2023-2024学年度高一寒假A版第1讲：平面向量的概念及其线性运算(讲义+课后巩固+课后测+答案）

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模块1：平面向量的概念
模块2：平面向量的线性运算
模块3：共线向量基本定理
【重要考点讲解】
模块1：平面向量的概念
【知识精讲】
1．向量的基本概念：
（1）向量的定义：既有大小又有方向的量．
（2）向量的模：向量的大小叫做向量的长度（或称模）记作或．
（3）零向量：长度为的向量叫做零向量．零向量的方向是任意的．
（4）单位向量：长度为个单位长度的向量叫做单位向量．
2．向量的表示方法：
（1）几何表示方法：具有方向的线段叫做有向线段，如图，以为起点，为终点的有向线段记作为，线段的长度也叫做有向线段的长度，记作．
（2）字母表示方法：向量可以用字母，，表示．
3．相等向量与共线向量：
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量与平行，记作．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有．
（2）共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
（3）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量与相等，记作．
【典例精讲】
题型1：对向量的基本概念的理解
例题1．判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“”，错误的打“” ，并说明理由．
（1）若与都是单位向量，则．
（2）方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量．
（3）直角坐标平面上的轴、轴都是向量．
（4）若与是平行向量，则．
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合．
（6）海拔、温度、角度都不是向量．
【解答】解：（1）不正确，因为这两个单位向量方向可能不同；
（2）正确，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量；
（3）不正确，因为轴和轴只有方向没有大小，所以都不是向量；
（4）不正确，因为两非零向量平行，只是方向相同或相反，长度可以不同，所以两平行向量不一定相等；
（5）正确，假设点与重合，则向量 与已知矛盾，所以假设不成立，即点与不重合；
（6）正确，因为海拔、温度、角度都是只有大小而没有方向的量，所以都不是向量．
例题2．（1）下列说法正确的是
A．长度相等的向量叫相等向量
B．零向量的长度为零
C．共线向量是在一条直线上的向量
D．平行向量就是向量所在的直线平行的向量
【解答】解：大小相等、方向相同的向量叫相等向量，错误；
零向量的长度为0，正确；
方向相同或相反的向量叫共线向量，它们不一定在同一条直线上，错误；
平行向量就是向量所在的直线平行的向量，也可以共线，错误；
故选：．
（2）下列说法正确的是
A．若，，则
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．两个单位向量的长度相等
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【解答】解：．当时，满足，而不一定平行，故错误；
．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
．由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
．若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；
故选：．
例题3．如图所示，是正六边形的中心，且．
（1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与．相等的向量．
【解答】解：（1）由正六边形可知，与的长度相等、方向相反的向量有，，，；
（2）与共线的向量有，，，，，，，，；
（3）与相等的向量有：，，，
与相等的向量有：，，，
与相等的向量有：，，．
模块2：平面向量的运算
【知识精讲】
1．向量的加法：
（1）三角形法则：，，和的和（或和向量）．
（2）平行四边形法则：，，不共线，以，为邻边作平行四边形，则．
（3）多边形法则：已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．
（4）向量加法的运算律：①交换律：；②结合律：．
2．向量的减法：
（1）相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作．．
（2）向量减法的三角形法则：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．．
（3）平面向量加减法求解的关键：对平面向量加法应抓住“首尾相连”，对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果；
3．向量的数乘运算：
（1）概念：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，
它的长度与方向规定如下：
①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
（2）向量数乘的运算律
设、是实数，则有
①（结合律）；②（第一分配率）；③（第二分配率）．
4．向量线性运算重要结论：
（1）向量形式的三角形中线定理：在中，若为的中点，则．
（2）向量形式的三角形重心公式：在中，，，分别为三角形三边上的中线，它们交于点 (如图所示)，易知为的重心，则有如下结论：
①；
②；
③．
（3）单位向量的表示：与同向的单位向量为，与反向的单位向量为．
【典例精讲】
题型2：对向量的线性运算
例题4．（1）根据图示填空：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
（2）如图，在平行四边形中，
A．B．C．D．
【解答】解：在平行四边形中，．
故选：．
（3）化简以下各式：
①；②；③；④．
其结果为的个数是
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①；
②；
③；
④．
故选：．
（4）设为单位向量，下列命题中，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．不正确命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；只有两个向量共线同向时，才正确；所以①不正确．
②若与平行，则；反向时，不正确；
③若与平行且，则．同向时正确，反向时不正确；
所以不正确命题的个数为3．
故选：．
题型3：用已知向量表示所求向量
例题5．（1）在中，为上一点，且，则
A．B．C．D．
【解答】解：，
，
故选：．
（2）如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则
A．B．C．D．
【解答】解：平行四边形中，是的中点，在线段上，且，
，，
，
故选：．
（3）如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点，则
A．B．C．D．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形中，，，分别为，的中点，为中点，
设，则，，，
，；
，，，，
设，
则，，，
即，
解得，；
．
故选：．
【能力提升】
例题6．（1）（多选）如图，在中，，，分别是边，，上的中线，它们交于点，则下列选项正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：由三角形重心性质得，
所以，正确；
因为，正确；
由重心性质得，，错误；
因为，
所以，
即，正确．
故选：．
（2）在平行四边形中，，若，则
A．B．C．D．3
【解答】解：如图所示平行四边形：由已知
则可得四边形是菱形且，
所以三角形是边长为3的等边三角形，
所以在三角形中，，
由余弦定理可得：，
故选：．
（3）已知点是边长为2的正方形所在平面内一点，若，则的最大值是
A．B．C．D．
【解答】解：由，
由，
则，
即点在以点为圆心，1为半径的圆周上运动，
由点与圆的有关性质得：
的最大值，
故选：．
模块3：共线向量基本定理
【知识精讲】
1．定理：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数，使．
2．定理的引申：若存在不全为0的一对实数，，使得，则与共线；若两个非零向量与不共线，且，则必有．
【典例精讲】
题型4：已知向量共线求参数
例题7．（1）设向量和不平行，若向量与反向共线，则实数 ．
【解答】解：向量和不平行，向量与反向共线，
存在，使得，
即，
，解得，，
故答案为：．
（2）已知，是不共线的向量，，，且，，三点共线，则实数 ．
【解答】解：向量，是不共线的向量，
，，
又，，三点共线，存在实数，使得，
即，
，解得或．
故答案为：或2．
（3）若，是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于 ．
【解答】解：；
，，三点共线；
与共线，且；
存在，使；
；
．
故答案为：0．
【能力提升】
例题8．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，满足，，若，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：，
，，三点共线，
，即，
又，联立解得，，
，
故选：．
例题9．设在的内部，为的中点，且，则的面积与的面积的比值为
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：为的中点，，
，
，
是的中点，
，
故选：．
例题10．已知中，，，，是边（含端点）上的动点．若，点为与的交点，请用，表示．
【解答】解：（1）已知中，，，，是边（含端点）上的动点，
，
，
又、、三点共线，
令，
，
，
而、、三点共线，
，
，
；
例题11．如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，与、分别相交于，两点．若，求．
【解答】解：（1），
，，三点共线，
，
，
，
由平面向量基本定理可得：，解得：，
；
【高考真题体验】
1．（2022•新高考Ⅰ）在中，点在边上，．记，，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图，
，
，即．
故选：．
2．（2018•新课标Ⅰ）在中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．C．D．
【解答】解：在中，为边上的中线，为的中点，
，
故选：．
第1讲：平面向量的概念及其运算课后巩固
模块1：平面向量的概念课后演练
1．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则．其中，正确的命题个数为
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：对于①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点一定相同，故正确；
对于②，当是零向量时，不能说与方向相同或相反，故不正确；
对于③，如果，则与可以不共线，所以不正确．
故选：．
2．下列命题中正确的
A．若，则B．若，则
C．若，则D．，，则
【解答】解：若，但两个向量的方向不确定，故不一定成立，故不正确；
若，则两个向量同向，故成立，故正确；
向量无法比较大小，故中不正确；
中若，不一定成立，故不正确；
故选：．
3．设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是
A．B．或
C．D．
【解答】解：两个向量模相等，但是方向也可能不同，所以选项不正确；
题中没有明确向量模的大小关系，所以选项不正确；
因为分别是的单位向量，所以．
故选：．
4．如图，点为正六边形的中心，下列说法正确的是
A．B．C．与共线D．
【解答】解：对选项，故错误；
对选项，故正确；
对选项与不共线，故错误；
对选项：向量不能比较大小，故错误．
故选：．
模块2：平面向量的运算课后演练
5． 化简后等于
A．B．C．D．
【解答】解：
．
故选：．
6．化简：
A．B．C．D．
【解答】解：．
故选：．
7．如图，在中，点在边上，且．则
A．B．C．D．
【解答】解：，，
又，
，
故选：．
8．在直角梯形中，，，为边上的一点，，为中点，则
A．B．C．D．
【解答】解：如图所示
，，，，，
．
故选：．
9．如图，在中，，，若，则的值为
A．B．3C．2D．
【解答】解：，
，
；
又，
，；
．
故选：．
模块3：共线向量基本定理课后演练
10．已知，是平面内两个不共线向量，，，，，三点共线，则
A．B．C．D．6
【解答】解：，，三点共线，
与共线，
存在，使，
，且不共线，
，解得．
故选：．
11．在四边形中，，，，则四边形的形状是
A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对
【解答】解：由已知．
，同理可判与不平行，
四边形是梯形．
故选：．
12．在四边形中，若，且，则
A．在四边形是矩形B．在四边形是菱形
C．在四边形是正方形D．在四边形是平行四边形
【解答】解：由可得，，即，
故四边形是平行四边形，
又，，
整理得，即．
所以，四边形为矩形．
故选：．
13．设点为内一点．且，则
A．B．C．D．
【解答】解：，，设为边的中点，则：
，
如图，，，三点共线，，
．
故选：．
14．（多选）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交射线，于不同的两点，．设，则下列选项正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：由图象可知，，
因为，且，，三点共线，
所以，即，选项错误；
，当且仅当时等号成立，正确；
，当且仅当时等号成立，正确；
，当且仅当，即时等号成立，错误．
故选：．
15．在平行四边形中，设边、、的中点分别为、、，设与、的交点分别为、，设，，试用、表示、．
【解答】解：如图所示，因为、、的中点分别为、、，
所以．
因为、、三点共线，
所以存在实数，使；
又、、三点共线，
所以存在实数，使．
因为，所以
因为、不共线，
解得，
即．
【思维拓展训练】
1．如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，
（1）延长交于点（图，求的值；
（2）过点的直线与边，分别交于点，（图，设，．
（ⅰ）求证：为定值；
（ⅱ）设的面积为，的面积为的面积为，求的最小值．
【解答】解：（1）依题意，因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
设，则有，
因为，，三点共线，所以，解得，
即，所以，所以；
（2）证明：根据题意，
同理可得：，
由（1）可知，，
所以，
因为，，三点共线，所以，
化简得，
即为定值，且定值为3；
根据题意，，
，
所以，
由可知，则，
所以，
易知，当时，有最小值，此时．