2022-2023学年广西南宁十四中八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广西南宁十四中八年级（下）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是( )
A. 赵爽弦图B. 费马螺线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
2.下列式子中，是最简二次根式的是( )
A. 0.2B. 13C. 4D. 6
3.微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小.某种电子元件的面积约为0.00000053平方毫米，0.00000053用科学记数法表示为( )
A. 5.3×10−6B. 5.3×10−7C. 5.3×10−8D. 53×10−8
4.内角和为540°的多边形是( )
A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三边形
5.下列运算正确的是( )
A. a+ b= a+bB. 2 a×3 a=6 a
C. x3⋅x4=x12D. (x2)5=x10
6.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A. CB=CD
B. AB=AD
C. ∠BCA=∠DCA
D. ∠B=∠D
7.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为( )
A. 1或−1B. 0C. −1D. 1
8.我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占60%、面试占40%计算加权平均数作为总成绩.应试者李老师的笔试成绩为90分，面试成绩为95分，则李老师的总成绩为( )
A. 90B. 91C. 92D. 93
9.如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为( )
A. 5
B. −1− 3
C. −1+ 5
D. −1− 5
10.若关于x的分式方程2x−5+a+15−x=1无解，则a的值为( )
A. 0B. 1C. 1或5D. 5
11.在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有( )
A. 6个
B. 7个
C. 8个
D. 9个
12.如图，已知直线l：y= 33x与x轴的夹角是30°，过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2……按此作法继续下去，则点B2022的坐标为( )
A. (42022× 3,42022)B. (22022× 3,22022)
C. (4044 3,4044)D. (2022 3,2022)
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.二次根式 2−x在实数范围内有意义，x的取值范围是 ．
14.分解因式：a2b−16b= ______ ．
15.若关于x的二次三项式x2+ax+25是完全平方式，则a的值为______ ．
16.如图，在△ABC中，∠A=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于点E，若DE=4，AB=10，则BD的长为______．
17.如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm.一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是______．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以BC为边在BC的右侧作等边△BCD，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP.当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：
(1) 27× 50÷ 6；
(2)( 15− 2)2−(7+4 3)(7−4 3).
20.(本小题6分)
先化简，再求值：(xx−2−1)÷x2+4x+4x2−4，其中x=−1．
21.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−1,4)，B(−1,2)，C(2,1)．
(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1的坐标；
(2)作出△ABC的高AD，保留作图痕迹，不写作法，并直接写出AD的长．
22.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠1=∠2，AB=EC．
(1)求证：△ABD≌△ECB；
(2)若∠1=20°，∠ADB=25°，求∠DEC的度数．
23.(本小题8分)
数学源于生活，寓于生活，用于生活.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用.为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．
(1)求每套《古今数学思想》的价格；
(2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？
24.(本小题10分)
一艘轮船从A港向南偏西51°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
(1)若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
(2)求C岛在A港的什么方向？
25.(本小题10分)
[知识生成]用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(x>y)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(x−y)2、(x+y)2、xy三者之间的等量关系式：______ ；
[知识迁移]如图2所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：______ ；
[成果运用]利用上面所得的结论解答：
(1)已知x>y，x+y=5，xy=94，求x−y的值；
(2)已知a+b=6，ab=7，则a3+b3= ______ ．
26.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)、B(0,n)分别为x轴和y轴上的点，且m，n满足 m+4+m2−2mn+n2=0，过点A作AE⊥BE于点E，延长AE至点C，使得AC=BD，连接OC、OD．
(1)B点的坐标为______ ；∠OAB的度数为______ ．
(2)如图1，若点C在第四象限，试判断OC与OD的数量关系与位置关系，并说明理由．
(3)如图2，若点C在第一象限，连接CD，CE平分∠OCD，AC与OD交于点F.试判断DE与CF的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
根据轴对称图形定义进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、 0.2= 15= 55，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 13= 33，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 4=2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 6是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
3.【答案】B
【解析】解：0.00000053用科学记数法表示为5.3×10−7．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】B
【解析】解：设这个多边形的边数是n，
则(n−2)⋅180°=540°，
解得n=5，
故选：B．
n边形的内角和公式为(n−2)⋅180°，由此列方程求n．
本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
5.【答案】D
【解析】解：A、 a与 b不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意；
B、原式=6a，故B不符合题意；
C、原式=x7，故C不符合题意；
D、原式=x10，故D符合题意；
故选：D．
根据二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算即可求出答案．
本题考查了二次根式的加减与乘法运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，掌握相应的运算法则是关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、∵CB=CD，AC=AC，∠1=∠2，由SSA不能判定△ABC≌△ADC，符合题意；
B、∵AB=AD，AC=AC，∠1=∠2，由SAS能判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
C、∵∠BCA=∠DCA，AC=AC，∠1=∠2，由ASA能判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
D、∵∠B=∠D，AC=AC，∠1=∠2，由AAS能判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
故选：A．
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
7.【答案】C
【解析】解：∵x2−1x−1=0，
∴x2−1=0x−1≠0，
解得，x=−1．
故选C．
根据分式的值为零的条件列出方程组，求出x的值即可．
解答此题的关键是熟知分式的值为零应同时具备两个条件：
(1)分子为0；
(2)分母不为0．
这两个条件缺一不可．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
李老师的总成绩是：90×60%+95×40%=54+38=92(分)，
故选：C．
根据题意和加权平均数的计算方法可以解答本题．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
9.【答案】D
【解析】解：如图，
∵BD= 22+12= 5
∴BA= 5，
∴a=−1− 5，
故选：D．
根据勾股定理求出BD的长度，根据弧的半径相等得到BA的长度，从而求出a．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出BD的长度是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：2x−5+a+15−x=1，
方程两边同时乘以x−5得，
2−(a+1)=x−5，
去括号得，2−a−1=x−5，
解得x=6−a，
∵原分式方程无解，
∴x=5，
∴m=1，
故选：B．
解方程得x=6−m，由方程无解，则x=5，即可求m的值．y
本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的条件是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：如图：
在格点上找一点P，使△ABP为等腰三角形，则点P有8个，
故选：C．
分情况讨论，即可找到点P．
本题考查等腰三角形的判定，关键是分情况讨论．
12.【答案】A
【解析】解：∵y= 33x与x轴的夹角是30°，
∴∠ABO=30°，
∵A(0,1)，AB⊥y轴，
当y=1时，代入上式得：x= 3，
即AB= 3，AO=1，
∴OB=2，B( 3,1)，
∵A1B⊥l，
∴OA1=4，
∴A1(0,4)，B1(4 3,4)，
同理可得B2(42× 3,42)，...，Bn(4n× 3,4n)，
∴B2022(42022× 3,42022)，
故选：A．
根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点B1，B2的坐标，通过相应规律得到B2022坐标即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质以及规律型：点的坐标，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到B1、B2、B3...的点的坐标是解决本题的关键．
13.【答案】x≤2
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，列不等式求解．
【解答】
解：依题意有2−x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
14.【答案】b(a+4)(a−4)
【解析】解：a2b−16b=b(a2−16)=b(a+4)(a−4)．
故答案为：b(a+4)(a−4)．
首先提取公因式b，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
15.【答案】±10
【解析】解：中间一项为加上或减去x的系数和5积的2倍，
故a=±10，
解得a=±10，
故答案为：±10．
这里首末两项是x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x的系数和5积的2倍，故−a=±10，求解即可．
本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．关键是注意积的2倍的符号，避免漏解．
16.【答案】6
【解析】解：∵∠A=90°，
∴DA⊥AC，
∵CD平分∠ACB，且DA⊥AC，DE⊥BC，
∴DA=DE=4，
∵AB=10，
∴BD=AB−DA=10−4=6，
∴BD的长为6，
故答案为：6．
由∠A=90°得DA⊥AC，因为角平分线上的点到角两边的距离相等，而DE⊥BC，CD平分∠ACB，所以DA=DE=4，可以求出BD的长．
此题考查角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，解题的关键是将90°角转化为垂直，得到与角平分线有关的垂线段．
17.【答案】130cm
【解析】解：如图所示，
∵它的每一级的高为20cm，宽40cm，长50cm，
∴AB2=502+[2×(20+40)]2=16900，则AB=130(cm)．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
本题考查的是平面展开−最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答此题的关键．
18.【答案】15°
【解析】解：连接AD交CE于Q，连接BQ，
∵△BCD是等边三角形，点E是BD的中点，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴BP=DP，
∴当点P与Q重合时，AP+BP的值最小，
∵AC=BC，BC=CD，
∴AC=CD，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+60°=150°，
∴∠CDA=15°，
由等边三角形的轴对称性可知：∠CBQ=∠CDQ=15°，
∴∠CBP=15°，
故答案为：15°．
连接AD交CE于Q，连接BQ，由等边三角形的轴对称性知CE是BD的垂直平分线，得BP=DP，则当点P与Q重合时，AP+BP的值最小，即可解决问题．
本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式= 27×50÷6
=15；
(2)原式=15−2 30+4−(49−48)
=15−2 30+4−1
=18−2 30．
【解析】(1)用被开方数乘除，再求算术平方根即可；
(2)先用完全平方公式和平方差公式，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
20.【答案】解：原式=x−x+2x−2×(x+2)(x−2)(x+2)2
=2x+2．
当x=−1时，原式=2．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简时解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，A1(−1,−4)；
(2)如图所示，线段AD即为所求；
AD=AB⋅CFCB=2×3 32+12=35 10．

【解析】(1)根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
(2)找出格点E连接AE交CB的延长线于点D，则线段AD即为所作，在三角形ABC中利用等面积法即可求出AD的长．
本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
22.【答案】1)证明：∵AD/​/BC，
∴∠ADB=∠CBE，
在△ABD和△ECB中，
∠1=∠2BD=BC∠ADB=∠CBE，
∴△ABD≌△ECB(ASA)；
(2)解：∵AD/​/CB，
∴∠DBC=∠ADB=25°，
∵∠1=∠2，∠DBC=25°，
∴∠DEC=∠DBC+∠2=25°+20°=45°．
【解析】(1)由“ASA”可证明△ABD≌△ECB；
(2)由三角形外角的性质可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，证明△ABD≌△ECB是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是2.5x元，
根据题意得：5000x−50002.5x=60，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴2.5x=2.5×50=125．
答：每套《古今数学思想》的价格是125元；
(2)设可以购进m套《古今数学思想》，则购进(70−m)套《什么是数学》，
根据题意得：0.8×125m+0.8×50(70−m)≤4000，
解得：m≤20，
∴m的最大值为20．
答：《古今数学思想》最多能买20套．
【解析】(1)设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是2.5x元，利用数量=总价÷单价，结合5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出每套《什么是数学》的价格，再将其代入2.5x中，即可求出每套《古今数学思想》的价格；
(2)设可以购进m套《古今数学思想》，则购进(70−m)套《什么是数学》，利用总价=单价×数量，结合总价不超过4000元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、数学常识以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)由题意AD=60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，得602+BD2=1002．
∴BD=80(km)．
∴CD=BC−BD=125−80=45(km)．
∴AC= CD2+AD2= 452+602=75(km)．
75÷25=3(小时)．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
(2)∵AB2+AC2=1002+752=15625，BC2=1252=15625，
∴AB2+AC2=BC2．
∴∠BAC=90°．
∴∠NAC=180°−90°−51°=39°．
∴C岛在A港的北偏西39°．
【解析】(1)Rt△ABD中，利用勾股定理求得BD的长度，则CD=BC−BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理来求AC的长度，则时间=路程÷速度；
(2)由勾股定理的逆定理推知∠BAC=90°.由方向角的定义作答．
本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单．
25.【答案】(a−b)2=(a+b)2−4ab. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. 90
【解析】解：知识生成：图1中阴影部分面积可以表示为：(a−b)2，还可以表示为：(a+b)2−4ab．
∴(a−b)2=(a+b)2−4ab．
知识迁移：图2中几何体的体积为：(a+b)3，还可以表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3．
成果应用：(1)∵(x−y)2=(x+y)2−4xy=25−9=6．
∴x−y=± 6．
∵x>y，
∴x−y= 6．
(2)∵a+b=6，ab=7．
∴a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2
=(a+b)3−3ab(a+b)
=216−3×7×6
=90．
故答案为：90．
知识生成：用两种方法表示同一个图形面积即可．
知识迁移：用两种方法表示同一个几何体体积即可．
成果应用：利用前面得到的关系变形计算．
本题考查完全平方公式的几何背景及其应用，用两种方法表示同一个图形面积或体积是求解本题的关键．
26.【答案】(0,−4) 45°
【解析】解：(1)∵ m+4+m2−2mn+n2=0，
∴ m+4+(m−n)2=0，
∴ m+4=0，m−n=0，
∴m=n=−4，
∴A(−4,0)，B(0,−4)，
∵OA=OB，
∴∠OAB=45°，
故答案为：(0,−4)，45°；
(2)OC⊥OD．
理由：设AC与y轴的交点为G，BD与x轴的交点为H，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=90°．
∴∠OBE+∠EGB=90°，
∵∠OGA+∠OAG=90°，∠OGA=∠OGE，
∴∠OAG=∠OBE，
∵AO=BO，BD=AC，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴OC=OD，∠AOC=∠BOD，
∴90°+∠BOC=90°+∠DOH，
∴∠BOC=∠DOH，
∵∠BOC+∠COH=90°，
∴∠DOC=90°，
∴OC⊥OD；
(3)DE=12CF．
理由：延长CO交BD于点M，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠BDO=∠ACO，
∵∠DOM=∠COD=90°，CO=DO，
∴△COF≌△DOM(ASA)，
∴CF=DM，∠MDO=∠FOC，
∵CE平分∠OCD，
∴∠DCA=∠OCA，
∵CE=CE，∠DEC=∠MEC=90°，
∴△DCE≌△MCE(ASA)，
∴DE=ME=12DM，
∴DE=12CF．
(1)将已知式子化为 m+4+(m−n)2=0，可得m=n=−4，由等腰直角三角形的性质即可得出答案；
(2)设AC与y轴的交点为G，BD与x轴的交点为H，证明△AOC≌△BOD(SAS)，可得OC=OD，∠AOC=∠BOD，再求∠DOC=90°，可得OC⊥OD；
(3)延长CO交BD于点M，证明△COF≌△DOM(ASA)，由全等三角形的性质得出CF=DM，∠MDO=∠FOC，再证明△DCE≌△MCE(ASA)，即可得DE=12CF．
本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定及性质，二次根式有意义的条件，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．