06等式与不等式-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份06等式与不等式-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2024上·上海静安·高三统考期末）已知：，：，则是的（ ）
A．必要非充分条件B．充分非必要条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
2．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·上海松江·高三统考期末）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，，则
4．（2023上·上海松江·高三统考期末）关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（ ）
A．①、②都正确B．①正确 ②错误C．①错误 ②正确D．①、②都错误
5．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知为抛物线的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，则在点A、B、C中横坐标大于2的有（ ）
A．3个B．2个C．1D．0个
6．（2022上·上海宝山·高三统考期末）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（ ）
A．24B．22C．20D．16
7．（2018上·上海闵行·高三统考期末）若，，则一定有（ ）.
A．B．C．D．
8．（2018上·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）已知为正实数，且，则的最小值为
A．1B．2C．3D．6
9．（2019上·上海虹口·高三统考期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题
10．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知，则的最小值为
11．（2019上·上海虹口·高三统考期末）设，则的最小值为 ．
12．（2020下·上海杨浦·高三复旦附中校考期末）不等式的解集为 ．
13．（2022上·上海宝山·高三统考期末）函数的定义域为 ．
14．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知，则 .
15．（2014上·上海浦东新·高三统考期末）不等式的解集为 ．
16．（2019上·上海浦东新·高三统考期末）在△ABC中，边a、b、c满足a+b＝6，∠C＝120°，则边c的最小值为 ．
三、解答题
17．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为12米，（已有两面墙的可利用长度足够大），
(1)若，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
(2)为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，△ABC的面积尽可能大.如何建造能使得该活动室面积最大？并求出最大面积.
18．（2023上·上海虹口·高三统考期末）已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的控制函数；若不存在，请说明理由．
19．（2024上·上海静安·高三统考期末）如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．
①对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
(1)记，求证：为型函数；
(2)设，记，若是型函数，求的取值范围；
(3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
20．（2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知函数，其中．
(1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．B
【分析】根据充分不必要条件和分式不等式解出结果.
【详解】因为，
解得或，
根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出是充分不必要条件，
故选：B
2．D
【分析】根据不等式的性质并结合特殊值法，即可逐项判断.
【详解】对A、B：由，不妨设，，则，，故A、B项错误；
对于C：由，所以，故C项错误；
对于D：由，所以，故D项正确.
故选：D.
3．D
【分析】借助不等式的性质判断即可.
【详解】对A：因为，可能，故错误；
对B：当时，若，则，故错误；
对C：当，时，则，故错误；
对D：若，，则，故正确.
故选：D.
4．C
【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性.
【详解】对于①，由平方可得，．因为，
所以．又因为，
当且仅当时等号成立，故①错误；
对于②，由知，，，两边平方可得．
因为，所以，
即曲线在直线的下方，
因此所围图形的面积不大于，故②正确.
故选：C

【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
5．D
【分析】首先判断出点是的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式，可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理可得，可得答案.
【详解】设，先证，
由，则点是的重心，
由，，则，
，当且仅当时等号成立，
，则，即，
由，则，，
同理可得.
故选：D.
6．A
【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
7．A
【分析】根据不等式的性质可判断.
【详解】解：根据，有，由于，两式相乘有，
故选：A.
8．C
【分析】由x﹣2y+3z＝0可推出y，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．
【详解】∵x﹣2y+3z＝0，
∴y，
∴3，
当且仅当x＝3z时取“＝”．
故选C．
【点睛】本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，属于中档题．
9．A
【分析】根据不等式的解法，求得不等式解集对应的集合，结合是的真子集，即可求解.
【详解】由不等式，解得，设为集合
又由，解得，设为集合，
则是的真子集，所以是充分不必要条件.
故选：A.
10．
【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以且，
所以，
当时等号成立.
故答案为：
11．/
【分析】变形后用基本不等式即可求解
【详解】，
当且仅当即时取等
故答案为：
12．
【分析】根据分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法求解.
【详解】不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
13．
【分析】根据对数的定义，结合一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由题意得：，即，
即，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．/
【分析】分类讨论解含绝对值的分式不等式，求得集合，再按照集合的交集运算即可.
【详解】解：因为，所以当或，解得或，
则集合或，又，所以.
故答案为：.
15．
【分析】将不等式化为，即可得答案.
【详解】由题意得不等式即，
即不等式的解集为，
故答案为：
16．
【分析】由基本不等式可求出ab的最大值，然后结合余弦定理即可求解c的最小值．
【详解】解：a+b＝6，∠C＝120°，
∴＝9，
当且仅当a＝b时取等号，
由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab×cs120°，
＝（a+b）2﹣ab，
＝36﹣ab≥36﹣9＝27，
∴
则边c的最小值3．
故答案为：3．
17．(1)35.18米；
(2)，最大面积为.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算作答.
（2）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解作答.
【详解】（1）在中，由正弦定理得：
，，
所以△ABC的周长为(米).
（2）在中，由余弦定理得：，
则，即，当且仅当时取“=”，
，
所以当，即是正三角形时，，面积取得最大值.
18．(1)是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据已知控制函数的定义，即可得出结论；
（2）设，，由其导数得出其在上的最大值为0，则，，变形化简得出，而在区间上的值域为，即可证明；
（3）由上面两问可看出控制函数可能是原函数的导数，证明，根据不等式的运算可以证明，发现控制函数可能是原函数的导数去掉常数项.
【详解】（1）对任意，则，且，
故是函数的一个控制函数；
（2）因为，则，
则，
，，
设，
在上，在上，
则在单调递减，在上单调递增，
最大值，
，，，，，
，，
则，
，即，
同理，，
，即
综上：，
，在区间上的值域为，
则在区间上有实数解.
（3），则，其中
，
，
，
，，
，则，即，
同理，
即，
则是的一个控制函数.
【点睛】关键点睛：对于函数的新定义题要理解好定义的内容，不等式运算时注意不等式的要求，变号时要多注意，一般的大题在前面的问题和后面的问题有联系，后面的问题没有思路时看看前面的问题，
19．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，理由见解析
【分析】（1）证明函数满足型函数的定义即可；
（2）根据是型函数，则由其满足条件①推出，再结合其满足条件②得关于b的不等式，利用构造函数，结合函数最值，即可求得答案；
（3）举出具体函数，说明其满足型函数的定义，即可得结论.
【详解】（1）当时，，
当，，时，
，，
则，
，，
，为型函数.
（2）当时，由得，
当，，时，
，，
由，得，
即，即，
即，
令，
则对称轴，
所以在上的最小值为，只要，则，
因为，
所以．
（3）存在，举例1：．
理由如下：当时，符合；
当，，时，
，，
，，
故，
，即，
即是型函数，且对任意的，存在，使得等式成立；
举例2：；
理由如下：当时，，符合，
当，，时，
，，
，
，
即，即是型函数，
且对任意的，都存在，使得等式成立.
由此可知存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立.
【点睛】关键点睛：解答此类给出新的函数定义的题目，解答的关键是要理解题中所给的新的函数定义的含义，明确其满足的条件，然后按照其需满足的条件求解即可.
20．(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可．
（2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题.
【详解】（1）函数定义域为R，若是奇函数，则，解得，
此时，，符合题意，
故.
（2）当时，，
由，则，当且仅当，即时等号成立，
所以，又不等式恒成立，得，
则实数的取值范围为.