2023-2024学年度高一寒假A版第4讲：正弦定理(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：正弦定理及其常用变形
模块2：三角形多解问题
模块3：三角形面积求法
【重要考点讲解】
模块1：正弦定理其常用变形
【知识精讲】
1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等．
即在中的三个内角，，的对边分别用表示，则．
2．正弦定理的常见变形：
①；
②，，（为的外接圆半径）；
③，，（为的外接圆半径）；
④（为的外接圆半径）．
3．利用正弦定理可解下列两类型的三角形：
①已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和另一角；
②已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其它的边与角．
【典例精讲】
题型1：正弦定理的证明
例题1．已知的三个内角，，的对边分别为，证明：．
题型2：正弦定理的应用
例题2．（1）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则 ．
【解答】解：在中，，，，
则由正弦定理得，即，得．
故答案为：．
（2）在中，角，，所对应的边分别为，，．若，则 ．
【解答】解：因为，
所以由正弦定理，可得．
故答案为：．
（3）中，，，，则 ．
【解答】解：中，，，，
由正弦定理得，，
即，
解得，
又，且，
或．
故答案为：或．
（4）已知在中，，，，则 ．
【解答】解：由题意在中，有，，，运用正弦定理得，即，
解得，
又，，
所以，，
由正弦定理得，即，
所以解得．
故答案为：2．
（5）在中，，，，则 ．
【解答】解：根据题意，中，，，
则，即，变形可得，
又由，即，则有，
变形可得：，则，
则，，
则，
故答案为：．
题型3：正弦定理的变形
例题3．（1）在中，、、分别为、、的对边，若，则 ．
【解答】解：，，
故答案为：．
（2）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的值为 ．
【解答】解：利用正弦定理可得：，
利用等比性质，．
故答案为：2．
（3）在中，已知，则其外接圆的直径为 ．
【解答】解：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，
所以，
所以外接圆直径为4．
故答案为：4．
题型3：正弦定理的边角互化
例题4．（1）在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则 ．
【解答】解：由及正弦定理可得：，
因为，
所以由余弦定理得：，
又因为，
所以．
故答案为：．
（2）在中，，，分别对应边，，，若，且，，则外接圆的半径为 ．
【解答】解：，
可得，
又，，
，
设外接圆的半径为，
，解得．
故答案为：．
（3）在中，角，，的对边分别为，，，且，，则 ．
【解答】解：由正弦定理得，
即，
，
，
，
，，
，
，
由正弦定理得，
则，
．
故答案为：．
（4）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的值为 ．
【解答】解：由及正弦定理得：，
，
，
，，．
故答案为：．
【能力提升】
例题5．（1）在中，角，，的对边分别为，，，，则 ．
【解答】解：，
，
由正弦定理得，，
，
，
，
又，，
，
即，
，
，
又，，，
，即．
故答案为：．
（2）在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是 ．
【解答】解：因为，由正弦定理得，，
，化简得，
在中，则，则，
所以锐角中，，
．
故答案为：．
（3）的内角，，的对边分别为，，，若，则 ，的最大值是 ．
【解答】解：因为，
由正弦定理可得，，
则，
所以，
，
故，同号，即为锐角，
，
当且仅当即时取等号，
故答案为：，．
（4）设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角．则的取值范围是 ．
【解答】（1）证明：由及正弦定理得，（2分）
所以．
又因为为钝角，所以为锐角，
所以，（4分）
则，即．（5分）
解：（2）由（1）知，，所以．（7分）
于是
．（9分）
因为，所以，
因此．（11分）
由此可知的取值范围是，分
模块2：三角形多解问题
【知识精讲】
已知三角形的两边和其中一边的对角不能确定三角形的形状，解这类三角形问题将出现无解、一解和两解的三种情况：
【典例精讲】
题型4：三角形多解问题
例题6．（1）（多选）下列对三角形解的个数的判断中正确的是
A．，，，有一解B．，，，有两解
C．，，，无解D．，，，有一解
【解答】解：对于，，，由于，故三角形有一解，故正确；
对于：由于，，，由于，故三角形有两解，故正确；
对于：由于，，，利用勾股定理，故三角形有一解，故错误；
对于：由于，，，由于，故三角形有一解，故正确．
故选：．
（2）已知的内角，，所对的边分别为，则角的值为
A．B．C．或D．无解
【解答】解：，，，
由正弦定理有：，
，
，，，
或．
故选：．
（3）已知中，角，，的对边分别为，，，，，，则
A．B．C．D．或
【解答】解：因为，，，
所以由正弦定理可得，
所以或，
因为，
所以，
所以．
故选：．
【能力提升】
例题7．（1）的内角，，的对边分别为，，．已知，，若该三角形有两个解，则的取值范围是
A．，B．C．D．
【解答】解：该三角形有两个解，
，即，
．
故选：．
（2）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，．若此三角形有两解，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：要使三角形有两解，则需，且，
根据正弦定理可得，
即，
，
解得，
故选：．
模块3：三角形面积求法
【知识精讲】
在中，内角，，的对边分别为，，，其面积为．
①（为边上的高）；
②；
③（为的外接圆半径）；
④（为的外接圆半径）；
⑤；
⑥已知三角形的三边及内切圆半径，（为三角形的内切圆半径）．
【典例精讲】
题型5：三角形面积问题
例题8．（1）在中，，，，那么的面积等于 ．
【解答】解：由三角形面积公式得．
故答案为：．
（2）的内角、、的对边分别为、、，其外接圆半径，，则的面积为 ．
【解答】解：由题，由正弦定理得，
所以，
所以．
故答案为：．
（3）在中，，，的对边分别为，，，已知，，且，则的面积为 ．
【解答】解：，
由正弦定理，，
，
，
故．
故答案为：．
（4）在中，，，，则 ．
【解答】解：在中，，，，
所以，
由正弦定理，可得，
又，
则．
故答案为：．
（5）在中，角，，的对边分别是，，，，，，则的面积为 ．
【解答】解：因为，由正弦定理得，
三角形中，，所以，
由正弦定理得：，解得：，
，则为锐角，，
，
所以．
故答案为：．
【能力提升】
例题9．在锐角三角形 中，内角，，所对的边分别为，，，，，则面积的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，，可得：，
，，
，
，，可得：，，
，，可得：，，
可得：，．
故选：．
【高考真题体验】
1．（2023•乙卷）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：由得，
得，
即，
即，得，
在中，，
，即，
则．
故选：．
2．（2019•新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．已知，则 ．
【解答】解：，
由正弦定理可得：，
，，
可得：，可得：，
，
．
故答案为：．
3．（2018•浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则 ， ．
【解答】解：在中，角，，所对的边分别为，，．
，，，
由正弦定理得：，即，
解得．
由余弦定理得：
，
解得或（舍，
，．
故答案为：，3．
4．（2017•新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
，
，
，，
，
，
，
由正弦定理可得，
，
，，
，
，，
故选：．
第4讲：正弦定理课后巩固
模块1：正弦定理及其常用变形课后演练
1．在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则角的值为 ．
【解答】解：因为，，，
所以由正弦定理，可得，
解得，
又，可得为锐角，
则．
故答案为：．
2．设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 ．
【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
3．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则 ．
【解答】解：，，，
由正弦定理，可得，
解得．
故答案为：．
4．已知三角形中，若，则 ．
【解答】解：由余弦定理有：，
即，
即，
解得：或，（舍负）
．
故答案为：．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：由，又，则，，，
由，即，
所以．
故选：．
6．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，则
A．4B．6C．D．
【解答】解：设的外接圆半径为，
由正弦定理可得，
所以，，，
所以，可化为，
又，
所以，因为，，
所以，又，
所以，
又．
故选：．
7．在中，角，，的对边分别为，，，若且，，则
A．B．C．8D．4
【解答】解：在中，由可得，
即，
所以，因为，，
所以，且，
所以，又，可得，
由正弦定理可得．
故选：．
8．在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，则的值为
A．B．1C．3D．7
【解答】解：，
由正弦定理可得：，可得，
．
故选：．
9．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则 ．
【解答】解：由得，
由正弦定理可得，，，
因为，所以，
所以，且，所以．
故答案为：．
10．在中，角，，的对边分别为，，，且满足，则 ．
【解答】解：对于③，中，，，
，．
故答案为：7．
11．锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，且，则的取值范围为 ．
【解答】解：，即，，，
由正弦定理得：，即，
，
或，解得或（舍去），
又为锐角三角形，则，
由，解得．
，
，，，
，
故答案为：．
12．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
由正弦定理可得，即，
所以，因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
即．
故选：．
模块2：三角形多解问题课后演练
13．在中，，，，则的解的个数是 个．
【解答】解：由正弦定理知，，
所以，
因为，所以，即，
又，所以有两解．
故答案为：2．
14．设的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则
A．B．C．或D．或
【解答】解：，，，
则，，
，
为三角形的内角，
．
故选：．
15．在中，角、、所对的边分别为，，，，，若三角形有两解，则的取值范围是 ．
【解答】解：根据题意，由于，，
所以三角形有两解的条件为：，即，
所以的取值范围为．
故答案为：．
模块3：三角形面积求法课后演练
16．在中，，，，的面积为 ．
【解答】解：由正弦定理得，解得，
因为，
所以，
所以．
所以，
所以的面积为．
故答案为：．
17．在中，角，，的对边分别为，，，若，则的面积 ．
【解答】解：由正弦定理得，，
因为，，
所以，
所以．
故答案为：．
18．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则的面积为
A．B．5C．10D．
【解答】解：在中，因为，可得，
由正弦定理，可得，
又因为，可得，所以，
所以，
则．
故选：．
19．已知的内角，，的对边分别为，，，已知，则 ，若为锐角三角形，且，则面积的取值范围为 ．
【解答】解：因为，
所以，即，
由正弦定理可得，，
因为，
所以，
由可得，，
故，
所以，故；
由为锐角三角形，可得，，
解可得，，
因为，
由正弦定理可得，，
因为，
所以，
，．
故答案为：；，．
【思维拓展训练】
1．在中，若，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：由正弦定理可得
；
因为，
所以，所以，则，
则，即．
故选：．
2．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【解答】解：因为，
所以，
即有，
所以，
，
，
又因为，，均为锐角，
所以，，
所以，，
，
所以，
因为，所以，
又因为恒成立，
即恒成立，其中，，
因为，，所以，，，，
设，，，
则有在，上恒成立，
由二次函数的性质可得：
或，
解得．
故选：．
为锐角
为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
一解
两解
一解
一解