13圆锥曲线（抛物线）-上海市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份13圆锥曲线（抛物线）-上海市2023-2024学年高二上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2023上·上海·高二校联考期末）已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．（2023下·上海松江·高二上海市松江一中校考期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则下列说法：①若直线AB过点F，则的最小值为1；②若垂直C的准线于点，且，则四边形周长为③若，则直线AB恒过定点.其中正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（2023下·上海奉贤·高二统考期末）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（ ）m.

A．1.33B．1.63C．1.50D．1.75
4．（2022上·上海闵行·高二闵行中学校考期末）已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2023上·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线
6．（2022上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于M，N两点，若在y轴负半轴上存在一点，使得为钝角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知曲线经过点，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不可能
8．（2022上·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）抛物线的焦点坐标是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2023上·上海·高二华师大二附中校考期末）已知直线：与抛物线交于，两点，且（为原点），则抛物线方程为 .
10．（2024上·上海·高二上海市进才中学校考期末）已知一个酒杯是由一个抛物线绕其对称轴旋转一周形成的，抛物线的方程为：，现在将一个半径为的小球放入酒杯中，若小球能触及杯子的最底部，则小球的半径的取值范围是 .
11．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）以为焦点的标准抛物线的准线方程为 ．
12．（2023下·上海黄浦·高二格致中学校考期末）已知是抛物线上一点，F为该抛物线的焦点，，则 .
13．（2023下·上海浦东新·高二统考期末）若双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的标准方程为 ．
14．（2023下·上海浦东新·高二统考期末）抛物线的准线方程是 ．
三、解答题
15．（2024上·上海·高二上海市行知中学校考期末）已知椭圆：与抛物线：在第一象限交于点，，分别为的左、右顶点.
(1)若，且椭圆的焦距为2，求的准线方程；
(2)设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值；
(3)设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标.
16．（2023下·上海·高二期末）已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点．
(3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．

17．（2023下·上海浦东新·高二校考期末）（1）抛物线的焦点在轴上且抛物线过点，求抛物线的标准方程；
（2）双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又双曲线的实轴长为4，且一条渐近线为，求双曲线的标准方程.
参考答案：
1．C
【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离计算可得.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为点在抛物线上，且，
所以，解得.
故选：C.
2．C
【分析】当轴时最小可判断①；根据抛物线的定义可知，设与轴的交点为，求出四边形的周长可判断②；联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得，可得直线恒过定点可判断③.
【详解】对于选项①，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为1，①正确；
对于②，由题意知，，
因为，所以，又，，所以四边形是矩形，
设与轴的交点为，易知，
故，
所以四边形的周长为，②错误；

对于③，设直线，
联立直线与抛物线方程得，则，所以，
由可得，即，解得，
故直线的方程为，即直线恒过定点，③正确.
故选：C.
3．B
【分析】以为原点，为轴，建立平面直角直角坐标系，利用点的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果.
【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角直角坐标系：
设抛物线的标准方程为，
由题意可得，代入得，得，
故抛物线的标准方程为，
设，则，
则，，
所以截面图中水面宽的长度约为.

故选：B
4．B
【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得，，然后整理换元转化为二次函数求最值.
【详解】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为，设，
由抛物线的定义得，要使最小，则需最大，
如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1，
，且，
所以，令，则，
所以，由，
而，
得，取得最小值，则的最小值为．
故选：B．
【点睛】方法点睛：求圆上的动点到一定点的距离之和最大（小）转化为求圆心到定点的距离的加半径（减半径）.
5．D
【分析】设动圆的圆心为，因为圆是过定点与定直线相切的，所以，由抛物线的定义，即可判断轨迹．
【详解】解：设动圆的圆心为，定直线为，
因为圆是过定点与定直线相切的，
所以，
即圆心到定点和定直线的距离相等．且在外，
由抛物线的定义可知，
的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线．
故选：D．
6．A
【分析】求出点坐标并设出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理结合向量数量积的坐标表示求解作答.
【详解】抛物线的焦点，显然直线l的斜率存在，设其方程为，
由消去y得：，设，则，
，当且仅当且时取等号，
，，则
，而存在一点，使得为钝角，
即存在一点，使得，因此，则，即有，
所以t的取值范围为.
故选：A
7．C
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线、抛物线方程特点即可判断作答.
【详解】因为椭圆、双曲线标准方程中都含有2个参数，分别为长短半轴长、实虚半轴长，确定其标准方程需要2个独立条件，
因此经过点不能确定其标准方程的曲线是椭圆和双曲线，A，B都不是；
抛物线的标准方程只有1个参数，确定其标准方程只需1个条件，
因此经过点能确定其标准方程的曲线是抛物线，C是，显然D不是.
故选：C
8．B
【分析】化简抛物线方程为标准形式，然后求解焦点坐标即可
【详解】，则抛物线的标准方程为：，焦点坐标在轴上，焦点坐标为：．
故选：B
9．
【分析】将直线方程和抛物线方程联立，得到，再结合抛物线方程得到，由得，化简即可得到，由此可写出答案.
【详解】由已知，联立方程组,
消元得：，
设，
则,
因为，所以，
又，
故，解得,
抛物线方程为.
故答案为：
10．
【分析】分析轴截面，设出小球对应的圆心和抛物线上任意一点，根据的最小值在处取到结合二次函数性质求解出结果.
【详解】取轴截面进行分析，
设小球对应的圆心为，抛物线上任意一点，且，
所以，
当的最小值在处取到时，此时小球能触及杯底，
由二次函数的性质可知，，所以，
故此时半径的取值范围是，
故答案为：.
11．
【分析】根据抛物线焦点有抛物线为且，即可得准线方程.
【详解】由题设，抛物线焦点在轴上，若抛物线为且，
故准线方程为.
故答案为：
12．
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义求出，进而求出作答.
【详解】抛物线的准线方程为，而F为该抛物线的焦点，在抛物线上，
因此，解得，则抛物线方程为，即有，
所以.
故答案为：
13．
【分析】由已知可得双曲线的右焦点为，根据条件可得，进而即得.
【详解】抛物线的焦点为，
双曲线的右焦点为，可设双曲线方程为，
又双曲线的一条渐近线方程为，
，
所以，
双曲线的方程是.
故答案为：.
14．
【分析】根据抛物线的方程即得.
【详解】因为抛物线的方程为，
所以抛物线的准线方程是.
故答案为：.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据焦距和求出椭圆方程和，从而得到，求出准线方程；
（2）先得到，和直线方程，分别联立后，得到相应的弦长，从而分两向量方向相同和相反求出答案；
（3）由三点共线得到和，从而表达出，得到，换元后得到，结合二次函数图象性质求出最小值，得到方程，求出，进一步求出点的坐标.
【详解】（1）由题意得，故，则，解得，
故椭圆：，
因为在第一象限，，所以，
所以，将其代入中，即，解得，
故的准线方程为；
（2）由题意得，解得，
故，，
直线的方程为，联立得，，
设，则，，
故，
联立与得，，
设，则，，
故，
若方向相同，，
若方向相反，，
所以；
（3）由，，三点共线，可得
，故，
同理，由，，三点共线，可得
，
则
，
因为，所以，
所以，
又，
故，
因为，令，
则，
所以，
其中，
因为，所以的开口向下，
对称轴为，
其中，
故当时，取得最大值，
最大值为，
故的最小值为，
令，解得，负值舍去，
故，解得，
，
又，故，
则点的坐标为.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
16．(1)
(2)证明见解析
(3)存在，
【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆C上．把的坐标代入椭圆C，求出，即可求出椭圆C的方程；
（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设，与椭圆方程联立，利用判别式、根与系数的关系，结合已知条件得到，能证明直线l过定点；
（3）利用点差法求出直线PQ的斜率，从而可得直线PQ的方程，与抛物线方程联立，由，及点G在椭圆内部，可求得的取值范围，设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，由根与系数的关系及，可求得m的取值范围，进而可求得直线的斜率k的取值范围．
【详解】（1）根据椭圆的对称性，两点必在椭圆C上，
又的横坐标为1，
∴椭圆必不过，
∴三点在椭圆C上．
把代入椭圆C，
得，解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）证明：①当斜率不存在时，设,，
∵直线与直线的斜率的和为，
∴，
解得m＝2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．
②当斜率存在时，设,，，
联立，消去y整理得，
则，，
则
,
又，∴，此时，
故存在k，使得成立，
∴直线l的方程为，即
∴l过定点．
（3）∵点P，Q在椭圆上，所以，，
两式相减可得，
又是线段PQ的中点，
∴，
∴直线PQ的斜率，
∴直线PQ的方程为，与抛物线方程联立消去x可得，
由题可知，∴，
又G在椭圆内部，可知，∴，故，
设，，由图可知，，
∴，
当直线TD的斜率为0时，此时直线TD与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设直线TD的方程为，与抛物线方程联立，消去x可得，
∴，
由，可知，即，
∴，即，
∴，
∵，
∴，解得，即，
∴直线TD即的斜率．
【点睛】思路点睛：处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
17．（1）；（2）或.
【分析】（1）根据点所在的象限设抛物线方程，代入点求得解；
（2）根据渐近线方程设出双曲线方程，根据实轴长分类讨论求解即可.
【详解】（1）因为点在第三象限，且抛物线的焦点在轴上，
设所求抛物线方程为，点代入，可得，
故所求抛物线的标准方程为.
（2）因为一条渐近线为，所以设双曲线方程为，
当时，双曲线为，此时实轴长为，所以，
所以双曲线方程为，
当时，双曲线为，此时实轴长为，所以，
所以双曲线方程为，
故所求双曲线方程为或.