09圆锥曲线-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份09圆锥曲线-上海市2023-2024学年高三上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2023上·上海虹口·高三统考期末）已知曲线的对称中心为O，若对于上的任意一点A，都存在上两点B，C，使得O为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“自稳定曲线”；②存在双曲线是“自稳定曲线”．
则（ ）
A．①是假命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①②都是假命题D．①②都是真命题
2．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知椭圆及以下3个函数:（1）；（2）;（3），其中函数图像能等分该椭圆面积的函数是（ ）
A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）
3．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知为抛物线的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当时，则在点A、B、C中横坐标大于2的有（ ）
A．3个B．2个C．1D．0个
4．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知正方体的棱长为为的中点，为所在平面上一动点，为所在平面上一动点，且平面，则下列命题正确的个数为（ ）
（1）若与平面所成的角为，则动点所在的轨迹为圆；
（2）若三棱柱的侧面积为定值，则动点所在的轨迹为椭圆；
（3）若与所成的角为，则动点所在的轨迹为双曲线；
（4）若点到直线与直线的距离相等，则动点所在的轨迹为抛物线
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（2022上·上海宝山·高三统考期末）已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的最小值为（ ）
A．24B．22C．20D．16
6．（2015·上海·高三校考期末）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于、两点，且，则称点为“点”，则下列结论中正确的是( )
A．直线上的所有点都是“点”
B．直线上仅有有限个点是“点”
C．直线上的所有点都不是“点”
D．直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”
7．（2015上·上海虹口·高三统考期末）关于曲线：，给出下列四个命题：
①曲线关于原点对称； ②曲线关于直线对称；
③曲线围成的面积大于； ④曲线围成的面积小于；
则其中真命题是（ ）
A．①③B．①④C．①②③D．①②④
8．（2018上·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考期末）方程所表示的曲线为（ ）
A．双曲线B．椭圆C．双曲线的一部分D．椭圆的一部分
9．（2019上·上海浦东新·高三统考期末）以抛物线的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
10．（2023上·上海虹口·高三统考期末）双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 ．
11．（2023上·上海松江·高三统考期末）双曲线的右焦点坐标是 ．
12．（2019上·上海浦东新·高三统考期末）抛物线的焦点坐标为 ．
13．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别是，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
14．（2023上·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）若实数x，y满足等式，则的取值范围为
15．（2021上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知抛物线过点.直线与拋物线交于两个不同点(均与点不重合)，设直线的斜率分别为且，则直线过定点 （请写出定点的坐标）.
16．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知向量与非零向量满足.若“对任意满足前式的，均存在，使得成立”，则的取值范围是 .
三、解答题
17．（2024上·上海静安·高三统考期末）已知双曲线：，点的坐标为 ．
(1)设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；
(2)设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．
18．（2023上·上海松江·高三统考期末）已知椭圆（）的离心率为，其上焦点与抛物线的焦点重合．

(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于点，同时交抛物线于点（如图1所示，点在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段与长度的大小，并说明理由；
(3)若过点的直线交椭圆于点，过点与直线垂直的直线交抛物线于点（如图2所示），试求四边形面积的最小值．
19．（2023上·上海虹口·高三统考期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图．
(1)求抛物线的方程及点M的坐标；
(2)证明：为定值；
(3)过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值．
20．（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）已知椭圆的左右焦点分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的上顶点到双曲线的渐近线的距离为.设是第一象限内上的一点，的延长线分别交于点.
(1)求椭圆的方程.
(2)求面积的取值范围.
(3)设分别为的内切圆半径，求的最大值.
参考答案：
1．B
【分析】设出椭圆、双曲线方程及点的坐标，结合三角形重心坐标公式利用点的坐标求出直线方程，再与椭圆或双曲线方程联立，判断是否有两个不同解即得.
【详解】椭圆是“自稳定曲线”.
设椭圆方程为，令，则，设，
由是的重心，知，直线过点，
当时，若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
若，直线与椭圆有两个交点，符合题意，
则当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
同理，当，即时，存在两点，使得的重心为原点，
当时，，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与椭圆交于两点，且是的重心，
即当时，对于点，在椭圆上都存在两点，使得为的重心，
综上，椭圆上任意点，在椭圆上都存在两点，使得为重心，①为真命题；
双曲线不是“自稳定曲线”.
由对称性，不妨令双曲线方程为，令，则，设，
假设是的重心，则，直线过点，
当时，直线或直线与双曲线都不相交，因此，
，两式相减得，
直线的斜率，方程为，即，
由消去并整理得：，
，即直线与双曲线不相交，
所以不存在双曲线，其上点及某两点，为的重心，②是假命题.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解，还要注意验证.
2．B
【分析】利用椭圆的对称性以及函数的奇偶性进行判断.
【详解】对于函数，其定义域为，且，
所以是奇函数，所以函数能等分该椭圆的面积；
对于函数，其定义域为，且，
所以是奇函数，所以函数能等分该椭圆的面积；
对于函数，其定义域为，且，
所以是偶函数，所以函数不能等分该椭圆的面积；故A，C，D错误.
故选：B.
3．D
【分析】首先判断出点是的重心，根据重心坐标公式可得，结合基本不等式，可得出，结合抛物线的定义化简得出，同理可得，可得答案.
【详解】设，先证，
由，则点是的重心，
由，，则，
，当且仅当时等号成立，
，则，即，
由，则，，
同理可得.
故选：D.
4．D
【分析】对于(1)，利用圆的定义判断；对于(2)，利用椭圆的定义判断；对于(3)，易得运动成圆锥面判断；对于(4)，利用抛物线的定义判断.
【详解】如图所示：
对于(1)，因为与平面所成的角为，所以，
所以点的轨迹为圆，所以正确；
对于(2)，当三棱柱的侧面积为定值时，因为高为2，则为定值，且大于，所以点的轨迹为椭圆，正确；
对于(3)，因为、，所以，
于是满足条件的运动成圆锥面，又平面，所以圆锥面被平面所截的交线为双曲线，所以正确；
对于(4)，因为点到直线与直线距离相等，所以点的轨迹为点到点与直线的距离相等的轨迹，即抛物线，所以正确；
故选：D．
5．A
【分析】由抛物线的性质：过焦点的弦长公式计算可得.
【详解】设直线，的斜率分别为，
由抛物线的性质可得，，
所以，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
6．A
【分析】作出草图，可知点是的中点，，设出 的坐标，进而的坐标可表示出，把 的坐标代入抛物线方程联立消去，求得判别式大于恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线上的所有点都符合．
【详解】如图所示：

设，
由题意可知点是的中点，则，
∵在上，∴，
消去，整理得关于的方程，
∵恒成立，
∴方程恒有实数解．
即对于任意的点，都存在，使得.
故选：A．
7．A
【分析】根据对称性的判断方法，判断①②的正确性.判断曲线上任意一点都在单位圆外，由此判断③④的正确性.
【详解】对于①，将方程中的换为，换为，方程不变，所以曲线关于原点对称.所以①正确.
对于② ，将方程中的换为，换为，方程变为与原方程不相同，所以曲线不关于直线对称.所以②错误.
在曲线上任取一点，则，因为，所以，所以在单位圆外，所以③正确，④错误.
综上所述，正确的为①③.
故选：A
【点睛】本小题主要考查曲线的对称性判断，考查点和圆的位置关系，属于中档题.
8．D
【分析】把方程平方后可判断方程表示的曲线，只是还要考虑变量的取值范围．
【详解】由得，即，其中，
∴此曲线为椭圆的右半部分．
故选：D．
【点睛】本题考查方程的曲线，把方程变形后可确定曲线的形状，但要注意变形后不能改变变量的取值范围．
9．C
【分析】求出抛物线的焦点即为椭圆的焦点，即可得椭圆中的关系，再根据长轴长可得椭圆，进而可求出，即可得椭圆的标准方程.
【详解】解：有已知抛物线的焦点为，设椭圆方程为，
则，又由已知，
所以，
故椭圆方程为，
故选：C.
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，是基础题.
10．/0.6
【分析】根据双曲线方程得出两条渐近线方程，由两方程斜率与倾斜角的关系结合两直线夹角范围得出夹角，根据两角差的正切公式得出夹角的正切值，即可由同角三角函数关系结合范围得出答案.
【详解】由双曲线方程可得，，，且焦点在轴上，
则双曲线的两条渐近线为，
作大致图形如下，
,
的方程为，
,则，
，
两直线的夹角范围为，
为两条渐近线的夹角，
，
则由，解得，
，
，
故答案为：.
11．
【分析】根据双曲线的定义求解.
【详解】因为，所以，
且焦点在x轴上，所以右焦点为.
故答案为：.
12．
【分析】根据抛物线的标准方程求解.
【详解】解：因为抛物线方程为，
所以，焦点坐标为，
故答案为：
13．
【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，从而可得，进而可得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调情况即可解得的取值范围．
【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，，，，
由于是以为底边的等腰三角形，
由，即有，，
由椭圆的定义可得，由双曲线定义可得，
则，，相减可得，
即，得，
所以，，
显然在上单调递增，
所以，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：根据题意得到，从而得到关于的表达式，构造函数，再根据函数在上的单调性是解答本题的关键．
14．
【分析】应用三角换元有，将目标式化为且，即可得范围.
【详解】由题设，令，则，且，
结合三角形函数的性质知：.
故答案为：
15．
【分析】代入点可求得抛物线的方程为，设直线的方程为与联立消，用韦达定理表示出，可求出的关系式，再化为点斜式方程即可得出定点.
【详解】依题意，
抛物线，过点，得，即，
得抛物线的方程为，设，，
直线的方程为，联立抛物线方程，
得，，，，
又，，，
，得，
则的方程为，即，
令，则，得直线恒过定点．
故答案为：.
16．
【分析】先对条件作几何解释，再对a分类讨论即可.
【详解】如图：
设（），向量 ，过B点作垂直于x轴的垂线，垂足为D，
则有 ， ，依题意， ，
所以点B的运动范围总在直线 与直线 之间，
设 ，则 ， ，由 得 ，
，下面对a分类讨论：
若 ，则 ，满足条件；
若 ，则有 ，是长轴在x轴短轴在y轴上的椭圆，
，解得 ， ；
若 ，则有 ，是实轴在x轴虚轴在y轴上的双曲线，
显然当 时， ，不满足题意；
故答案为： .
17．(1)
(2)
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，
（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）直线的方程为．
由方程组得．
设,则，
．
（2）设点，则点的坐标为．
，，
．
因为，所以．
18．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此求得，联立直线的方程和抛物线的方程，化简写出根与系数关系，由此求得，利用差比较法求得.
（3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由（2）求得，，进而求得四边形面积的表达式，根据不等式的性质求得面积的最小值.
【详解】（1）由题意得，即：，又，所以，
由，得，所以椭圆的方程为.
（2）由题意得过点的直线的斜率存在，设直线方程为，
设，，，，
联立，消去得：，
则，，
所以.
抛物线的方程为：，
联立，消去得：，
则，
所以，
所以
，
即.
（3）设，，，，
当直线的斜率存在且不为零时，
设直线方程为，
则直线方程为，
由（2）的过程可知：，
由，以替换，可得，
所以
，
因为，所以，，；
当直线的斜率不存在时，，，
所以；
综上所述：，所以四边形面积的最小值为.
【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及焦点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.
19．(1)；或
(2)证明过程见解析
(3)2
【分析】（1）根据抛物线定义直接求解即可；
（2）求出抛物线的焦点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明出是定值；
（3）利用导数求出切线、的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出和的面积和，换元，利用导数法求出和的面积和的最小值
【详解】（1）因为点在抛物线：上，点F为的焦点，且，
所以点到抛物线准线的距离，得，
则抛物线的方程为，
代入，得，
所以，所以或；
（2）抛物线的焦点与的圆心重合，即为，
显然，直线斜率存在，所以设直线方程为，点、，
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，
，由韦达定理得，.
由抛物线的定义可知，，，.
，即为定值；
（3），，
所以切线的方程为，即，
同理可得，切线的方程为，
联立两切线方程，解得，即点，
所以点到直线的距离为．
设，
，
令，则，，
所以在上是增函数，
当时，即当时，，即与的面积之和的最小值为
【点睛】思路点睛：本题考查抛物线的方程的求解、抛物线中弦长的计算以及三角形面积和的最值问题，常用的思路就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，在求最值时，则需建立某个变量的函数来求解，难点在于计算量大，容易出错.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点到直线距离公式以及椭圆的焦点即可求解；
（2）根据三角形的面积求法和直线与双曲线联立并结合换元法和二次函数即可求解;
（3）根据齐次化和均值不等式即可求解.
【详解】（1）由题可知：的上顶点，双曲线的渐近线方程为：
由点到直线距离公式得，故，
结合得.
（2）设，，
联立，
消得，.
因，
而，
令，则
故的取值范围为.
（3），
由（2）可知，则有
，
又，所以
同理得，因此
，当且仅当，取等号；
则，则当为时可取等.
所以的最大值为