2024年高考数学复习 第一轮复习讲义（新高考地区专用） 重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）（原卷版+解析）

重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法） 【目录】 考向一：函数零点个数的判断 考法1：方程法判断零点个数 考法2：数形结合法判段函数零点个数 考法3：转化法判断函数零点个数 考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数 考向二：利用零点求参数的值（范围） 考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围 考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数 二、命题规律与备考策略 一、函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 三、题型方法 考向一：函数零点个数的判断 考法1：方程法判断零点个数 一、单选题 1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数，，则在区间上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．若与图象至多有2个公共点 B．若与图象至少有2个公共点 C．若与图象至多有2个公共点 D．若与图象至少有2个公共点 三、填空题 4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3个条件的函数=__． ①是上偶函数；②在上恰有三个零点；③在上单调递增． 5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 四、解答题 6．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的函数，，，，求在区间上至少有几个根？ 7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明在上有且仅有两个零点. 8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： (1)请填写上表的空格处，并画出函数图像 (2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式． (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值． 考法2：数形结合法判段函数零点个数 一、单选题 1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数，则的零点个数为（    ） A．2023 B．2025 C．2027 D．2029 2．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（    ）． A．1348 B．1347 C．1346 D．1345 3．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）函数在上零点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023·山东日照·统考二模）对于给定的正整数﹐定义在区间上的函数满足：当时，且对任意的，都有．若与n有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于x的方程的实数解的个数为（    ） A．n B． C． D． 二、多选题 5．（2023·山西晋中·统考三模）已知圆，则（    ） A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点 B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等 C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分 D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切 三、填空题 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______． 7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________. 考法3：转化法判断函数零点个数 一、单选题 1．（2022秋·全国·高一专题练习）方程解的情况是（    ） A．有且只有一个根 B．不仅有根还有其他根 C．有根和另一个负根 D．有根和另一个正根 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（    ）． ①当时，函数没有零点； ②当时，函数有两不同零点，它们互为倒数； ③当时，函数有两个不同零点； ④当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则函数的零点个数不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2022·全国·高三专题练习）对于任意正实数，关于的方程的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 三、填空题 7．（2023·四川绵阳·统考二模）若函数，，则函数的零点个数为______． 四、解答题 8．（2022·全国·高三专题练习）证明：函数的图象与的图象有且仅有一个公共点． 9．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，当时， （1）求，的值； （2）求的解析式并画出函数的简图； （3）讨论方程的根的情况. 考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在上的奇函数满足在，则在上的零点至少有（    ）个 A．6 B．7 C．12 D．13 2．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1），（2），（3），（4），从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________. 三、解答题 4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值点的个数； (2)证明：函数在区间内有且只有一个零点. 考向二：利用零点求参数的值（范围） 考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川自贡·统考三模）设函数有唯一的零点，则实数m为（    ） A．2 B． C．3 D． 5．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是函数和的零点，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（2023·四川凉山·三模）若函数有两个零点，则实数a的取值范围为______． 8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________. 9．（2023·全国·校联考二模）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是______. 10．（2023·天津河西·统考一模）已知，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题 11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数． (1)求实数k的值． (2)当时，函数存在零点，求实数a的取值范围． (3)函数（且），函数有2个零点，求实数m的取值范围． 12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，． (1)求的单调性； (2)若函数在上有唯一零点，求实数a的取值范围． 考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数 一、单选题 1．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）函数 ，若，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数且有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于______. 4．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知，函数，若存在不相等的三个实数，使得，则实数的取值范围是________. 三、解答题 5．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间. 6．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知函数． (1)求的最值； (2)当时，函数的图像与的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围．x0010-10000 重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法） 【目录】 考向一：函数零点个数的判断 考法1：方程法判断零点个数 考法2：数形结合法判段函数零点个数 考法3：转化法判断函数零点个数 考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数 考向二：利用零点求参数的值（范围） 考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围 考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数 二、命题规律与备考策略 一、函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法 已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 三、题型方法 考向一：函数零点个数的判断 考法1：方程法判断零点个数 一、单选题 1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数，，则在区间上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角恒等变换的化简可得，令2x-=kπ求得x=+，k∈Z，列举k的值即可求解. 【详解】 ， 当2x-=kπ，k∈Z时，x=+，k∈Z， 所以当k=0时，x=，当k=1时，x=， 所以f(x)在区间(0,π)上有2个零点. 故选：B. 2．（2023·江西·统考模拟预测）函数在区间内的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数. 【详解】由， 得，又，所以， 所以或 解得或. 所以函数在的零点个数是2. 故选：A. 二、多选题 3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数，下列说法正确的有（    ） A．若与图象至多有2个公共点 B．若与图象至少有2个公共点 C．若与图象至多有2个公共点 D．若与图象至少有2个公共点 【答案】ACD 【分析】对于选项AC，联立方程利用判别式判断该选项正确；对于选项B, 假设，可以判断该选项错误；对于选项D，说明有两个解即可判断该选项真假. 【详解】对于选项A. ，所以与图象至多有2个公共点，所以该选项正确； 对于选项B, 假设，则令， 所以或，所以.所以此时与图象只有1个公共点，所以该选项错误； 对于选项C，，令，所以，此时与图象至多有2个公共点，所以该选项正确； 对于选项D, ,令，假设 或，所以和是的两个解，所以与图象至少有2个公共点，所以该选项正确. 故选：ACD 三、填空题 4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3个条件的函数=__． ①是上偶函数；②在上恰有三个零点；③在上单调递增． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据条件①②可令函数为两个偶函数的积，其中一个有唯一零点0，另两个零点互为相反数，再验证单调性作答. 【详解】因为是上偶函数，且在上恰有三个零点，于是的一个零点为0，另两个零点互为相反数且不为0， 不妨令，显然是上偶函数，且有3个零点分别为， 求导得，当时，恒成立，因此函数在上单调递增， 所以函数符合题意. 故答案为： 5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 四、解答题 6．（2023·全国·高三专题练习）已知是定义在R上的函数，，，，求在区间上至少有几个根？ 【答案】401 【分析】依题意可求得，再求得在区间上，方程至少两个根，结合周期函数性质求解即可． 【详解】由，则， 又，则， 所以， 则， 又， 所以在区间上，方程至少两个根， 又是周期为10的函数，则在每个周期上至少有两个根， 所以方程在区间上至少有1+个根． 7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明在上有且仅有两个零点. 【分析】（1）求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）由可得出，由结合判别式可判断出方程的根的个数，由此可证得结论成立. （1） 解：函数的定义域为，. 当时，则，由可得，由可得， 此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，由可得或. ①当时，，由可得或，由可得， 此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为； ②当时，，由可得，由可得或， 此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为. （2） 解：由可得，因为，则， 即关于的方程有两个不等的实根， 所以，当时，在上有且仅有两个零点. 【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面： （1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论； （2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况； （3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较. 8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： (1)请填写上表的空格处，并画出函数图像 (2)写出函数的解析式，将函数的图像向右平移个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的解析式． (3)在（2）的条件下，若在上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)； (3)，在共有个不同的零点 【分析】（1）根据表中数据可得关于的方程组，解出的值后再计算补全表中数据，再由表中数据可得，从而可得函数的解析式和图象. （2）由（1）可得函数的解析式，伸缩和平移变换求出的解析式. （3）令，设方程的根为，分①；②；③三种情况讨论在及上零点个数，再根据周期性得到的零点个数，结合题设条件可得的值及相应的零点个数. 【详解】（1）根据表中的数据可得 ，解得， 故，所以， 又，故. 所以完善表如下： . 函数图像如图： （2）由（1）知：，将函数的图像向右平移个单位，所得图像的解析式为：， 再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像， 故. （3），的周期为， 当时，令，考虑方程的根情况， 因为，故在必有两个不同的实数根， 因为在有奇数个零点，故或. 若，则方程、在共有4个不同的实数根， 在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去. 若，则在共有2个不同的实数根，在有0个实数根或2个实数根， 故在有个根或， 与有奇数个零点矛盾，舍去. 同理也不成立，所以或， 若，则，此时的根为， 方程、在共有3个不同的实数根，而在上，有两个不同的根，无解， 所以在有个根， 与有奇数个零点矛盾，舍去； 若，则，方程的根， 方程、在共有3个不同的实数根，而在上，无解，有一个根， 所以故在有个根，符合题意. 综上，，在共有个不同的零点. 考法2：数形结合法判段函数零点个数 一、单选题 1．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数，则的零点个数为（    ） A．2023 B．2025 C．2027 D．2029 【答案】C 【分析】因为 ,得出,进而依此类推，可得，易知单调性，数形结合函数的图像与这一系列直线 确定交点个数即可. 【详解】因为 ,所以当时, , 得或, 得或, 由得或， 由得，进而可得, 故由可得，或或. 依此类推，可得，其中 k =0,1.2....,2023. 易知,,可得在上单调递增，在上单调递增， 可得在上单调递减，画出函数的图像，如图所示． 结合图像易知，函数的图像与这一系列直线 ,,共有2027个交点. 故选 :C 2．（2023·全国·高三专题练习）设函数在上满足，，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（    ）． A．1348 B．1347 C．1346 D．1345 【答案】B 【分析】根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得在上的零点个数，再分区间和讨论即可. 【详解】在上满足，， 关于直线和直线对称， ，， ， ，所以的周期为6， 又在闭区间上只有，则，， 且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值， 则在闭区间上只有， 同理可推得在也只有两个零点， 因为，则在共有个零点， 因为，且在的图象与的图象相同， 则在上有个零点， 则方程在闭区间上的根的个数为1347个. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 3．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）函数在上零点的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】将问题化为函数在上与的交点个数，数形结合判断交点个数即可. 【详解】由题设，令，则， 对于函数在上与的交点个数，即为原函数零点个数， 如下图示： 由上图，共有5个交点，即原函数共有5个零点. 故选：C 4．（2023·山东日照·统考二模）对于给定的正整数﹐定义在区间上的函数满足：当时，且对任意的，都有．若与n有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于x的方程的实数解的个数为（    ） A．n B． C． D． 【答案】B 【分析】数形结合，画出在区间上图象，根据与的图象交点分析即可. 【详解】由题意，画出在之间的图象， 又对任意的，都有， 可理解为区间的图象由区间的图象往右平移一个单位， 再往上平移一个单位所得，即可画出在上的图象. 故若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解， 则与在区间上的图象相切， 且易得的图象在与区间，，，上的公切线之间. 故与在区间，，上均有2个交点， 故关于的方程的实数解的个数为个. 故选：B 二、多选题 5．（2023·山西晋中·统考三模）已知圆，则（    ） A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点 B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等 C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分 D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切 【答案】ACD 【分析】对于A，等价于判断方程的解的个数，等价于判断与交点个数，结合图象判断即可， 对于B，由弦长公式可得等价于判断方程的解的个数，利用导数研究函数性质判断即可， 对于C，等价于判断方程的解，利用导数研究函数的性质即可判断， 对于D，等价于判断或的解的个数，解方程即可判断. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 对于A：设圆过原点，则， 方程的解的个数等价于函数的图象与曲线的交点个数， 作函数与圆的图象可得： 所以函数的图象与曲线的交点个数为， 所以存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点，A正确； 对于B：圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等等价于， 即，即， 方程的解的个数函数和的零点的个数和相等， 因为，又，， 所以函数在区间上存在一个零点，即函数存在一个零点， 因为， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，故函数没有零点， 所以方程的解的个数为， 即存在一个a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等，B错误； 对于C：圆C的面积被直线平分等价于过圆心， 所以，令， 求导可得，令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以函数只有一个零点， 即方程只有一解， 所以存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分，C正确； 对于D：圆C与x轴或y轴相切等价于或， 则或a=0，共3解， 所以存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切，D正确； 故选：ACD. 【点睛】知识点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，方程与函数的综合问题，利用导数研究函数的零点等知识，考查数形结合，逻辑推理的能力. 三、填空题 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______． 【答案】4 【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，变形给定方程，转化成求两个函数图象的公共点个数作答 【详解】依题意，函数是以4为周期的偶函数，当时，， 则当时，， 方程， 因此原方程的实根就是函数与函数的图象的交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数与的图象，如图， 观察图象知，当时，两函数图象只有一个交点， 当时，由得，即当时，两函数图象只有一个公共点， 于是当时，函数与的图象有2个公共点， 又函数与均为偶函数，则当时，两个函数图象有2个公共点， 所以函数与的图象有4个公共点，即原方程有4个根． 故答案为：4 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 7．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）函数的零点个数为__________. 【答案】1 【分析】在同一坐标系中作出与的图象，由图即可得出答案. 【详解】解：注意到，在同一坐标系中作出与的图象， 易知零点个数为1. 故答案为：1. 考法3：转化法判断函数零点个数 一、单选题 1．（2022秋·全国·高一专题练习）方程解的情况是（    ） A．有且只有一个根 B．不仅有根还有其他根 C．有根和另一个负根 D．有根和另一个正根 【答案】A 【分析】化简有，再根据函数的单调性与特值求解即可 【详解】方程等价为 设，则函数在上为减函数， 方程有且只有一个根 故选：A 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（    ）． ①当时，函数没有零点； ②当时，函数有两不同零点，它们互为倒数； ③当时，函数有两个不同零点； ④当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1． A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】画出函数图象即可判断①，令解方程即可判断③，将零点问题转化成函数图象交点的问题，利用数形结合即可判断②和④. 【详解】当时，，函数图象如下图所示， 由此可知该函数只有一个零点，故①不正确； 当时，则函数的零点为和， ∵函数有两个不同零点， ∴由函数的图象可知，解得， 当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点， 则函数有两不同零点时的取值范围是， 设对应的两个零点为，，即或，解得，， 则，所以它们互为倒数，故②正确； 当时，函数解析式为， 令，解得，令，解得或，由此可知函数有三个零点，故③不正确； 当时，则函数的零点为和， ∵函数有四个不同零点， ∴由函数的图象可知，解得， 当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点； 设对应的两个零点为，，，， 即或，解得，， 当时，整理得，当时，， 则该方程存在两个不等的实数根和，由韦达定理得， 所以，则故④正确； 故选：. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由的性质求出对应区间的值域及单调性，令并将问题转化为与交点横坐标对应值的个数，结合数形结合法求零点个数即可. 【详解】令， 当时，且递增，此时， 当时，且递减，此时， 当时，且递增，此时， 当时，且递增，此时， 所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示： 由图知：与有两个交点，横坐标、： 当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解. 综上，的零点共有4个. 故选：B 4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数则函数的零点个数不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】作出函数的图象，换元，问题转化为解得个数，分类讨论，结合二次方程根个数的判断及数形结合求解. 【详解】函数的图象如图， 令，则函数的零点即方程组的解． 设，则． 若，则，有两个零点，且由 知，此时方程组有2个解； 若，则，有一个零点，此时方程组有1个解； 若，则，没有零点，此时方程组无解； 若，则，有一个零点，此时方程组有2个解； 若，则，有两个零点，且由 知，此时方程组有4个解， 故选：C 5．（2022·全国·高三专题练习）对于任意正实数，关于的方程的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将等式左侧和右侧看做函数的形式，可得函数的单调性和对称轴，并求得左右两侧函数的最值；通过单调性和最值的大小关系可得解的个数有个，个或个的情况，由此可得结果. 【详解】函数是开口向上且关于直线对称的二次函数，； 函数关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，； 若，则方程无解； 若，则方程有唯一解； 若，则方程有两解，且两解关于对称； 综上所述：方程的解集不可能是. 故选：C. 二、多选题 6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】BC 【分析】函数在定义域的零点个数可转化成的根的个数，根据偶函数的图像关于轴对称，只需考虑时的根的个数，从而可得结论. 【详解】当时， 当时，令，解得或2共有两个解； 当时，令，即，当时，方程无解； 当时，，符合题意，方程有1解； 当时，，不符合题意，方程无解； 所以当时，有2个或3个根，而函数是定义在R上的偶函数，所以函数在定义域内的零点个数可能是4或6. 故选：BC 三、填空题 7．（2023·四川绵阳·统考二模）若函数，，则函数的零点个数为______． 【答案】5 【分析】令，则有,即有，再分，和三种情况，利用图象求解的零点个数即可. 【详解】解：令，则有， 所以， 当时，则有， 即, 在同一坐标系中作出与的图象，如图所示： 由图可得此时两函数的图象有两个交点， 即当时，有2个零点； 当时，则有， 即， 在同一坐标系中作出与的图象，如图所示： 由图可得此时两函数的图象有两个交点， 即当时，有2个零点； 当时，， 此时，有1个零点为， 综上所述，共有5个零点. 故答案为：5 四、解答题 8．（2022·全国·高三专题练习）证明：函数的图象与的图象有且仅有一个公共点． 【答案】证明见解析 【分析】把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程有且仅有一个实根.易观察出为其一根，再假设是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 【详解】要证明两函数和的图象有且仅有一个公共点， 只需证明方程有且仅有一个实根， 观察上述方程，显然有，则两函数的图象必有交点． 设是函数图象的另一个公共点． 则，，， ∴，即， 令，易知函数为指数型函数． 显然在内是减函数，且， 故方程有唯一解，从而，与矛盾， 从而知两函数图象仅有一个公共点． 9．（2022·全国·高三专题练习）已知是定义在上的偶函数，当时， （1）求，的值； （2）求的解析式并画出函数的简图； （3）讨论方程的根的情况. 【答案】（1）；（2），图像见解析；（3）当，方程无实根、当或，有2个根、当，有3个根、 当，有4个根； 【分析】（1）函数求值只需将自变量值代入函数式计算即可； （2）求时的解析式时，转化为，将其代入已知关系式，再借助于偶函数得到函数解析式，最后将解析式化成分段函数形式； （3）结合做出的函数图像可知函数值取不同值时对应的自变量个数是不同的，本题求解主要利用数形结合法 【详解】解：（1） 是定义在R上的偶函数， （2）当时，于是 是定义在上的偶函数， ， 图像如图所示： （3）数形结合易知：当，方程无实根；当或，有2个根；当，有3个根； 当，有4个根； 【点睛】本题考查根据奇偶函数性质求函数解析式，数形结合解决方程根的个数问题，考查运算求解能力，数形结合思想，是中档题.本题解题的关键在于利用数形结合思想求解. 考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）函数定义在上的奇函数满足在，则在上的零点至少有（    ）个 A．6 B．7 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据奇函数可得，然后利用周期性和奇偶性结合可得函数，进而可得所有可能的零点. 【详解】是奇函数，故，又由得周期为1，故，又，，因此，再由周期为1，总之，有，共13个零点， 故选:D． 2．（2022·全国·高三专题练习）函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】应用导数研究的单调性、极值，再结合零点存在性定理判断区间零点个数，即可确定答案. 【详解】由题设，且定义域为， 所以在上，在上，即在上递减，在上递增， 所以的极小值为，又，， 则在、上各有一个零点，共有2个零点. 故选：B 二、填空题 3．（2023·全国·高三专题练习）已知四个函数：（1），（2），（3），（4），从中任选个，则事件“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为___________. 【答案】 【分析】由四个函数在同一平面直角坐标系内的图象进行求解即可. 【详解】 如图所示，与，与，与，与均有多个公共点， 令，则，∴在上单调递增， 又∵，∴有唯一零点， ∴与的图象有且仅有一个公共点； 令，则，∴在上单调递增， 又∵， ∴存在，使，且是的唯一零点， ∴与的图象有且仅有一个公共点. ∴从四个函数中任选个，共有种可能， “所选个函数的图象有且仅有一个公共点的有与和与共种可能， ∴“所选个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为. 故答案为：. 三、解答题 4．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数是自然对数的底数. (1)讨论函数的极值点的个数； (2)证明：函数在区间内有且只有一个零点. 【答案】(1)在上有且仅有3个极值点. (2)证明见解析 【分析】（1）求导并利用，得到或，根据根的个数可得极值点的个数，设，利用导数分析单调性并利用零点存在定理求出根的个数即可. （2）根据导函数零点，分析的单调性，可得在区间内的极大值为，极小值为，再利用零点存在定理分析可证. 【详解】（1），令或. 设，则， 令， 且时，，单调递减；时，，单调递增， 所以， 因为，则，此时在上有且仅有两个零点，记为， 因为，，时，所以， 所以在上有且仅有3个极值点. （2），当时， 在上有3个极值点：，，，其中， 且， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增. 所以在区间内的极大值为，极小值为， 且. 所以 同理，而当时， 因此函数在区间内无零点，在区间上有且只有一个零点. 综上所述，时，在区间内有且仅有一个零点. 考向二：利用零点求参数的值（范围） 考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若关于的方程在上有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数图象平移的原则得的表达式，根据的范围得出的范围，结合余弦函数的性质列出不等式即可得结果. 【详解】将函数向左平移个单位长度后得到函数， 即， ∵，∴， ∵在上有且仅有两个不相等的实根， ∴，解得， 即实数的取值范围是， 故选：B. 2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增， 因为函数在区间存在零点， 所以，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：B. 3．（2023·陕西商洛·统考二模）已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数可求得单调性和最值，由此可得图象，根据函数零点个数可直接构造不等式求得结果. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增；， 可得图象如下图所示， 有个零点，，解得：，即实数的取值范围为. 故选：D. 4．（2023·四川自贡·统考三模）设函数有唯一的零点，则实数m为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】令，通过换元法将函数转化为, 易得函数是偶函数，再根据题意可得，即可求解. 【详解】令，则， 因为， 所以函数是偶函数. 因为函数有唯一的零点，所以函数有唯一的零点. 则，即，解得. 故选：B 【点睛】关键点睛： 这道题的关键能通过换元法将函数转化为，从而利用偶函数有唯一零点得到，从而求解. 5．（2023·陕西商洛·统考三模）记函数的最小正周期为，且，若在上恰有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求得，使用整体换元法求得的范围， 根据在上恰有3个零点列出满足的不等式关系求解即可. 【详解】因为的最小正周期为T，所以． 又，所以， 当时，， 由在上恰有3个零点，得， 解得． 故选：A 二、多选题 6．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是函数和的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数，求导，研究单调性，得到及，结合指对互化即可判断选项A、B、C，最后再通过对勾函数单调性求解范围即可判断选项D. 【详解】令，得，即，， 令，得，即，即，， 记函数，，则， 所以函数在上单调递增， 因为，，所以，故A错误； 又，所以，， 所以，故B正确； 所以，故C正确； 又，所以，结合，得， 因为，所以，且， 因为在区间上单调递减，所以， 即，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数的零点转化为方程的根，通过结构构造函数，利用函数单调性及指对互化找到根的关系得出结论. 三、填空题 7．（2023·四川凉山·三模）若函数有两个零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】由函数有两个零点等价于则函数图象与直线有两个交点，如图，当直线在之间平移时满足题意，利用导数的几何意义求出曲线的切线方程，即可. 【详解】由题意得，令， 则函数图象与直线有两个交点. 由，得，左顶点为B， 即曲线表示焦点在y轴的椭圆的上半部分，如图， 当直线在之间平移时，直线与曲线有两个交点. 当直线为直线时，，解得； 当直线为直线时，与椭圆相切，设切点为， 则，得切线的斜率为， 解得，代入得， 所以切线的方程为，令，得， 则，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为：. 8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________. 【答案】 1 【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案. 【详解】第一空：当时，当时，，解得； 当时，，无零点， 故此时的零点个数是1； 第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以； ① 若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得， 此时； ② 若恰有3个零点，则，此时， 所以恰有1个零点，符合要求； ③当时，，所以恰有1个零点， 而至少有4个零点， 此时至少有5个零点，不符合要求，舍去. 综上，或. 故答案为：1；. 【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题. 9．（2023·全国·校联考二模）已知函数，若关于的方程有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是______. 【答案】或或 【分析】借助导数求得的取值范围，再换元，数形结合求a的取值范围. 【详解】因为，所以，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，如图， 设，则， 显然不是方程的解， 则（且）， 如下图所示， （1）当时，直线与曲线（且）无交点， 则方程无实数解， （2）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为， 此时直线与曲线有唯一交点，即方程有唯一实数解 （3）当时，直线与曲线（且）有唯一交点，其横坐标为， 此时直线与曲线有两个交点，即方程有两个实数解， （4）当，直线与曲线（且）有两个交点， 设其横坐标分别为，（）， 此时直线和直线与曲线各有两个交点， 即方程有四个实数解， （5）当时，直线与曲线（且）有两个交点， 设其横坐标分别为（），，此时直线与曲线各有两个交点， 直线与曲线有唯一的交点，即方程有三个实数解， （6）当时，直线与曲线（且）有唯一个交点， 设其横坐标分别为（），此时直线与曲线有两个交点， 即方程有两个实数解， （7）当时，直线与曲线有两个公共点，对应的t有两个负值，设为， 此时直线和直线与曲线各有一个交点， 即方程有两个实数解， 综上，当或或时，方程有两个不同的实数根. 【点睛】关键点点睛：复合方程解的个数问题的解题策略为：首先要能观察出复合的形式，分清内外层；其次要能根据复合的特点进行分析，将方程问题转化为函数的交点问题；最后通过数形结合的方式解决问题. 10．（2023·天津河西·统考一模）已知，且函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】当时，由得，可转化为当时，恰有个不同的零点，利用根的分布可得答案. 【详解】当时，， 所以由得， 所以当时，恰有个不同的零点， 令，则在时恰有个不同的零点， 可得，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题 11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数． (1)求实数k的值． (2)当时，函数存在零点，求实数a的取值范围． (3)函数（且），函数有2个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）函数是偶函数，所以，计算可得； （2）依题意问题转化为在上有实数解，求出的值域即可得解； （3）因为函数与的图像有两个公共点，所以关于的方程有两个解，所以，换元，研究二次函数图像及性质即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是偶函数， 所以，即， 所以，即， 所以，得 （2）由（1）可知，则， 当时，函数存在零点，即关于x的方程在上有实数解，即关于x的方程在上有实数解． 令，， 因为，则，所以，则， 所以，即，所以， 故实数a的取值范围为． （3）函数有2个零点，即关于x的方程有2个不相等的实数根， 化简上述方程得，即， 所以，所以． 令，得关于t的方程． 记． ①当时，函数p（t）的图像开口向上，图像恒过点，方程（*）只有一个正实根，不符合题意． ②当时，函数p（t）的图像开口向下，图像恒过点，因为，要满足题意，则方程（*）应有两个正实根，即，解得或，又，所以．综上，m的取值范围是． 【点睛】方法点睛: （1）构造新函数法：求函数F（x）的零点，考虑将函数F（x）变形成两个新函数的差，即，将原问题转化为函数f（x）与g（x）图像的交点问题． （2）参变分离法：求函数f（x）的零点，由分离变量得出，将原问题等价转化为直线与曲线的交点问题． 12．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，． (1)求的单调性； (2)若函数在上有唯一零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为， (2) 【分析】（1）先写出定义域，然后求导，解不等式得出单调性； （2）时可证明在上单调并无零点，时可根据零点存在定理结合函数单调性进行判断 【详解】（1），，则， 又因为函数的定义域为， 所以的单调增区间为， 单调减区间为，． （2）先证明两个结论：时，. 设，则，于是在上递减， 故，即时； 设，，即在上递增， 故，即时，. 令，，． ①当时，， 当时，， 所以当时，在上无零点，舍去． ②当时，，， 则， 所以在上单调递增． 而，， 所以在上存在唯一，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以仅在上存在唯一零点． 综上，a的取值范围为 考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数 一、单选题 1．（2023春·贵州·高一校联考阶段练习）函数 ，若，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的对称性和对数函数的性质求解. 【详解】 依题意作函数的图象如图，关于 轴对称，所以 ， 又由 ，∴，∴ ， 时， ， ，∴， ∴ ， 故选：C. 2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数且有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将解：函数且有两个零点，转化为函数的图像与直线有两个公共点求解. 【详解】解：因为函数且有两个零点， 所以且有两个零点， 即函数的图像与直线有两个公共点， 当时，由图①得1，故； 当时，由图②得，不符合题意. ， 故选：A 二、填空题 3．（2023·全国·高三专题练习）函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于______. 【答案】8 【分析】根据正弦型函数的性质判断的对称性，由解析式判断单调性、值域、对称性，并确定两函数的交点情况，画出它们的图象，根据对称性求交点坐标之和. 【详解】由，则，即关于对称； 由在上递增且值域为、上递增且值域为，且关于对称； 又，根据对称性知：， 所以、且的图象如下， 所以，在的两侧各有4个交点，且4对交点分别关于对称， 故任意两个对称的交点横坐标之和为2，所有交点的横坐标之和为8. 故答案为：8 4．（2022春·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知，函数，若存在不相等的三个实数，使得，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】对分别讨论，的情况，则原命题等价为方程在上有两个不等根，参变分离后等价与在上有两个不同交点，由数形结合结合基本不等式讨论的值域即可. 【详解】当时，令，解得， 所以只需方程在上有两个不等根即可， 整理得，有两个根． 只需与在上有两个不同交点即可． 所以且， 所以实数的取值范围是． 故答案为：. 三、解答题 5．（2023·浙江温州·统考三模）已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数. (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出的范围，再结合正弦函数的零点情况列出不等式求解作答. （2）由（1）求出函数的解析式，进而求出，再利用正切函数的单调性求解作答. 【详解】（1）由，得， 因为函数在区间上恰有3个零点， 于是，解得，而为正整数，因此， 所以. （2）由（1）知，， 由，得，即有， 因此， 由，解得， 所以函数的单调减区间为. 6．（2023·海南海口·校联考模拟预测）已知函数． (1)求的最值； (2)当时，函数的图像与的图像有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，无最大值． (2) 【分析】（1）求导，根据导函数的符号求解； （2）构造函数 ，求导，研究 的单调性，对a分类讨论. 【详解】（1）因为，所以 ， 令 ，则， 所以 时， ，在上单调递减， 时， ， 单调递增， 所以，无最大值； （2）令，原问题等价于 有2个零点， ， 令 ，则 ， 显然 在上单调递增，所以 ． 当时， ，在上单调递增，，即 ， 则在上单调递增，所以， 所以有且仅有1个零点，不符合题意； 当时， ，  ， ， ， 所以存在唯一，使得 ． 当时， ，单调递减，则， 当时， ，单调递增， 又 ， 所以当x趋于时， 也趋于，存在唯一的，使得． 当时， ，则在上单调递减， 当时， ，则在上单调递增， 因为，且当x趋于时， 也趋于，则在上有两个零点， 所以实数的取值范围是； 综上， 的最小值是 ，无最大值；a的取值范围是. 【点睛】本题难点在于二次，三次求导，并对a的分类讨论，注意利用特殊值 和 来判断 的符号. x0010-10000       0π2π010-100   0   0