2023-2024学年度高一寒假第14讲：空间向量与立体几何（二）(讲义+课后巩固+课后测+答案）

这是一份2023-2024学年度高一寒假第14讲：空间向量与立体几何（二）(讲义+课后巩固+课后测+答案），文件包含第14讲空间向量与立体几何二-有答案docx、第14讲空间向量与立体几何二docx、第14讲空间向量与立体几何二课后测-有答案docx、第14讲空间向量与立体几何二课后测docx等4份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

模块1：利用空间向量研究异面直线所成的角
模块2：利用空间向量研究直线与平面所成的角
模块3：利用空间向量研究平面与平面所成的角
模块4：探究性问题
【重要考点讲解】
模块1：利用空间向量研究异面直线所成的角
【知识精讲】
如图所示，，所成的角为，其方向向量为，，两向量的夹角，则或，
则．
【典例精讲】
例题1．（1）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，为的中点，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，0，，，2，，，0，，，1，，，2，，
，1，，，2，，
则异面直线与所成角的余弦值为：
．
故选：．
（2）如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【解答】解：由，，，
得，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，0，，，2，，，1，，
所以，，
所以，
即直线与所成角的余弦值为．
故选：．
（3）如图，在正方体中，为线段上一点，则直线与所成的角的最大值、最小值分别为
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：设正方体的棱长为1，与所成角为，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，0，，，1，，，1，，，0，，，0，，
，，，，0，，，0，，
设，，，，
，，，
，，
，，，
，，，
直线与所成的角的最大值、最小值分别为和．
故选：．
模块2：利用空间向量研究直线与平面所成的角
【知识精讲】
如图所示，直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为，两向量的夹角，则有或．
则．
【典例精讲】
例题2．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，，分别是，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：如图，设为的中点，连接，．
因为，分别为，的中点，所以．
在正方形中，，所以，．
所以四边形为平行四边形，．
因为平面，平面，所以平面．
（2）以为原点，以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，则，0，，，2，，，0，，，0，，，1，，
则．
设平面的法向量为，
则即令，则．
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
例题3．如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，是的中点，四边形为正方形．
（1）设平面平面；证明：；
（2）设为的中点，是线段上的一个点，当与平面所成角最大时，求的长．
【解答】解：（1）证明：四边形是正方形，，
平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
；
（2）圆锥的母线长为，，，，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
设，，，，
，，，，，，
，0，为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，，
则，
当时，即时，最大，此时最大，，
．
模块3：利用空间向量研究平面与平面所成的角
【知识精讲】
如图所示，二面角，平面的法向量为，平面的法向量，两向量的夹角，则二面角的大小为，则或．
则或．
【典例精讲】
例题4．如图1，在直角梯形中，，，且，取的中点，连接，并将沿着翻折，翻折后，点，分别是线段，的中点，如图2．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：如图，连接，
根据题意易知，，又，
，，
又，且，
平面，又平面，
，又，且，
平面，又平面，
，又，
，又为的中点，且，
，又，
平面；
（2）由（1）可知，，两两相互垂直，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建系如图，
则根据题意可知，0，，，0，，，1，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，
又易知平面的法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为：
，．
例题5．如图，直三棱柱的体积为4，△的面积为．
（1）求到平面的距离；
（2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【解答】解：（1）由直三棱柱的体积为4，可得，
设到平面的距离为，由，
，，解得．
（2）连接交于点，，四边形为正方形，
，又平面平面，平面平面，
平面，，
由直三棱柱知平面，，又，
平面，，
以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，，又，解得，
则，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
则，2，，，1，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，0，，
设平面的一个法向量为，，，
，令，则，，
平面的一个法向量为，1，，
，，
二面角的正弦值为．
模块4：探究性问题
【典例精讲】
例题6．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：是等边三角形，是的中点，
，
又平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面；
（2）由（1）得平面，连接，建立以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：
底面是边长为4的正方形，则，0，，，0，，，4，，，4，，，0，，，4，，，0，，，2，，，0，，
则，2，，，2，，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，，
平面的法向量为，0，，
又平面的法向量为，0，，
，，
又平面与平面的夹角为锐角，
平面与平面的夹角为；
（3）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，设，
由（2）得平面的法向量为，0，，则直线与平面的法向量所成的夹角为，
，0，，，
，0，，则，0，，
，，，
，，即，
△，
关于的方程无解，
故线段上不存在点．
例题7．如图，在四棱锥中，，，，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．
【解答】证明：（1）因为，，所以为三角形，
所以，，
因为，，
所以，则，
因为，，
在三角形中，由余弦定理有：，即，
所以，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
解：（2）取的中点，连接，
因为，，所以，且，
由（1）知平面平面，平面平面，平面，所以平面，
过作的平行线，则，，两两互相垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，2，，，1，，，1，，
所以，，0，，，1，，
设，，，因为，所以，，，
解得，，，即，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，得，
设平面的法向量为，
则，令，得，，得，
因为平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，
解得，因为，所以．
【高考真题体验】
1．（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接，
，是的中点，
，且，
又，
，，
则，
则，
，
平面；
（2）建立以坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：
，，，，0，，，2，，，0，，
，2，，
设，，，
则，，，，，，，
则平面的法向量为，0，，
设平面的法向量为，，，
则，，，
则，
令，则，，
即，，，
二面角为，
，
即，
解得或（舍，
则平面的法向量，，，
，2，，
与平面所成角的正弦值，．
第14讲：空间向量与立体几何（二）课后巩固
模块1：利用空间向量研究异面直线所成的角课后演练
1．如图，在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为 ．
【解答】解：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图示：
设，
则，0，，，0，，，2，，
，0，，，2，，
可得，
故，，，
所以，，
所以直线与直线夹角的余弦值为．
故答案为：．
2．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点．
（1）求二面角的平面角的余弦值；
（2）设是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度．
【解答】解：（1）过点作平面，
因为面面，且面面，平面，
则交的延长线于点，连接，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
在中，，，，
将绕边翻转至，是的中点，
则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
故，
又平面的一个法向量为，
所以，
由图可知，二面角为锐二面角，
故二面角的平面角的余弦值为；
（2）因为是线段上的动点，
设，
则，0，，又，1，，
所以，
故，
令，，，
则，
令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
故当时，取最大值，此时于所成角取得最小值，
此时．
模块2：利用空间向量研究直线与平面所成的角课后演练
3．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点，分别为，的中点，且．
（1）求的长；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】解：（1）因为平面，，平面，
所以，，
又底面是矩形，所以，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，4，，，4，，，，0，，
所以，，，
又，所以，
因为，解得，即；
（2）由（1）知，，
设平面的一个法向量，所以，
令，解得，，
所以平面的一个法向量，
又，设直线与平面所成角的大小为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
4．如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的余弦值．
【解答】（1）证明：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，在平面内作，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，，，
，，，，，，，，，
，即，
，即，
又，
平面；
（2）解：由（1）可知，，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，，，
则，令，得，1，，
设直线与平面所成的角为，
则，，
．
故直线与平面所成的角的余弦值为．
模块3：利用空间向量研究平面与平面所成的角课后演练
5．如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【解答】解：（1）证明：平面，平面，
，
，，，
，
，
又，平面，平面，
平面，
又平面，
；
（2）由（1）可建立以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，则，0，，，0，，，0，，，4，，，4，，，0，，
设平面的一个法向量为，，，且，0，，，，，
则，即，取，则，，
平面的一个法向量为，1，，
设平面的一个法向量为，，，且，4，，，0，，
则，即，取，则，，
平面的一个法向量为，，，
设平面与平面夹角为，由图形可得为锐角，
则，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
6．四棱锥中，，平面，，为的中点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，即，
又，，平面，
所以平面．
（2）解：由（1）得，
因为为的中点，且，所以，
以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，2，，，1，，，0，，
所以，，，
设平面的法向量为，
由，得，，
令，则，，所以，
由（1）知，平面的一个法向量为，
所以，
所以二面角的正弦值为．
模块4：探究性问题课后演练
7．如图，在四棱锥中，是正三角形，，，，平面平面，是棱上动点．
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：因为，，所以，因为，所以，
因为，，所以，
所以，，，
取中点，连结，因为是正三角形，所以，
又面面，面面，面，
所以平面，又平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）取中点，连结，则，，
以，，为正交基底建立如图所示坐标系，
，
设，，
则，
又，设平面的一个法向量为，
则，即，若，
取，
由直线与平面所成角为，得，
则解得或，
当或时，直线与平面所成角为．
8．如图，圆柱的轴截面为正方形，点在底面圆周上，且，为上的一点，且，为线段上一动点（不与，重合）．
（1）若，设平面面，求证：；
（2）当平面与平面夹角为，试确定点的位置．
【解答】证明：（1）由题知面，面，则，
由为底面圆的直径，则，
由，，面，
面，
又面，，
又，，，面，
面，
又面，故．
由，在中，由射影定理：，
故，面，面，
面，又面面，面，
．
解：（2）由（1）知，以为原点，为，轴正方向，过的母线为轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，
则，，，
设，，
设面的法向量为，则，
令，则，
又平面的一个法向量
设平面与平面的夹角为，则，
解得或，
其中时，重合，不合题意，
故当平面与平面夹角为时，此时为中点．
【思维拓展训练】
1．如图，以矩形的边为直径作半圆，点为半圆上一点，满足，．将半圆沿折起，使得半圆面和平面垂直．
（1）求证：平面平面．
（2）若是半圆弧上的一点（不包含、两个端点），且异面直线与所成角的余弦值为．是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：为矩形，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，而平面，，
点在半圆上，为直径，，
又，，平面，平面，
而平面，平面平面．
（2）解：为矩形，，即为异面直线与所成角，即，
由（1）易得，设，则，
在中，，
得，即，，
以点为原点，，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系如图，
设，则，0，，，4，，，4，，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
则，，
令，则，，
，结合，
解得或（舍去），，，为等边三角形，，
存在点，使得二面角的余弦值为，此时．