【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高一寒假提升训练 专题10+几个三角恒等式（6大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-讲义

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知识聚焦
考点聚焦
知识点1 积化和差公式与和差化积公式
1、积化和差公式
2、和差化积公式
、
3、应用和差化积公式时的注意事项
（1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，
若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次。
（2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：
= 1 \* GB3 ①运用公式之后，能否出现特殊角；
= 2 \* GB3 ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项。
（3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当做三角函数值才能应用公式，
如
知识点2 半角公式及万能公式
1、半角公式：
＝±， ＝±，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
；
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
2、万能公式
； ；
3、利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围；
（3）选公式：涉及半角公式的正切值时，常用，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常利用，计算。
（4）下结论，结合（2）求值。
考点剖析
考点1 积化和差公式的应用
【例1】（2023·高一课时练习）（ ）
A．+cs 4x B．sin 4x C．+cs 4x D．+sin 4x
【变式1-1】（2023·高一课时练习）的值是（ ）
A． B． C． D．1
【变式1-2】（2023·高一课时练习）若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·高一课时练习） 化为和差的结果是 .
考点2 和差化积公式的应用
【例2】（2023·全国·高一假期作业） ．
【变式2-1】（2023·全国·高一课堂例题）（1） ；
（2） ．
【变式2-2】（2023·全国·高一随堂练习）把下列各式化成积的形式：
（1）；
（2）；
（3）．
【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）已知，求的值为（ ）
A． B． C． D．
考点3 半角公式的应用
【例3】（2023上·全国·高一专题练习）设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）已知点是角的终边上一点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式3-3】（2023·全国·高一课堂例题）已知，则 ．
考点4 三角恒等式的证明
【例4】（2023·江苏·高一专题练习）已知，求证：．
【变式4-1】（2023·全国·高一专题练习）已知、为两相异锐角，且满足方程，求证：.
【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）证明：.
【变式4-3】（2023·江苏徐州·高一校考期中）求证下列恒等式：
（1）；
（2）
考点5 三角形中的三角恒等变换
【例5】（2023·广东中山·高一中山纪念中学校考阶段练习）在锐角中，若，则的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则此三角形为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式5-2】（2023·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期中）在中，，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【变式5-3】（2023·江苏宿迁·高一校考阶段练习）已知为斜三角形．
（1）证明：；
（2）若为锐角三角形，，求的最小值．
考点6 三角恒等变换的实际应用
【例6】（2023·四川达州·高一校考期中）如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
【变式6-1】（2023·江苏宿迁·高一统考期中）在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记．
（1）写出矩形的面积S与角的函数关系式；
（2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积．
【变式6-2】（2023上·河北唐山·高一统考期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令．
（1）当时，求梯形BCNM的面积S；
（2）求的周长l的最小值，并求此时角的值．
【变式6-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.
（1）将十字形的面积表示成的函数；
（2）求十字形面积的最大值，并求出此时的值.
过关检测
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）中，，（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·高一课时练习）若，，则的值为（ ）
A．2 B． C．－2 D．
4．（2023·江西宜春·高一灰埠中学校考期中）（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·辽宁沈阳·高一翔宇中学校考阶段练习）已知角，，为的内角，若，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
6．（2023·天津和平·高一耀华中学校考期中）关于x的方程有一根为1，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
7．（2023·重庆·高一重庆一中校考阶段练习）在中，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
二、多选题
9．（2023·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）给出下列四个关系式，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列等式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·甘肃天水·高一天水市第一中学校考期中）（多选）若，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·甘肃甘南·高一校考期中）tan（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2023·江苏南京·高一江宁高级中学校联考期末）已知，，则 .
14．（2023·甘肃白银·高一校考期中）已知，，则 .
15．（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习） ．
16．（2023·江苏·高一专题练习） ．
四、解答题
17．（2023·全国·高一课堂例题）已知，求下列条件下，，的值：
（1）；
（2）角在第一象限．
18．（2023·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）求证：
．
19．（2023·全国·高一随堂练习）证明：．
20．（2023·江苏·高一专题练习）化简：
（1）；
（2）.
21．（2023·全国·高一课堂例题）化简：
（1）；
（2）；
（3）．
22．（2023·上海青浦·高一校考阶段练习）已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记，矩形的面积为.
（1）当时，求矩形的面积的值.
（2）求关于角的解析式，并求的最大值.