第2讲:平面向量的数量积及坐标运算
【重要考点目录】
模块1:平面向量的数量积
模块2:平面向量的投影
模块3:平面向量的基本定理及坐标运算
【重要考点讲解】
模块1:向量的数量积
【知识精讲】
1.两个向量的夹角
(1)定义:已知两个非零向量和,如图,作,,则叫做向量和的夹角.
记为
(2)向量夹角的范围: .当时,与同向;当时,与反向,当,与垂直,记为.
2.向量的数量积
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或者内积),记作,即.
3.向量数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则
(1);(2);
(3)与同向时,;与反向时,;特别地,或;
(4),当且仅当向量,共线,等号成立;
(5).
4.向量数量积运算律
(1)交换律:.
(2)数乘结合律:.
(3)分配律:.
(4)两个重要的结论:;.
【典例精讲】
题型1:对向量数量积的理解和基础计算
例题1.(1)设为平面向量,下面的命题中正确的是________.
①;②;③;④;⑤
⑥若,则或;⑦若,则;⑧;
⑨对非零向量,有.
(2)已知,则 .
(3)已知等边三角形的边长为2,设,,,则 .
(4)如图,,都是边长为1的等边三角形,,,三点共线,则 .
题型2:向量数量积的性质
例题2.(1)若,是夹角为的两个单位向量,与垂直,则
A. B. C. D.
(2)已知为非零向量,则“与的夹角为锐角”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(3)已知向量,若与的夹角为;若与的夹角为钝角,则取值范围为
A. B.
C.,, D.,,
题型3:向量的模的求法
例题3.(1)已知向量与的夹角为,则 .
(2)已知单位向量满足:,则 .
(3)已知向量,的夹角为,,,则的取值范围是 .
题型4:向量夹角的求法
例题4.(1)已知非零向量、满足,且,则与的夹角为
A. B. C. D.
(2)设,若单位向量,满足:且向量与的夹角为,则
A. B. C. D.1
(3)已知向量、满足,则与的夹角是
A. B. C. D.
(4)向量,且,则
A. B. C. D.
【能力提升】
例题5.(1)如图,在中,,,,是边一点,,则等于
A. B. C. D.
(2)如图,在平行四边形中,已知,,,,则的值是
A.44 B.22 C.24 D.72
(3)在中,,,,为的中点,点在斜边的中线上,则的取值范围为
A., B., C., D.,
模块2:向量的投影
【知识精讲】
如图(1),设,是非零向量,,,过的起点和终点,分别作所在的直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量的投影,叫做向量在向量上的投影向量.
如图(2),在平面内任取一点,作,.过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.
一般地,如果,都是非零向量,则称(为向量,向量的夹角)为向量在向量上的投影.
【典例精讲】
题型5:向量的投影及投影向量
例题6.(1)已知,则在方向上的投影为 .
(2)已知,,,则在方向上的投影是 .
(3)设是单位向量,且的夹角为,若,在方向上的投影为 .
(4)已知,是单位向量,若,则在上的投影向量为
A. B. C. D.
(5)非零向量满足,则在方向上的投影向量为
A. B. C. D.
【能力提升】
例题7.若空间向量满足,则在方向上投影数量的最大值是
A. B.0 C. D.
模块3:平面向量的基本定理及坐标运算
【知识精讲】
1.平面向量基本定理:如果,是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,,使.
若,不共线,我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解:把一个向量分解为两个相互垂直的向量,叫做把向量正交分解.
(2)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内,分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底,任作一个向量,由平面向量的基本定理可知,有且仅有一对实数,,使.叫做向量的坐标,记作, 叫做向量的坐标表示.
显然,,.
3.平面向量的坐标运算
已知,,则有:
①加减运算:;
②模的运算:;
③单位向量:的单位向量;
④向量平行:;
⑤向量相乘运算:;
⑥向量垂直:;
⑦向量夹角.
【典例精讲】
题型6:向量的坐标运算
例题8.(1)已知向量,满足,,则 .
(2)已知向量,,则 .
(3)已知向量,,,若,则 .
(4)已知,,,若,则 .
(5)已知向量,,,,则 .
【能力提升】
题型7:建系法处理向量问题
例题9.(1)在矩形中,,,点为的中点,点在,若,则 .
(2)如图,在边长为1的正方形中,为的中点,为以为圆心,为半径的圆弧(在正方形内,包括边界点)上的任意一点,则的取值范围是 ;若向量,则的最大值为 .
【高考真题体验】
1.(2020•天津)如图,在四边形中,,,,且,,则实数的值为 ,若,是线段上的动点,且,则的最小值为 .
2.(2018•天津)在如图的平面图形中,已知,,,,,则的值为
A. B. C. D.0
第2讲:平面向量的数量积及坐标运算课后巩固
模块1:平面向量的数量积课后演练
1.下列关于向量,,的运算,一定成立的有
A. B.
C. D.
2.(2022•甲卷)设向量,的夹角的余弦值为,且,,则 .
3.已知,,,若与的夹角为锐角,则实数的取值范围是 .
4.(2021•新高考Ⅱ)已知向量,,,则 .
5.(2023•新高考Ⅱ)已知向量,满足,,则 .
6.(2021•甲卷)若向量,满足,,,则 .
7.已知向量,满足,且,,则
A.5 B.3 C.2 D.1
8.(2022•乙卷)已知向量,满足,,,则
A. B. C.1 D.2
9.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为
A. B. C. D.
10.若向量、满足,则向量与向量的夹角为
A. B. C. D.
11.(2023•甲卷)向量,,且,则,
A. B. C. D.
12.(2023•乙卷)正方形的边长是2,是的中点,则
A. B.3 C. D.5
13.(2023•天津)在中,,,点为的中点,点为的中点,若设,,则可用,表示为 ;若,则的最大值为 .
模块2:平面向量的投影课后演练
14.已知向量的夹角为,且,则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
15.已知,若与的夹角为,则在上的投影向量为
A. B. C. D.
模块3:平面向量的基本定理及坐标运算课后演练
16.(2022•甲卷)已知向量,.若,则 .
17.(2021•乙卷)已知向量,,若,则 .
18.(2023•新高考Ⅰ)已知向量,.若,则
A. B. C. D.
19.(2023•甲卷)已知向量,,则,
A. B. C. D.
20.(2022•新高考Ⅱ)已知向量,,,若,,,则
A. B. C.5 D.6
21.(2023•石家庄一模)设向量,满足,,若,,则向量与的夹角不等于
A. B. C. D.
22.在中,,,.在边上,平分,为线段上一点,则的取值范围为
A. B. C. D.
23.如图放置的边长为1的正方形的顶点,分别在轴的正半轴、轴的非负半轴上滑动,则的取值范围为 .
【思维拓展训练】
1.已知平面向量、、满足,,,则的最大值为 .