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06圆锥曲线方程（双曲线）-湖南省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版）
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这是一份06圆锥曲线方程（双曲线）-湖南省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版），共31页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022上·湖南怀化·高二校联考期末）已知双曲线：的右焦点为过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若记过第一、三象限的双曲线的渐近线为则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·湖南邵阳·高二统考期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·湖南怀化·高二统考期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
5．（2022上·湖南永州·高二统考期末）已知双曲线，其中一条渐近线与x轴的夹角为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·湖南郴州·高二统考期末）已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·湖南张家界·高二统考期末）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象､新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦､赛场､冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正､坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点､以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．（2022上·湖南邵阳·高二统考期末）已知双曲线的两个顶点分别是，两个焦点分别是．P是双曲线上异于的任意一点，则有（ ）
A．B．若，则
C．直线的斜率之积等于D．使得为等腰三角形的点P有8个
10．（2022上·湖南永州·高二统考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ）
A．的最小值为
B．为定值
C．双曲线C的离心率
D．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
11．（2022上·湖南郴州·高二统考期末）著名的天文学家､数学家约翰尼斯·开普勒发现了行星运动的三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上，记某行星M绕太阳运动的轨道为椭圆C，在行星M绕太阳运动的过程中，M与太阳中心的最大距离与最小距离分别为10和2，则下列有关该椭圆C说法正确的是（ ）
A．长轴长为12
B．离心率为
C．椭圆C与双曲线有相同的焦点
D．若C是焦点在x轴上的椭圆，P，Q是椭圆短轴上的两个顶点，A是椭圆上异于P，Q的任意一点，则
12．（2022上·湖南张家界·高二统考期末）已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6B．焦点坐标为，
C．离心率为D．渐近线方程为
三、填空题
13．（2022上·湖南益阳·高二统考期末）双曲线的离心率 .
14．（2022上·湖南怀化·高二统考期末）方程表示双曲线，则实数k的取值范围是 .
15．（2022上·湖南郴州·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左､右焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点P，则的面积为 .
16．（2022上·湖南·高二校联考期末）若双曲线的右焦点在圆上，则该双曲线的渐近线方程为 .
17．（2023上·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为9，则离心率= .
18．（2023上·湖南娄底·高二统考期末）已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为 .
19．（2023上·湖南永州·高二统考期末）已知双曲线的左、右顶点分别为、，是在第一象限的图象上的点，记，，，若，则双曲线的离心率 ．
20．（2023上·湖南郴州·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，点A坐标为，点P为双曲线左支上的动点，且的周长不小于14，则双曲线C的离心率的取值范围为 ．
21．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）双曲线的离心率，则 ．
四、解答题
22．（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程是，点，且的面积为6．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围．
23．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）已知曲线C为双曲线的右支，斜率为k的直线l过双曲线右焦点，且与曲线C相交于A，B两点.
(1)求斜率k的取值范围；
(2)在x轴上是否存在点M使得，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】由题意画出图形,分别求出与的值,结合，可得，即可得到直线的倾斜角范围.
【详解】如图所示：
在双曲线中，取，可得，
分别在双曲线的渐近线与中，取，求得，
由，得，即，
，可得，
直线倾斜角的范围为，且过一、三象限，
的倾斜角的取值范围为.
故选：C.
2．A
【分析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为， ，
则有已知，
两式相减得，即，
，
因为
，解得
故选：A.
3．B
【分析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知可得，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
4．C
【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程，得出，进而可求出双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
又其中一条渐近线的倾斜角为，
所以，则，
所以该双曲线离心率为.
故选：C.
5．C
【分析】由已知条件计算可得，即得到结果.
【详解】由双曲线，可知
渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为，
故，即渐近线方程为.
故选：C.
6．C
【分析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.
【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：
故选：C
7．D
【分析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a，再利用离心率公式计算作答.
【详解】依题意，，的内切圆半径，由直角三角形内切圆性质知：
，由双曲线对称性知，，
于是得，即，又双曲线半焦距c=2，
所以双曲线的离心率.
故选：D
【点睛】结论点睛：二直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形内切圆半径.
8．A
【分析】建立直角坐标系，结合图形可得渐近线斜率，再根据公式可得.
【详解】
如图建立直角坐标系，过向x轴引垂线，垂足为A，易知，
故选：A
9．BD
【分析】由双曲线的定义可判断A，利用向量的数量积公式判断B，化简斜率乘积推出结果判断C；判断三角形的公式判断D.
【详解】由双曲线可得，，
所以，，，
，，
对于A.由双曲线的定义得，故A错误.
对于B.设，则，，
因为，所以
因为，，
所以，故B正确.
对于C. 设，则，所以
，故C错误.
对于D.若在第一象限，则当时，
，，为等腰三角形；
当时，
，，为等腰三角形；
因此，使得为等腰三角形的点P有8个，故D正确.
故选：BD.
10．BCD
【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，从而可得，得离心率，判断C；
设出的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出点横坐标，从而判断D；
，求出，代入点在双曲线上的条件可判断B；
利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判断A．
【详解】由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，
则，（舍去），
又，所以，离心率为，C正确；
设的内切圆与三边切点分别为，如图，
由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，D正确；
设，则，，
渐近线方程是，则，，
为常数，B正确；
由已知的方程是，倾斜角为，所以，，
，当且仅当时等号成立，A错误．
故选：BCD.
故选：BCD．
11．ABD
【分析】求得椭圆的a、c即可判断选项ABC；代入计算即可判断选项D.
【详解】由，可得
则椭圆C长轴长为12.选项A判断正确；
椭圆C离心率.选项B判断正确；
椭圆C的焦点所在轴未确定，故椭圆C与双曲线有相同的焦点判断错误；
不妨设椭圆C的方程为，，,
则，
选项D判断正确.
故选：ABD
12．AC
【分析】首先根据已知条件得到，，，焦点在轴，再根据双曲线的性质依次判断选项即可.
【详解】双曲线：，，，，焦点在轴.
对选项A，实轴长为，故A正确；
对选项B，焦点坐标为，，故B错误；
对选项C，离心率为，故C正确；
对选项D，渐近线方程为，即，故D错误.
故选：AC
13．
【分析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.
【详解】由已知，可得，
所以，
所以.
故答案为：
14．
【分析】由题可得，即求.
【详解】∵方程表示双曲线，
∴，
∴.
故答案为：.
15．
【分析】先得出渐近线方程和圆的方程，然后解出点P的纵坐标，进而求出面积.
【详解】由题意，渐近线方程为：，，圆的方程为：，联立：，所以.
故答案为：.
16．/和
【分析】由题意可得双曲线的右焦点是圆与轴的一个交点，由此列方程可求出的值，从而可求出双曲线的渐近线方程
【详解】将代入，解得或.
因为，所以，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
17．/
【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率
【详解】由A，B两点在直线上，设，
因为A，B两点关于原点对称，所以，
由A，B两点的横坐标之积为9得，解得，所以，
代入双曲线方程得，所以，
所以，所以离心率为.
故答案为：
18．/
【分析】根据题意结合双曲线的几何性质得到，再解方程即可.
【详解】因为双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，
所以，解得.
故答案为：
19．
【分析】设点，则，，且，分析可得，，，根据可求得双曲线的离心率的值.
【详解】设点，则，，且，可得，易知点、，
所以，，，
则，，
，
所以，，
所以，，则，可得.
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：.
20．
【分析】的周长不小于14，可得的最小值不小于9，设为双曲线的左焦点，则的最小值不小于9，分析可得三点共线时，取最小值，从而可求的范围，根据离心率公式即可求解.
【详解】由右焦点为，点A坐标为，可得.
因为的周长不小于14，所以的最小值不小于9.
设为双曲线的左焦点，可得，
故，
当三点共线时，取最小值,即，
所以,即.
因为,所以.
又,所以.
故答案为:.
21．12
【分析】根据双曲线方程可得：，再根据离心率求出，进而求解.
【详解】由双曲线可得：，
又因为双曲线的离心率，所以，
则，
故答案为：.
22．(1)
(2)或．
【分析】（1）根据题意，由条件结合双曲线的关系，列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，设，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理，由知，列出不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，①
，②
，③
由①②③可得，，
双曲线C的标准方程是．
（2）
由题意知直线l不过点A．
设，，线段PQ的中点为，连接AD
将与联立，消去y，
整理得，
由且，得，④
，，
，．
由知，，又，
，化简得，⑤
由④⑤，得或．由，得．
综上，实数m的取值范围是或．
23．(1)
(2)存在，定点
【分析】（1）由双曲线方程，明确焦点坐标，设出直线方程，联立直线方程与双曲线方程，利用一元二次方程有根问题，建立不等式组，可得答案；
（2）设动点坐标，利用斜率计算公式，结合题意，建立方程，结合（1）所得到的韦达定理，整理方程，可得答案.
【详解】（1）由题意得双曲线的右焦点为，
设直线1的方程为：，联立方程，
整理得，
因为直线与曲线有两个交点，设，，
所以，
解得或，
故斜率的取值范围为.
（2）由（1）可得，，又，，
则，，
假设在轴上存在点满足，
则，，，
即，
展开可得即.
因为斜率的取值范围为，
所以，即，
整理可得，
即，解得，
所以轴上存在点使得，且.
一、单选题
1．（2022上·湖南怀化·高二校联考期末）已知双曲线：的右焦点为过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若记过第一、三象限的双曲线的渐近线为则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022上·湖南邵阳·高二统考期末）设为双曲线与椭圆的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若椭圆的离心率范围为，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022上·湖南怀化·高二统考期末）由伦敦著名建筑事务所SteynStudi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022上·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
5．（2022上·湖南永州·高二统考期末）已知双曲线，其中一条渐近线与x轴的夹角为，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022上·湖南郴州·高二统考期末）已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022上·湖南张家界·高二统考期末）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象､新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦､赛场､冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正､坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点､以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．（2022上·湖南邵阳·高二统考期末）已知双曲线的两个顶点分别是，两个焦点分别是．P是双曲线上异于的任意一点，则有（ ）
A．B．若，则
C．直线的斜率之积等于D．使得为等腰三角形的点P有8个
10．（2022上·湖南永州·高二统考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆与双曲线C的渐近线相切，则（ ）
A．的最小值为
B．为定值
C．双曲线C的离心率
D．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上
11．（2022上·湖南郴州·高二统考期末）著名的天文学家､数学家约翰尼斯·开普勒发现了行星运动的三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上，记某行星M绕太阳运动的轨道为椭圆C，在行星M绕太阳运动的过程中，M与太阳中心的最大距离与最小距离分别为10和2，则下列有关该椭圆C说法正确的是（ ）
A．长轴长为12
B．离心率为
C．椭圆C与双曲线有相同的焦点
D．若C是焦点在x轴上的椭圆，P，Q是椭圆短轴上的两个顶点，A是椭圆上异于P，Q的任意一点，则
12．（2022上·湖南张家界·高二统考期末）已知双曲线：，则下列关于双曲线的结论正确的是（ ）
A．实轴长为6B．焦点坐标为，
C．离心率为D．渐近线方程为
三、填空题
13．（2022上·湖南益阳·高二统考期末）双曲线的离心率 .
14．（2022上·湖南怀化·高二统考期末）方程表示双曲线，则实数k的取值范围是 .
15．（2022上·湖南郴州·高二统考期末）已知，分别是双曲线的左､右焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以为直径的圆经过点P，则的面积为 .
16．（2022上·湖南·高二校联考期末）若双曲线的右焦点在圆上，则该双曲线的渐近线方程为 .
17．（2023上·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为9，则离心率= .
18．（2023上·湖南娄底·高二统考期末）已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为 .
19．（2023上·湖南永州·高二统考期末）已知双曲线的左、右顶点分别为、，是在第一象限的图象上的点，记，，，若，则双曲线的离心率 ．
20．（2023上·湖南郴州·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，点A坐标为，点P为双曲线左支上的动点，且的周长不小于14，则双曲线C的离心率的取值范围为 ．
21．（2023上·湖南益阳·高二统考期末）双曲线的离心率，则 ．
四、解答题
22．（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程是，点，且的面积为6．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)直线与双曲线C交于不同的两点P，Q，若，求实数m的取值范围．
23．（2023上·湖南株洲·高二校考期末）已知曲线C为双曲线的右支，斜率为k的直线l过双曲线右焦点，且与曲线C相交于A，B两点.
(1)求斜率k的取值范围；
(2)在x轴上是否存在点M使得，如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】由题意画出图形,分别求出与的值,结合，可得，即可得到直线的倾斜角范围.
【详解】如图所示：
在双曲线中，取，可得，
分别在双曲线的渐近线与中，取，求得，
由，得，即，
，可得，
直线倾斜角的范围为，且过一、三象限，
的倾斜角的取值范围为.
故选：C.
2．A
【分析】设椭圆的标准方程为，根据椭圆和双曲线的定义可得到两图形离心率之间的关系，再根据椭圆的离心率范围可得双曲线的离心率取值范围.
【详解】设椭圆的标准方程为， ，
则有已知，
两式相减得，即，
，
因为
，解得
故选：A.
3．B
【分析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程.
【详解】由已知可得，
因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：B.
4．C
【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程，得出，进而可求出双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
又其中一条渐近线的倾斜角为，
所以，则，
所以该双曲线离心率为.
故选：C.
5．C
【分析】由已知条件计算可得，即得到结果.
【详解】由双曲线，可知
渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线与x轴的夹角为，
故，即渐近线方程为.
故选：C.
6．C
【分析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.
【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：
故选：C
7．D
【分析】根据给定条件结合直角三角形内切圆半径与边长的关系求出双曲线实半轴长a，再利用离心率公式计算作答.
【详解】依题意，，的内切圆半径，由直角三角形内切圆性质知：
，由双曲线对称性知，，
于是得，即，又双曲线半焦距c=2，
所以双曲线的离心率.
故选：D
【点睛】结论点睛：二直角边长为a，b，斜边长为c的直角三角形内切圆半径.
8．A
【分析】建立直角坐标系，结合图形可得渐近线斜率，再根据公式可得.
【详解】
如图建立直角坐标系，过向x轴引垂线，垂足为A，易知，
故选：A
9．BD
【分析】由双曲线的定义可判断A，利用向量的数量积公式判断B，化简斜率乘积推出结果判断C；判断三角形的公式判断D.
【详解】由双曲线可得，，
所以，，，
，，
对于A.由双曲线的定义得，故A错误.
对于B.设，则，，
因为，所以
因为，，
所以，故B正确.
对于C. 设，则，所以
，故C错误.
对于D.若在第一象限，则当时，
，，为等腰三角形；
当时，
，，为等腰三角形；
因此，使得为等腰三角形的点P有8个，故D正确.
故选：BD.
10．BCD
【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，从而可得，得离心率，判断C；
设出的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出点横坐标，从而判断D；
，求出，代入点在双曲线上的条件可判断B；
利用余弦定理求得，并由基本不等式求得最小值判断A．
【详解】由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，
则，（舍去），
又，所以，离心率为，C正确；
设的内切圆与三边切点分别为，如图，
由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，D正确；
设，则，，
渐近线方程是，则，，
为常数，B正确；
由已知的方程是，倾斜角为，所以，，
，当且仅当时等号成立，A错误．
故选：BCD.
故选：BCD．
11．ABD
【分析】求得椭圆的a、c即可判断选项ABC；代入计算即可判断选项D.
【详解】由，可得
则椭圆C长轴长为12.选项A判断正确；
椭圆C离心率.选项B判断正确；
椭圆C的焦点所在轴未确定，故椭圆C与双曲线有相同的焦点判断错误；
不妨设椭圆C的方程为，，,
则，
选项D判断正确.
故选：ABD
12．AC
【分析】首先根据已知条件得到，，，焦点在轴，再根据双曲线的性质依次判断选项即可.
【详解】双曲线：，，，，焦点在轴.
对选项A，实轴长为，故A正确；
对选项B，焦点坐标为，，故B错误；
对选项C，离心率为，故C正确；
对选项D，渐近线方程为，即，故D错误.
故选：AC
13．
【分析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.
【详解】由已知，可得，
所以，
所以.
故答案为：
14．
【分析】由题可得，即求.
【详解】∵方程表示双曲线，
∴，
∴.
故答案为：.
15．
【分析】先得出渐近线方程和圆的方程，然后解出点P的纵坐标，进而求出面积.
【详解】由题意，渐近线方程为：，，圆的方程为：，联立：，所以.
故答案为：.
16．/和
【分析】由题意可得双曲线的右焦点是圆与轴的一个交点，由此列方程可求出的值，从而可求出双曲线的渐近线方程
【详解】将代入，解得或.
因为，所以，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
17．/
【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率
【详解】由A，B两点在直线上，设，
因为A，B两点关于原点对称，所以，
由A，B两点的横坐标之积为9得，解得，所以，
代入双曲线方程得，所以，
所以，所以离心率为.
故答案为：
18．/
【分析】根据题意结合双曲线的几何性质得到，再解方程即可.
【详解】因为双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，
所以，解得.
故答案为：
19．
【分析】设点，则，，且，分析可得，，，根据可求得双曲线的离心率的值.
【详解】设点，则，，且，可得，易知点、，
所以，，，
则，，
，
所以，，
所以，，则，可得.
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：.
20．
【分析】的周长不小于14，可得的最小值不小于9，设为双曲线的左焦点，则的最小值不小于9，分析可得三点共线时，取最小值，从而可求的范围，根据离心率公式即可求解.
【详解】由右焦点为，点A坐标为，可得.
因为的周长不小于14，所以的最小值不小于9.
设为双曲线的左焦点，可得，
故，
当三点共线时，取最小值,即，
所以,即.
因为,所以.
又,所以.
故答案为:.
21．12
【分析】根据双曲线方程可得：，再根据离心率求出，进而求解.
【详解】由双曲线可得：，
又因为双曲线的离心率，所以，
则，
故答案为：.
22．(1)
(2)或．
【分析】（1）根据题意，由条件结合双曲线的关系，列出方程，即可得到结果；
（2）根据题意，设，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理，由知，列出不等式即可得到结果.
【详解】（1）由题意得，①
，②
，③
由①②③可得，，
双曲线C的标准方程是．
（2）
由题意知直线l不过点A．
设，，线段PQ的中点为，连接AD
将与联立，消去y，
整理得，
由且，得，④
，，
，．
由知，，又，
，化简得，⑤
由④⑤，得或．由，得．
综上，实数m的取值范围是或．
23．(1)
(2)存在，定点
【分析】（1）由双曲线方程，明确焦点坐标，设出直线方程，联立直线方程与双曲线方程，利用一元二次方程有根问题，建立不等式组，可得答案；
（2）设动点坐标，利用斜率计算公式，结合题意，建立方程，结合（1）所得到的韦达定理，整理方程，可得答案.
【详解】（1）由题意得双曲线的右焦点为，
设直线1的方程为：，联立方程，
整理得，
因为直线与曲线有两个交点，设，，
所以，
解得或，
故斜率的取值范围为.
（2）由（1）可得，，又，，
则，，
假设在轴上存在点满足，
则，，，
即，
展开可得即.
因为斜率的取值范围为，
所以，即，
整理可得，
即，解得，
所以轴上存在点使得，且.
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