举法．
一般可将集合表示为{ a，b，c，···}
注意：用列举法表示集合时，元素排列的顺序可以不同．{1，2，3 }也可以写成
{1，3，2}，{2，1，3}，{2，3，1}，{3，1，2}，{3，2，1}．
描述法：
通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫做描述法．一般可将集合表示为x及x的范围x满足的条件，即在花括号内先写出集合中元素一般符号即范围，再画一条竖线“|” 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
思考：偶数的集合怎样表示？ 有理数集怎么表示呢？函数?=2?图象上的所有点组成的集合怎么表示？
?={?∈?|?=2?，?∈?}，简写为?={?｜?=2?，?∈?}；
?={(?，?)｜?=2?，?∈?}．
问题４：表示集合有列举法、描述法，那么在具体问题中，该怎么去选择呢？
在具体问题中，应根据实际需要选择适当的方法来表示集合．比如，方程x2+2?=0的解集?，列举法表示为?={0，−2}，描述法表示为?={?|x2+2?=0}．
根据集合中元素的个数，可对集合分类：
含有有限个元素的集合叫作有限集；
含有无限个元素的集合叫作无限集；
不含任何元素的集合叫作空集．
注意：一般地，对于元素个数较少的有限集，选择列举法表示；对于元素个数较多的有限集，或者有无穷多个元素的无限集，选择描述法表示；空集用符号∅表示．
问题５：用描述法表示范围时，书写依然不够简洁，有没有其他表示形式呢？
设?，?是两个实数，且?在数轴上表示区间时，用实心点表示属于区间的端点，用空心点表示不属于区间的端点．“∞”读作“无穷大”，“−∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”．
三、应用举例
例1：用列举法表示下列集合：
（1）由大于3且小于10的所有整数组成的集合．
（2）方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合．
解：（1）设由大于3且小于10的所有整数组成的集合为A， 那么A＝{4，5，6，7，8，9}．
（2）设方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{－3，3}．
注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法．
例2：用描述法表示下列集合：
小于10的所有有理数组成的集合A;
所有奇数组成的集合B；
平面α内，到定点O的距离等于定长r的所有点组成的集合C．
解：（1）设x∈A，则x∈Q，且使x＜10成立，因此，用描述法可以表示为
A＝{x∈Q| x＜10}
（2）设x∈B，则x是一个奇数，因此，用描述法可以表示为
B＝{x | x＝2n－1，n∈Z}
（3）设M∈C，则M∈α，M到α内的定点O的距离等于定长r， 因此，用描述法可以表示为C＝{M∈α| O为α内的定点，r为定值，且M到O的距离等于r}
四、课堂练习
1． 下列对象不能构成集合的是( )
①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①③
2． 下列三个关系式：①5∈R；②14∉Q；③0∈Z．其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
3． 设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
4． 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x2－2x＝15的解；
(2)所有的正方形；
(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．
参考答案：
1． 解析:研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D．
答案:D
2． 解析:①正确；②因为14∈Q，错误；③0∈Z，正确．
答案:B
3． 解析:∵4∈A，∴16－12＋a＝0，
∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．
答案:{－1，4}
4． 解:(1)解方程x2－2x＝15得：x1＝5，x2＝－3，
故解为{－3，5}．
(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．
(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
五、课堂小结
六、布置作业
教材第5页，练习第1、2、3题．