07函数及其表示方法-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份07函数及其表示方法-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）若的最小值是3，则实数a的值为（ ）
A．5或8B．或5C．或4D．或8
2．（2024上·上海奉贤·高一统考期末）某车辆装配车间每装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产.从当天开始生产的时刻起经过的时间（单位：）与装配完成的车辆数（单位：辆）之间的函数表达式正确的是（ ）（数学上，常用表示不大于的最大整数．）
A．，；B．，；
C．，；D．，.
3．（2024上·上海虹口·高一统考期末）下列函数中与函数相同的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）函数的解析式为，值域为，则符合要求的函数的个数为（ ）
A．16个B．945个C．2025个D．1个
5．（2022上·上海浦东新·高一统考期末）已知定义域为的函数满足：①对任意，恒成立；②若则.以下选项表述不正确的是（ ）
A．在上是严格增函数B．若，则
C．若，则D．函数的最小值为2
6．（2023上·上海闵行·高一统考期末）存在函数，满足对任意都有（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022上·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）对于表示不超过的最大整数，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为（ ）
A．12B．3C．14D．15
8．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）下列进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像的是（ ）.
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）函数的定义域是
10．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）已知条件：，条件：，命题A：若成立，则成立.若命题是真命题，则实数的取值范围是 .
11．（2024上·上海·高一上海市建平中学校考期末）函数的值域是 .
12．（2024上·上海虹口·高一统考期末）若表示不大于的最大整数，比如，则 ．
13．（2024上·上海虹口·高一统考期末）函数的定义域为 ．
14．（2021上·上海嘉定·高一统考期末）如果已知摄氏度C来求华氏度F，可以用温度经验公式来表示.已知华氏温度来求摄氏温度，需要使用的公式为 .
三、解答题
15．（2023上·上海奉贤·高一校考期末）如果函数满足：对于任意，均有（m为正整数）成立，则称函数在D上具有“m级”性质．
(1)分别判断函数，，是否在R上具有“1级”性质，并说明理由；
(2)设函数在R具有“m级”性质，对任意的实数a，证明函数具有“m级”性质；
(3)若函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，求证：该函数在区间上具有“1级”性质．
16．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数与的定义域均为，若对任意的都有成立，则称函数是函数在上的“L函数”.
(1)若，判断函数是否是函数在上的“函数”，并说明理由；
(2)若，函数是函数在上的“函数”，求实数的取值范围；
(3)若，函数是函数在上的“函数”，且，求证：对任意的都有.
17．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知定义域为R的函数，，若对任意，均有，则称是S关联．
(1)判断函数是否是关联，并说明理由：
(2)若是关联，当时，，解不等式：；
(3)判断“是关联”是“是关联”的什么条件?试证明你的结论．
参考答案：
1．D
【分析】分、、三种情况进行讨论即可得答案.
【详解】由题意，①当时，即，，
则当时，，解得或（舍）；
②当时，即，，
则当时，，
解得（舍）或；
③当时，即，，此时，不满足题意，
综上或，
故选：D.
2．A
【分析】根据条件知当时，，再对选项B、C、D逐项分析，即可判断出选项B、C、D不正确，即可得出结果.
【详解】因为车间每装配完成一辆车，所以当时，，时，，时，，时，，时，，所以选项A正确，
对于选项B，当时，，所以选项B错误，
对于选项C，当时，，所以选项C错误，
对于选项D，当时，，所以选项D错误，
故选：A.
3．B
【分析】依次判断各个选项中函数的定义域和解析式与是否相同，由此得到结果.
【详解】选项A，，当时，，解析式与不同，A不正确；
选项B，的定义域为，解析式为，定义域和解析式与相同，B正确；
选项C，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，C不正确；
选项D，，该函数的定义域为，与函数的定义域不同，D不正确；
故选：B.
4．B
【分析】先求出值域中每个函数值对应的自变量构成的集合，根据函数的定义，要产生一个函数值只要从相应的集合中取出至少一个元素，这些元素构成了的一个非空子集，可以确定非空子集的个数，的定义域为集合的并集，从而求出的定义域的个数即为不同的函数的个数.
【详解】满足解析式为，值域为，
①，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有15个；
②，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有7个；
③，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个；
④，解得，要使，的定义域必须含有集合中至少一个元素，如果将这些元素放在一个集合中，那么集合相当于集合的一个非空子集，这样的集合共有3个；
要使值域为，则①②③④中的解组合后形成的定义域，即定义域为，因此的定义域的组合情况有：种，故符合要求的函数的个数为945.
故选：B
【点睛】函数的三要素有定义域、值域、对应法则，只要定义域不同就是不同的函数，当多个自变量对应同一个函数值时，要得到此函数值，只要从中取至少一个即可，从而可以组成不同的函数定义域，也就是得到不同的函数.
5．A
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再举例判断A；取值计算判断B，C；借助均值不等式求解判断D作答.
【详解】任意，恒成立，
且，假设，则有，
显然，与“若则”矛盾，假设是错的，因此当且时，，
取，有，则，于是得，，
，，，
对于A，函数，，，
并且当时，，即函数满足给定条件，而此函数在上是严格减函数，A不正确；
对于B，，则，B正确；
对于C，，则，而，有，又，因此，C正确；
对于D，，，则有，
当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为2，D正确.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.
6．C
【分析】根据函数的定义即可求解.
【详解】根据函数的定义，对任意的，按照某种对应法则，存在唯一的与之对应.
对于选项A：
若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项A错误；
对于选项B：
若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项B错误；
对于选项C：
令，，
所以，即，
令，则有， 即，
所以存在这样的函数， C选项正确；
对于D选项：
若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项D错误；
故选：C.
7．D
【分析】将表示为分段函数的形式，由此求得的元素，进而求得正确答案.
【详解】当，，；
当，，；
当，，；
当，，；
当时，，，
所以，所以中所有元素的和为.
故选：D
8．D
【分析】根据函数自变量与因变量一对一或多对一的特征判断.
【详解】函数图像满足：自变量在它的允许范围内取定一个值时，在图像上都有唯一确定的点与它对应.
选项D的进口车的车标经过旋转后可以看成函数图像，其它三个选项都不满足条件.
故选：D
9．
【分析】根据根式定义域结合绝对值不等式求解即可.
【详解】依题意，，即，，即.
故答案为：
10．
【分析】由充分条件的概念得且，再解不等式组即可得答案.
【详解】由题意可知：且，
所以且，解得，
故答案为：.
11．
【分析】换元后利用二次函数图像即可得出值域，但注意换元后的定义域.
【详解】令……①
将①式代入可得：…...②
的定义域为，
由二次函数图像可知，开口向下；且.
故答案为：.
12．3
【分析】根据表示不大于的最大整数求解.
【详解】解：因为表示不大于的最大整数，
所以，
故答案为：3
13．
【分析】由二次根式有意义的条件以及复合对数函数的定义域即可得解.
【详解】由题意函数有意义，当且仅当，解得，即函数的定义域为.
故答案为：.
14．
【分析】将公式化为华氏度F表示摄氏度C即可.
【详解】由题设，将公式化为华氏度F表示摄氏度C，即.
故答案为：
15．(1)函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“m级”性质的定义可说明在R上具有“1级”性质，利用特殊值可判断在R上不具有“1级”性质；
（2）根据“m级”性质的定义即可证明结论；
（3）任取，讨论是同时属于或，还是一个属于，另一个属于，结合“1级”性质的含义，说明在区间上满足定义，即可证明结论.
【详解】（1）函数在R上具有“1级”性质，在R上不具有“1级”性质，理由如下：
对于，任意，，
故在R上具有“1级”性质；
对于，，则，
故在R上不具有“1级”性质；
（2）函数在R具有“m级”性质，
即对于任意，均有成立，
故对任意的实数a，，则，
设，则
，（m为正整数），
故函数具有“m级”性质；
（3）函数在区间以及区间（）上都具有“1级”性质，
即对于任意，均有，
对于任意，均有，
故任取，若同时属于或，则成立；
若中一个属于，另一个属于，不妨设，，
则
，
综合上述，对于任意，均有，
故函数在区间上具有“1级”性质．
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问中证明函数在区间上具有“1级”性质，解答时要首先理解“1级”性质的定义，然后要分类讨论任取所处区间，分别说明均符合“1级”性质的定义，即可证明结论.
16．(1)函数是函数在上的“L函数”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“L函数”定义判断即可；
（2）根据数是函数在上的“L函数”得到对任意的恒成立，据此计算的取值范围即可；
（3）对分和两种情况，根据“L函数”定义证明即可.
【详解】（1）对任意的，且，
.
显然有，
所以函数是函数在上的“L函数”；
（2）因为函数是函数在上的“L函数”，
所以对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
化简得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
即，解得；
（3）对于，不妨设，
（i）当时，
因为函数是函数在上的“L函数”，
所以.
此时成立；
（ii）当时，由得，
因为，函数是函数在上的“函数，
所以
，
此时也成立，
综上，恒成立.
【点睛】关键点睛：本题关键在于对“L函数”定义的正确理解，据此计算即可.
17．(1)函数是关联，函数不是关联，理由见解析
(2)或
(3)必要不充分条件，证明见解析
【分析】（1）根据给定的定义为时，求的取值区间即可判断作答.
（2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答.
（3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答.
【详解】（1）函数是关联，证明如下：
任取R，若，则，
所以函数是关联；
函数不是关联，证明如下：：
若，则，
所以函数不是关联；
（2）因是关联，则，有，即，
当时，，而，
即，解得或，所以不等式的解集为或，
当时，，
所以当时，，
而，得，解得，所以不等式的解集为，
当时，或当时，，此时不等式无解；
综上得或，
所以不等式的解集为或，.
（3）“是关联”是“是关联”的必要不充分条件，证明如下，
易得函数是关联，但时，所以函数不是关联；
所以充分性不成立；
当函数是关联时，即，，
则有，，即有，
又，则有，于是得，
从而得，即函数是{2}关联；
所以“是关联”是“是关联”的必要不充分条件.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.