10反函数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020）

这是一份10反函数-上海市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（沪教版2020），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．（2021上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数的反函数为，则方程（ ）
A．有且只有一个实数解B．至少一个实数解
C．至多有一个实数解D．可能有两个实数解
2．（2019上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）函数的反函数是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2020上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）函数的反函数图象向右平移1个单位，得到函数图象，函数的图象与函数图象关于成轴对称，那么（）
A．B．C．D．
4．（2020上·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）设，分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021上·上海·高一校考期末）已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（ ）
A．B．C．D．
6．（2018上·上海宝山·高一校考期末）函数的反函数是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2019上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）下列四组函数中，不是互为反函数的是
A．和B．和
C．和D．和
8．（2019上·上海徐汇·高一统考期末）函数的反函数是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．（2023上·上海·高一曹杨二中校考期末）函数的反函数为 .
10．（2022上·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知，则 .
11．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数的反函数为 .
12．（2022上·上海闵行·高一校考期末）已知，则 .
13．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）点在函数的反函数的图象上,则 ;
14．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）函数的反函数是
三、解答题
15．（2022上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）设，已知函数.
(1)当时，用定义证明是上的严格增函数；
(2)若定义在上的奇函数满足当时，，求在区间上的反函数；
(3)对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
16．（2021上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知函数的反函数是．
(1)求函数的解析式；
(2)解方程．
17．（2022上·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知定义在R上的函数满足：在区间上是严格增函数，且其在区间上的图像关于直线成轴对称．
(1)求证：当时，；
(2)若对任意给定的实数x，总有，解不等式；
(3)若是R上的奇函数，且对任意给定的实数x，总有，求的表达式．
参考答案：
1．C
【解析】利用函数定义可知每一个自变量都有唯一确定的一个数与之对应，再结合反函数的性质即得结果.
【详解】函数有反函数，可知是一个单射函数，设定义域为I，
故若，设，由函数定义知a有唯一值，故，且方程只有一实数解a；
若，无意义，故不存在x，使得，故方程无解.
故方程至多有一个实数解
故选：C.
2．B
【分析】根据反函数：用原函数中的函数表示自变量，且原函数的值域为定义域，原函数的定义域为值域， 即可求的反函数；
【详解】，知：值域为且；
∴其反函数为；
故选：B
【点睛】本题考查了反函数，从解析式角度写出原函数的反函数，注意用函数表示自变量且定义域、值域互换即为所求反函数解析式；
3．C
【解析】函数的反函数图象向右平移1个单位，得到，再求反函数可得到结果.
【详解】函数的反函数图象向右平移1个单位，
得到，则
，
的反函数为
即，
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关函数解析式的求解问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点的求法，两个会反函数的函数图象关于直线对称，属于简单题目.
4．D
【解析】根据零点定义,可得,分别是和的解.结合函数与方程的关系可知,分别是函数与函数和函数交点的横坐标,所以可得,.而与互为反函数,则由反函数定义可得.再根据基本不等式,即可求得的最小值,将化为,即可得解.
【详解】因为,分别是函数和的零点
则,分别是和的解
所以,分别是函数与函数和函数交点的横坐标
所以交点分别为
因为
所以,
由于函数与函数和函数都关于对称
所以点与点关于对称
因为关于对称的点坐标为
所以
即,且
所以
,由于,所以不能取等号
因为
所以
即
故选:D
【点睛】本题考查了反函数的定义及性质综合应用,函数与方程的关系应用,基本不等式求最值,综合性强,属于难题.
5．B
【分析】先求出函数的图像必经过点，然后即可求出函数的图像一定经过点.
【详解】解：函数的图像经过点，则函数的图像经过点，
则函数的图像一定经过点，
故选：B.
【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题
6．B
【分析】根据求出的范围,即为反函数的定义域；根据表达式用含的式子表示出即可得到反函数,即可得到正确答案.
【详解】解：
故选B
【点睛】本题是一道有关指数函数以及反函数的题目,解题的关键是掌握反函数的定义.
7．B
【分析】根据反函数的概念与性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，由得，即和互为反函数；
对于选项B，由得，由得，根据反函数的性质，可得，和不是互为反函数；
对于选项C，D，由对数函数与指数函数的性质，可得和互为反函数，和也互为反函数.
故选B
【点睛】本题主要考查判断两函数是否互为反函数，熟记反函数的概念与性质即可，属于常考题型.
8．B
【分析】先根据原函数的定义域求出值域,再由原函数解析式反解出,然后对调的位置可得反函数的解析式,并写上原函数的值域作为反函数的定义域即可得到.
【详解】因为,所以,
由,得,又,所以,
对调的位置可得反函数.
故选.
【点睛】本题考查了反函数解析式的求法,特别要注意反函数的定义域,属于基础题.
9．
【分析】利用反函数的定义求解即可.
【详解】因为的反函数为，
所以，则.
故答案为：.
10．2
【分析】先求出反函数的表达式，然后代入求值即可.
【详解】令，由于，则，所以，得，
所以.
故答案为：2
11．
【分析】根据函数解析式确定，配方后求得，根据反函数定义即可确定函数的反函数.
【详解】由题意可得在上递减，故，
则，
故函数的反函数为，
故答案为：
12．
【分析】欲求的值，根据反函数的概念，只要求出使成立的x的值即可．
【详解】令得：⇒，
∴．
故答案为：．
13．2
【分析】点在函数的反函数的图象上,即在函数图象上,代入即可得的值.
【详解】解:由题知,点在函数的反函数的图象上,
故在函数图象上,
代入可得,
解得: .
故答案为:2
14．
【分析】先解出，然后再将互换即可得其反函数.
【详解】由，得，
所以的反函数为，
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）根据奇函数的定义可以求出参数，从而根据反函数的定义即可求出反函数解析式；
（3）将不等式的右侧转化为特殊的函数值，再利用已经证明的函数的单调性即可求解.
【详解】（1）当时，.
任取，则，
因为，所以，
即，.
所以，即，
故是上的严格增函数.
（2）由题意得当时，，
又是定义在上的奇函数，即，得.
所以当时，，
由得当时，，
而，则，在上单调递增，
令，则，得，
故在区间上的反函数，.
（3）由于时，，在上单调递增，；
时，，在上单调递增，；
则在上单调递增，
关于的不等式在上恒成立，
又，所以，
即在上恒成立，令，
得恒成立，即，
故实数的取值范围是.
16．(1)；
(2)
【分析】（1）根据函数的解析式，即可求得其反函数的解析式;
（2）利用（1）的结论，可得，分解因式得，即可求得答案.
【详解】（1）由函数，即，
则 ，故；
（2）因为，
即，
或（舍），所以，
即的解为.
17．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】(1)在函数()的图像任取点，推导可得，再结合严格递增推理作答.
(2)根据给定条件结合(1)可得的值域，在的条件下分段求解作答.
(3)求出函数区间、上表达式，再借助奇函数性质计算作答.
【详解】（1）依题意，，函数的图象上任意点关于直线对称点在函数的图象上，
则有：，且，于是得：，显然满足，
当时，若，而，又在区间上是严格增函数，
则，即，与矛盾，
若，而，又在区间上是严格增函数，则，即，与矛盾，
所以当时，.
（2）由(1)知，函数在区间上的值域为，函数的图象可由的图象向左平移2个单位而得，
因对任意给定的实数x，总有，
则函数在R上的图象可由数()的图像向左向右每2个单位平移而得，
于是得函数在R上的值域为，由得：，
当时，，则，由得：
，解得，则有，
当时，，则，由得：，解得，则有，
当时，，由得：，解得，则有，
综上得：，
所以不等式的解集是.
（3）因对任意给定的实数x，总有，
，当时，有，则，
，当时，有，则，
显然，函数的值域是，函数的值域是，
则取尽一切正整数，，
因此，当时，，
而是R上的奇函数，则当时，，，又，
所以，，，即函数的表达式是.
【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.