05圆锥曲线方程（椭圆、双曲线）-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版）

这是一份05圆锥曲线方程（椭圆、双曲线）-山东省2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（人教A版），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，双空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·山东威海·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（ ）
A．B．C．或D．或1
3．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）已知双曲线，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．若的顶点坐标为，则
C．的焦点坐标为
D．若，则的渐近线方程为
4．（2023上·山东德州·高二统考期末）3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·山东烟台·高二统考期末）若椭圆的中心为坐标原点､焦点在轴上；顺次连接的两个焦点､一个短轴顶点构成等边三角形，顺次连接的四个顶点构成四边形的面积为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）设椭圆的两个焦点为，，椭圆上的点P，Q满足P，Q，三点共线，则的周长为（ ）
A．2aB．2bC．4aD．4b
7．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆上一点，且（为坐标原点），以为圆心，为半径的圆与轴相交于两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023上·山东临沂·高二临沂第三中学校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论错误的是（ ）
A．离心率B．的最大值为
C．的面积的最大值为D．的最小值为
二、多选题
9．（2023上·山东泰安·高二统考期末）已知椭圆内一点，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C的焦点坐标为，
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线与直线的斜率之积为
D．
10．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知曲线：，：，则（ ）
A．的长轴长为4
B．的渐近线方程为
C．与的焦点坐标相同
D．与的离心率互为倒数
11．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知曲线，下列说法正确的有（ ）
A．若曲线表示椭圆，则或
B．若曲线表示椭圆，则椭圆的焦距为定值
C．若曲线表示双曲线，则
D．若曲线表示双曲线，则双曲线的焦距为定值
12．（2023上·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线与双曲线的渐近线相同
C．的面积为4
D．的周长为
三、填空题
13．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点 ．
14．（2023上·山东泰安·高二统考期末）已知过点的直线与椭圆相交于不同的两点A和B，在线段AB上存在点Q，满足，则的最小值为 ．
15．（2023上·山东滨州·高二统考期末）焦点在轴上的双曲线与双曲线有共同的渐近线，且的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为 ．
16．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为圆心，的虚半轴长为半径的圆与的右支恰有两个交点，记为、，若四边形的周长为，则的焦距的取值范围为 ．
四、解答题
17．（2023上·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
18．（2023上·山东德州·高二统考期末）已知椭圆的短轴长为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于、两点，以为直径的圆过点，求点到直线距离的最大值．
19．（2023上·山东聊城·高二统考期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，，且到直线l：的距离为．
(1)求C的方程；
(2)与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；
(3)P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围．
20．（2023上·山东威海·高二统考期末）已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，若，求直线的方程．
21．（2023上·山东济宁·高二统考期末）已知椭圆，点为椭圆的上顶点，设直线过点且与椭圆交于两点，点不与的顶点重合，当轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与直线的交点分别为，求的取值范围.
22．（2023上·山东泰安·高二统考期末）已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，过点且不与x轴重合的动直线交双曲线C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时，．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设直线AP，AQ和直线分别交于点M，N，若恒成立，求t的值．
23．（2023上·山东潍坊·高二统考期末）已知双曲线E：的中心为坐标原点O，左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，且.
(1)求双曲线E的渐近线方程；
(2)若直线与直线：交于点C，点D是双曲线E上一点，且满足，记直线CD的斜率为，直线OD的斜率为，求.
24．（2023上·山东日照·高二统考期末）椭圆的左右焦点分别为，左右顶点为，为椭圆的上顶点，的延长线与椭圆相交于，的周长为，，为椭圆上一点．圆以原点为圆心且过椭圆上顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与圆切于，（位于第一象限），求使得面积最大时的直线的方程；
(3)若直线与轴的交点分别为，以为直径的圆与圆的一个交点为，判断直线是否平行于轴并证明你的结论．
五、双空题
25．（2023上·山东德州·高二统考期末）如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为 ，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.
【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
.
等于的最小值的3倍，
.
椭圆中，
，即，
则.
，
，解得或（舍）.
故选：B.
2．D
【分析】分焦点在上和焦点在上讨论，利用列方程求.
【详解】焦距为2，即.
当焦点在上时，，得；
当焦点在上时，，得；
综合得或.
故选：D.
3．D
【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A错误，然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B错误，再然后分为、两种情况，依次求出，即可判断出C错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.
【详解】对于A项：因为方程表示双曲线，
所以，解得或，A错误；
对于B项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B错误；
对于C项：当时，，当时，，C错误；
对于D项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D正确.
故选：D
4．C
【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.
【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以为笔筒对应双曲线的实轴端点，
以所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，
建立平面直角坐标系，设与分别为上，下底面对应点.
由题意可知，设，则，
设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，
所以，所以方程可化简为，
将和的坐标代入式可得，解得，
则笔筒最细处的直径为.
故选：C.
5．A
【分析】由题可知，，解之即可得a和b的值，从而求得椭圆的方程；
【详解】设椭圆的标准方程为，
由题可知，，解得，，
故椭圆的标准方程为．
故选：A.
6．C
【分析】根据给定条件，利用椭圆定义直接求解作答.
【详解】椭圆的两个焦点为，，显然椭圆的弦PQ经过点，
由椭圆的定义得，的周长.
故选：C
7．A
【分析】根据已知条件作出图形，利用点在曲线上及垂径定理，结合锐角三角函数及构造齐次式方程法解决椭圆的离心率即可.
【详解】由题可知，，过作轴，垂足为，如图所示
因为点是椭圆上一点，且，设，则
所以，即，解得，
不妨设点在第一象限，所以，即圆的半径，
因为圆心在弦的垂直平分线上，
所以为的中点，即,
所以,
又因为，
所以，
在中，，，
所以,即，
所以，即0，即，解得或.
因为，所以.
故椭圆的离心率为，
故选：A.
8．C
【分析】根据椭圆方程求出、、，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的性质判断B，设，则，根据的有界性求出面积的最大值，即可判断C，根据向量模的坐标表示及二次函数的性质判断D.
【详解】解：椭圆，则，，所以，则离心率，故A正确；
由椭圆性质：到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点，可得的最大值为，故B正确；
由，，设，
则，因为，所以，
当且仅当在上、下顶点时取最大值，故C错误；
因为，，
所以，
所以，
即的最小值为，当且仅当在上、下顶点时取最小值，故D正确；
故选：C
9．BCD
【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.
【详解】依题意，椭圆，
所以，所以焦点坐标为，A选项错误.
长轴长，B选项正确.
，C选项正确.
设，则，
两式相减并化简得，
即直线的斜率为，直线的方程为，
由消去并化简得，
所以，所以.
故选：BCD
10．BD
【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可.
【详解】曲线：整理得，则曲线是焦点在轴上的椭圆，其中，所以，离心率为
故曲线的长轴长，故A不正确；
曲线：是焦点在轴上的双曲线，其中，所以，离心率为，故与曲线的焦点位置不同，故C不正确；
：的渐近线方程为，故B正确；
又，所以与的离心率互为倒数，故D正确.
故选：BD.
11．BCD
【分析】根据椭圆、双曲线的方程求出的取值范围，可判断AC选项；利用椭圆、双曲线的几何性质可判断BD选项.
【详解】对于A选项， 若曲线表示椭圆，则，解得，A错；
对于B选项，若曲线表示椭圆，则，椭圆的标准方程为，
椭圆的焦距为，B对；
对于C选项，若曲线表示双曲线，则，解得，C对；
对于D选项，若曲线表示双曲线，则双曲线的标准方程为，
双曲线的焦距为，D对.
故选：BCD.
12．BCD
【分析】由双曲线的方程求，由此可求双曲线的离心率，分别求双曲线和双曲线的渐近线方程判断B；结合双曲线的定义和勾股定理求，再求的面积，判断C；由条件求，求的周长判断D.
【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，半焦距长为，则
，所以，离心率，A错误；
双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程是，双曲线与双曲线的渐近线相同，B正确；
由双曲线定义可得，又，
所以，
即，所以的面积为，C正确；
，
即，所以的周长为，D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】根据题意求出椭圆C的方程，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理与，求得的值，进而可得答案．
【详解】根据题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为
∵上顶点为，∴，
又长轴长为，∴，
则椭圆C的方程为，

易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，
由可得，
∴，
又，
∴，解得或．
当时，直线AB经过点D，不满足题意，
则直线AB的方程为，故直线AB过定点．
故答案为：．
14．
【分析】设，，，由四点共线，用向量共线关系表示两点坐标，又点在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出点在一条定直线上，再求最短距离即可.
【详解】设，，，由，记，又四点共线，设，则由已知，且，.
由，得，
解得，同理，得，
解得，因为点在椭圆上，所以，即，①
同理点在椭圆上，所以，即，②
①-②得 ，因为
所以，故点在定直线上，
的最小值为点到直线的距离.
故答案为：.
【点睛】解析几何中线段定比分点问题方法点睛：
1.在平面直角坐标系中，已知，，，且，,且，那么我们就说P分有向线段AB的比为，则有:
，这就是定比分点坐标公式.
当P为内分点时， ；
当P为外分点时， ().
2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.
15．
【分析】设双曲线的标准方程为，设，利用点到直线的距离公式可求得的值，利用双曲线的渐近线方程可求得的值，由此可得出双曲线的方程.
【详解】设双曲线的标准方程为，设，
则双曲线的渐近线方程为，
所以，双曲线的上焦点到其渐近线的距离为，
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，，则，
因此，双曲线的方程为.
故答案为：.
16．
【分析】易知点、关于轴对称，分析可得，且，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围，即可得解.
【详解】易知点、关于轴对称，且，由双曲线的定义可得，
由题意可得，可得，则，
所以，，
所以，，所以，.
当时，，，此时，
即此时以为圆心，的虚半轴长为半径的圆与的右支恰有两个交点，合乎题意.
因此，的焦距的取值范围为.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）解法一：将代入椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程；解法二：由椭圆定义求出，结合焦点坐标，求出，得到答案；
（2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出弦长，求出最大值和直线方程.
【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为．
由题意知，，
解得．
所以，椭圆C的标准方程为．
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．
根据椭圆定义得，
即．
又因为，所以，
所以，椭圆C的标准方程为．
（2）由，消去y，得，
因为直线与椭圆C相交于A，B两点，
所以，
解得．
设，，
则，，
所以
当时，取最大值，此时直线l的方程为
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆过点，结合短轴长列方程，解方程即可；
（2）法一：当直线斜率不存在时，设点与的坐标，根据，解方程可得直线方程，当斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆，结合韦达定理及，可得，即可得直线过定点，进而确定距离的最值.法二：将椭圆方程转化为，设直线方程为，与椭圆联立构造齐次式得，所以则，是方程的两个根，则，即，代入直线方程，可得直线过定点，进而确定距离的最值.
【详解】（1）椭圆的短轴长为，所以，，
代入点，得，所以
椭圆的方程为；
（2）法一：
当直线斜率不存在时，则有、，直线的方程为：，
因为以直径的圆过点，所以，
，
又，可得，解得或（舍去），
当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
设点，
联立，得，
由韦达定理得，，
，
点点不在直线上，所以，则有，经检验，此时，满足题意，
所以直线的方程为，直线过定点
综上，直线恒过定点，记作
则当时，点到直线距离最大，最大值为.
法二：齐次化构造
椭圆的标准方程为，即
变形为，
即，
设直线的方程为
与椭圆方程联立构造齐次式为
即：
设点，
则，是方程的两个根，
又因为，
所以，即
代入直线方程得：，
故直线过定点，记作记作
则当时，点到直线距离最大，最大值为.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)．
【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案；
（2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案；
（3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案.
【详解】（1）设，，由题意得，
解得，所以C的方程为．
（2）证明：设这组平行线的方程为，与联立消去x，得，
则，得．
设直线被C截得的线段的中点为，则，其中，是方程的两个实数根．
所以，
消去m，得，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上．
（3）由（2）知，l与C相离，
当直线与C相切时，，解得或．
当时，直线与l的距离为，此时，
当时，直线与l的距离为，此时，
所以面积的取值范围为．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）由题知，进而解方程即可得答案；
（2）由题知，直线斜率存在，设方程为，，故直线方程为，直线方程为，进而得的横坐标，再将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式计算即可.
【详解】（1）解：因为椭圆过点，离心率为，
所以，解得，
所以，椭圆的方程为.
（2）解：当直线斜率不存在时，方程为，此时两点中有一点与重合，不满足题意；
所以，直线斜率存在，设方程为，，
联立方程得，
所以，，
因为直线方程为，直线方程为，
所以，联立方程得，
联立方程得，
所以
因为点在直线上，
所以，
整理得，解得或，
所以，所求直线方程为或
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆上的点求椭圆方程；
（2）分类讨论，设直线的方程，与椭圆联立方程组，设两点坐标，得直线的方程，得两点的坐标，借助韦达定理和二次函数的性质，求解的取值范围.
【详解】（1）点为椭圆的上顶点，∴，
当轴时，点关于轴对称，不妨设点在轴上方，
又因为此时，点在线段上，所以，点坐标为，
故，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线不存在斜率时，则直线的方程为，
不妨设点在轴上方，在轴下方，
则，
所以，直线的方程为，当时，解得点的纵坐标为，
同理，解得点的纵坐标为，
所以.
当直线存在斜率时，设其方程为，点与椭圆的顶点不重合，则且，
由消并整理得，，易得，
设，则，
，
又直线的方程为，
当时，解得点的纵坐标为；
同理，解得点的纵坐标为，
所以，
令，则且，
所以且.
综上，的取值范围是.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.
22．(1)
(2)或
【分析】(1)由可得的值，再将点代入即可求解；
(2) 设直线PQ的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP的方程，求出点的坐标，利用即可求出结果.
【详解】（1）由题知，当PQ与x轴垂直时，，
所以，，
所以，解得，所以双曲线C的方程为．
（2）设直线PQ的方程为，，，
由，得，
所以，．
直线AP的方程为，与联立，解得．同理可得．
所以，，
因为恒成立，所以恒成立，
又
所以，解得或．
23．(1)或
(2)
【分析】（1）利用双曲线的定义得到，列方程得到即可得到双曲线方程，然后求渐近线方程即可；
（2）设，，根据列方程得到，根据点在双曲线上得到，然后计算即可.
【详解】（1）由双曲线定义可知，，，
所以，
所以，即，所以双曲线方程为：，
于是其渐近线为或，即或.
（2）设，，因为，，所以，
整理得，.
因为点在双曲线上，所以，
即，
所以.
24．(1)
(2)
(3)直线平行于轴，证明见解析
【分析】(1)由的周长为得,由且在的延长线上，得,设，代入坐标，可求，从而，椭圆方程可得.
(2) 由可知，当时，面积取得最大值，此时即从而可求直线的方程；
(3)设 则可以写出直线AP，BP的方程,从而求出，，根据为直径，可得，再根据及，可求，从而得证.
【详解】（1）由的周长为得，．
由且在的延长线上，得，设，
,
则，
又，解得，
所以，椭圆的方程为
（2）又，
所以当时，面积取得最大值，此时点，又因为点位于第一象限，直线的方程为．
（3）直线平行于轴．理由如下：
由题意知点P不与点A或点B重合，设则直线AP的方程为，
令得同理可求
，
将及代入化简得，所以直线平行于轴．
【点睛】关键点点睛：
第三问：设、的坐标，则可以写出直线AP，BP的方程,从而求出、的坐标,根据为直径，可得，再根据及，可求，从而得证.
25．
【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程.
【详解】由，，是相应半椭圆的焦点，
可得，，，
所以，，，
故所求周长为；
设，
联立直线与，得，
即点，
联立直线与，得，
即点，且不重合，即，
又为中点，
所以，
即，，整理可得，，
故答案为：，.