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【寒假作业】（人教A版2019）高中数学 高一数学寒假巩固提升训练 专题05+三角函数公式及三角函数性质的综合应用+（九大题型）-讲义
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这是一份【寒假作业】（人教A版2019）高中数学 高一数学寒假巩固提升训练 专题05+三角函数公式及三角函数性质的综合应用+（九大题型）-讲义，文件包含寒假作业人教A版2019高中数学高一寒假巩固提升训练专题05三角函数公式及三角函数性质的综合应用九大题型原卷版docx、寒假作业人教A版2019高中数学高一寒假巩固提升训练专题05三角函数公式及三角函数性质的综合应用九大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共82页， 欢迎下载使用。
思维导图
核心考点聚焦
考点一、任意角和弧度制
考点二、三角函数的概念
考点三、诱导公式
考点四、三角恒等变换
考点五、三角函数的图像与性质
考点六、伸缩变换
考点七、三角函数的应用
考点八、三角函数的综合运用
考点九、ω的取值与范围问题
知识点一：任意角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2、终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
知识点二：弧度制
1、弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）
3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：．
知识点三：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点四：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点五：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点六：诱导公式
诱导公式一：
，
，
，其中
诱导公式二：
，
，
，其中
诱导公式三：
，
，
，其中
诱导公式四：
，．
，，其中
知识点七：正弦函数性质
知识点八：余弦函数的性质
知识点九：正切函数的性质
1、定义域：
2、值域：
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．
3、周期性：周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：奇函数，即．
5、单调性：在开区间，内，函数单调递增
知识点十：三角恒等变换公式
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）和角公式
（），
（），
（）．
（2）差角公式
（），
（），
（）．
2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（），
（），
（）
3、降幂公式
，
，
．
4、半角公式
，
，
．
其中，符号由所在象限决定．
5、辅助角公式
，其中，．叫做辅助角，的终边过点．
知识点十一：由得图象通过变换得到的图象
1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
考点剖析
考点一、任意角和弧度制
例1．（2024·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
例4．（2024·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2024·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，那么是（ ）
A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角
C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角
考点二、三角函数的概念
例6．（2024·河南郑州·高一郑州十一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·四川泸州·高一校考阶段练习）若角终边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2024·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知角的终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例10．（2024·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）若角的终边上有一点，且，则（ ）
A．4B．C．-1D．
例11．（2024·河北张家口·高一统考）若，且角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
考点三、诱导公式
例12．（2024·四川广安·高一统考期末）已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
例13．（2024·河南郑州·高一郑州外国语学校校联考阶段练习）已知．
(1)化简函数；
(2)若，求和的值．
例14．（2024·云南玉溪·高一玉溪市民族中学阶段练习）已知．
(1)化简；
(2)若为第三象限角，且，求的值．
例15．（2024·浙江·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
(1)若，求及的值；
(2)若，求点的坐标.
例16．（2024·广东惠州·高一惠州一中校考阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)当为第三象限角时，求的值.
考点四、三角恒等变换
例17．（2024·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知为锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
例18．（2024·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考阶段练习）已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求
(1)；
(2).
例19．（2024·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知，，则 ．
例20．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末） ．
例21．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考）已知，则 .
例22．（2024·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知，，，，则 .
例23．（2024·重庆·高三西南大学附中校考）已知，，且，，则 .
考点五、三角函数的图像与性质
例24．（多选题）（2024·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数图象的一条对称轴是
D．若，，则的最小值为
例25．（多选题）（2024·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知函数，下列四个结论中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
例26．（多选题）（2024·广东广州·高一铁一中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
例27．（多选题）（2024·海南·高三校联考阶段练习）若函数则（ ）
A．的最小正周期为10B．的图象关于点对称
C．在上有最小值D．的图象关于直线对称
例28．（2024·湖北孝感·高一校考期末）已知函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)求在区间上的单调递减区间.
例29．（2024·四川遂宁·高一校联考期末）已知函数（，，）图象的相邻两条对称轴的距离是，当时取得最大值2.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)若函数的零点为，求.
考点六、伸缩变换
例30．（2024·新疆·高三校联考）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则 .
例31．（2024·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为 .
例32．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考）已知函数的图象的一部分如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
例33．（2024·全国·高一专题练习）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
例34．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考开学考试）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位
例35．（2024·河南郑州·高一校考期末）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例36．（2024·陕西西安·高三校考）以下平移能将函数的图象变成函数的图象的是（ ）
A．向右平移B．向左平移
C．向右平移D．向左平移
例37．（2024·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
例38．（2024·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
考点七、三角函数的应用
例39．（2024·全国·高一专题练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，当时，两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时，时间t的值是 ．
甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则，
经过后甲距离地面的高度为，
点B相对于点A始终落后，
此时乙距离地面的高度为．
则甲、乙距离地面的高度差
，
＝.
因为，所以，
所以两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时
，解得.
即开始转动10分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为45．
故答案为：10．
例40．（2024·北京·高三北理工附中校考阶段练习）某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，已知该摩天轮从最低位置开始运行，乘客距离地面的距离（单位：米）会随摩天轮的运行时间（单位：分钟）的变化而变化.经长期观察，曲线可近似看成函数的图象.在运行一圈的时间里，观察了如下的数据：
由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 .
例41．（2024·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．
例42．（2024·高一课前预习）
如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是 .
例43．（2024·贵州毕节·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为.
①；
②点第一次到达最高点需要的时间为；
③在转动的一个周期内，点在水中的时间是；
④若在上的值域为，则的取值范围是；
其中所有正确结论的序号是 .
考点八、三角函数的综合运用
例44．（2024·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）已知.
(1)若，求在上的值域；
(2)若，求的最大值.
例45．（2024·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知（）．
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若的最小值为，求的对称中心．
例46．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)当时，求的最大值与最小值的和.
例47．（2024·重庆永川·高一重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)求在上的值域；
(3)试讨论函数在上零点的个数.
例48．（2024·浙江温州·高一校考阶段练习）已知函数．
(1)已知，求的值；
(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围．
例49．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在x∈[0,），使等式成立，求实数m的最大值和最小值．
例50．（2024·江苏扬州·高三统考）定义域为R的函数是奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围.
考点九、ω的取值与范围问题
例51．（2024·河南郑州·高一河南省实验中学校考阶段练习）已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为 .
例52．（2024·浙江杭州·高一浙江大学附属中学）已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是 .
例53．（2024·四川成都·高一成都外国语学校校考开学考试）函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）
A．B．
C．D．
例54．（2024·湖南长沙·高二长沙市南雅中学校考阶段练习）已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（ ）
A．B．
C．D．
例55．（2024·陕西·统考模拟预测）已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
例56．（2024·山西·高三校考阶段练习），函数在上单调递增，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
例57．（2024·山西太原·高一山西大附中校考阶段练习）已知函数在是增函数，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
过关检测
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）的值是( )
A．B．C．D．
2．（2024·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数是（ ）
A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数
3．（2024·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A．B．1C．1或D．
4．（2024·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）若，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知角的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x轴非负半轴重合，若角的终边所在直线的方程为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．5
6．（2024·江苏南通·高一统考阶段练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·甘肃白银·高一校考期末）已知，且为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·浙江温州·高一温州市第五十一中学校考阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（ ）
A．B．C．，D．，
二、多选题
9．（2024·江苏无锡·高一校考阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若是第一象限角，则
B．终边经过点的角的集合是
C．对，恒成立
D．若，且，则
10．（2024·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．若锐角的终边经过点，则
B．△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的充要条件
C．函数的对称中心是（）
D．若，则
11．（2024·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期是B．的最小值是
C．的对称轴是，D．在上单调递减
12．（2024·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若的一个零点为，且，则
C．若在上的所有零点和记为，则
D．在区间的零点个数为5个
三、填空题
13．（2024·四川成都·高一校联考期末）若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为 .
14．（2024·江苏南通·高一统考阶段练习）已知，则 ，若，则 .
15．（2024·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）已知函数，且，则 ．
16．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数的一部分图象如图所示，其中，，，则 ．
四、解答题
17．（2024·四川成都·高一校联考期末）已知.
(1)求；
(2)求的值.
18．（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为.
(1)求的表达式，并求；
(2)若，，求的值.
19．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.
20．（2024·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；
(2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值．
21．（2024·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数b的取值范围．
22．（2024·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）已知函数，且满足函数图象相邻两条对称轴间的距离为，函数为奇函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值，并写出对应的值；
(2)设函数在区间上的所有零点依次为，，，，求的值.
函数
正弦函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点；最小值点
对称中心
对称轴
函数
余弦函数
定义域
值域
奇偶性
偶函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点
最小值点
对称中心
对称轴
0
3
4.5
6
9
12
13.5
12
34
56
78
100
78
56
思维导图
核心考点聚焦
考点一、任意角和弧度制
考点二、三角函数的概念
考点三、诱导公式
考点四、三角恒等变换
考点五、三角函数的图像与性质
考点六、伸缩变换
考点七、三角函数的应用
考点八、三角函数的综合运用
考点九、ω的取值与范围问题
知识点一：任意角的概念
1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
正角：按逆时针方向旋转所形成的角．
负角：按顺时针方向旋转所形成的角．
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2、终边相同的角、象限角
终边相同的角为
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
知识点二：弧度制
1、弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）．
2、角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式：
1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad）
3、弧长公式：（是圆心角的弧度数），
扇形面积公式：．
知识点三：三角函数定义
设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么：
（1）做的正弦，记做，即；
（2） 叫做的余弦，记做，即；
（3）叫做的正切，记做，即．
知识点四：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
知识点五：同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系：
（2）商数关系：
知识点六：诱导公式
诱导公式一：
，
，
，其中
诱导公式二：
，
，
，其中
诱导公式三：
，
，
，其中
诱导公式四：
，．
，，其中
知识点七：正弦函数性质
知识点八：余弦函数的性质
知识点九：正切函数的性质
1、定义域：
2、值域：
由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线．
3、周期性：周期函数，最小正周期是
4、奇偶性：奇函数，即．
5、单调性：在开区间，内，函数单调递增
知识点十：三角恒等变换公式
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）和角公式
（），
（），
（）．
（2）差角公式
（），
（），
（）．
2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
（），
（），
（）
3、降幂公式
，
，
．
4、半角公式
，
，
．
其中，符号由所在象限决定．
5、辅助角公式
，其中，．叫做辅助角，的终边过点．
知识点十一：由得图象通过变换得到的图象
1、振幅变换：
，（且）的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的（横坐标不变），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的图象，再以轴为对称轴翻折，称为振幅．
2、周期变换：
函数，（且）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）．若则可用诱导公式将符号“提出”再作图．决定了函数的周期．
3、相位变换：
函数，（其中）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度而得到．（用平移法注意讲清方向：“左加右减”）．
4、函数的图象经变换得到的图象的两种途径
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数的对称轴为，对称中心为；
（2）函数的对称轴为，对称中心为；
（3）函数函数无对称轴，对称中心为；
（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．
（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为
考点剖析
考点一、任意角和弧度制
例1．（2024·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2024·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）折扇图1在我国已有三千多年的历史，.它常以字画的形式体现我国的传统文化图2为其结构简化图，设扇面A，间的圆弧长为，，间的圆弧长为，当弦长为，圆弧所对的圆心角为，则扇面字画部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
例4．（2024·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2024·全国·高一专题练习）已知为第二象限角，那么是（ ）
A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角
C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角
考点二、三角函数的概念
例6．（2024·河南郑州·高一郑州十一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·四川泸州·高一校考阶段练习）若角终边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
例8．（2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第次相遇时，点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2024·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知角的终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例10．（2024·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）若角的终边上有一点，且，则（ ）
A．4B．C．-1D．
例11．（2024·河北张家口·高一统考）若，且角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
考点三、诱导公式
例12．（2024·四川广安·高一统考期末）已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
例13．（2024·河南郑州·高一郑州外国语学校校联考阶段练习）已知．
(1)化简函数；
(2)若，求和的值．
例14．（2024·云南玉溪·高一玉溪市民族中学阶段练习）已知．
(1)化简；
(2)若为第三象限角，且，求的值．
例15．（2024·浙江·高一校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，角以轴的非负半轴为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点.
(1)若，求及的值；
(2)若，求点的坐标.
例16．（2024·广东惠州·高一惠州一中校考阶段练习）已知.
(1)求的值；
(2)当为第三象限角时，求的值.
考点四、三角恒等变换
例17．（2024·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知为锐角，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
例18．（2024·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考阶段练习）已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且.求
(1)；
(2).
例19．（2024·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知，，则 ．
例20．（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末） ．
例21．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考）已知，则 .
例22．（2024·陕西渭南·高三校考阶段练习）已知，，，，则 .
例23．（2024·重庆·高三西南大学附中校考）已知，，且，，则 .
考点五、三角函数的图像与性质
例24．（多选题）（2024·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数图象的一条对称轴是
D．若，，则的最小值为
例25．（多选题）（2024·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知函数，下列四个结论中正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
例26．（多选题）（2024·广东广州·高一铁一中学校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在单调递减
D．该图象向右平移个单位可得的图象
例27．（多选题）（2024·海南·高三校联考阶段练习）若函数则（ ）
A．的最小正周期为10B．的图象关于点对称
C．在上有最小值D．的图象关于直线对称
例28．（2024·湖北孝感·高一校考期末）已知函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)求在区间上的单调递减区间.
例29．（2024·四川遂宁·高一校联考期末）已知函数（，，）图象的相邻两条对称轴的距离是，当时取得最大值2.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)若函数的零点为，求.
考点六、伸缩变换
例30．（2024·新疆·高三校联考）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，则 .
例31．（2024·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为 .
例32．（2024·北京顺义·高一牛栏山一中校考）已知函数的图象的一部分如图所示，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
例33．（2024·全国·高一专题练习）把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
例34．（2024·河南省直辖县级单位·高二校考开学考试）将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位
例35．（2024·河南郑州·高一校考期末）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）
A．B．C．D．
例36．（2024·陕西西安·高三校考）以下平移能将函数的图象变成函数的图象的是（ ）
A．向右平移B．向左平移
C．向右平移D．向左平移
例37．（2024·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
例38．（2024·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
考点七、三角函数的应用
例39．（2024·全国·高一专题练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯四周景色如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，转一周需要．若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，当时，两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时，时间t的值是 ．
甲、乙两人的位置分别用点A、B表示，则，
经过后甲距离地面的高度为，
点B相对于点A始终落后，
此时乙距离地面的高度为．
则甲、乙距离地面的高度差
，
＝.
因为，所以，
所以两人距离地面的高度差h（单位：m）取最大值时
，解得.
即开始转动10分钟时，甲乙两人距离地面的高度差最大值为45．
故答案为：10．
例40．（2024·北京·高三北理工附中校考阶段练习）某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，已知该摩天轮从最低位置开始运行，乘客距离地面的距离（单位：米）会随摩天轮的运行时间（单位：分钟）的变化而变化.经长期观察，曲线可近似看成函数的图象.在运行一圈的时间里，观察了如下的数据：
由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为 .
例41．（2024·江苏淮安·高一统考期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．
例42．（2024·高一课前预习）
如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，将筒车简化为圆，以为原点，以与水平平行的直线为轴建立直角坐标系，设时，盛水筒位于，以为始边，以为终边的角为，动点每秒钟逆时针转过，则盛水筒的高度与时间的关系是 .
例43．（2024·贵州毕节·高一统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为.
①；
②点第一次到达最高点需要的时间为；
③在转动的一个周期内，点在水中的时间是；
④若在上的值域为，则的取值范围是；
其中所有正确结论的序号是 .
考点八、三角函数的综合运用
例44．（2024·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）已知.
(1)若，求在上的值域；
(2)若，求的最大值.
例45．（2024·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知（）．
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若的最小值为，求的对称中心．
例46．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)当时，求的最大值与最小值的和.
例47．（2024·重庆永川·高一重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)求在上的值域；
(3)试讨论函数在上零点的个数.
例48．（2024·浙江温州·高一校考阶段练习）已知函数．
(1)已知，求的值；
(2)已知函数，若对任意的，均有，求实数的取值范围．
例49．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，且函数的图象与函数的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在x∈[0,），使等式成立，求实数m的最大值和最小值．
例50．（2024·江苏扬州·高三统考）定义域为R的函数是奇函数.
(1)求实数a的值；
(2)若存在，使得成立，求实数k的取值范围.
考点九、ω的取值与范围问题
例51．（2024·河南郑州·高一河南省实验中学校考阶段练习）已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，则的范围为 .
例52．（2024·浙江杭州·高一浙江大学附属中学）已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是 .
例53．（2024·四川成都·高一成都外国语学校校考开学考试）函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）
A．B．
C．D．
例54．（2024·湖南长沙·高二长沙市南雅中学校考阶段练习）已知，（），若函数在区间内不存在对称轴，则的范围为（ ）
A．B．
C．D．
例55．（2024·陕西·统考模拟预测）已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（ ）
A．B．C．D．
例56．（2024·山西·高三校考阶段练习），函数在上单调递增，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
例57．（2024·山西太原·高一山西大附中校考阶段练习）已知函数在是增函数，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
过关检测
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·高一扬州大学附属中学校考阶段练习）的值是( )
A．B．C．D．
2．（2024·内蒙古赤峰·高一校考期末）函数是（ ）
A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数D．周期为的奇函数
3．（2024·新疆乌鲁木齐·高一新疆农业大学附属中学校考期末）已知函数是偶函数，则的值为（ ）
A．B．1C．1或D．
4．（2024·陕西西安·高一交大附中校考阶段练习）若，则的化简结果是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·湖南长沙·高一校联考阶段练习）已知角的顶点为平面直角坐标系的原点，始边与x轴非负半轴重合，若角的终边所在直线的方程为，则的值为（ ）
A．B．C．3D．5
6．（2024·江苏南通·高一统考阶段练习）已知在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·甘肃白银·高一校考期末）已知，且为第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·浙江温州·高一温州市第五十一中学校考阶段练习）已知函数，则的单调递增区间是（ ）
A．B．C．，D．，
二、多选题
9．（2024·江苏无锡·高一校考阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．若是第一象限角，则
B．终边经过点的角的集合是
C．对，恒成立
D．若，且，则
10．（2024·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）下列选项正确的是（ ）
A．若锐角的终边经过点，则
B．△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的充要条件
C．函数的对称中心是（）
D．若，则
11．（2024·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的最小正周期是B．的最小值是
C．的对称轴是，D．在上单调递减
12．（2024·四川宜宾·高一统考阶段练习）已知为上的奇函数，且当时，，记，下列结论中正确的是（ ）
A．为奇函数
B．若的一个零点为，且，则
C．若在上的所有零点和记为，则
D．在区间的零点个数为5个
三、填空题
13．（2024·四川成都·高一校联考期末）若扇形的弧长为8，圆心角为，则扇形的面积为 .
14．（2024·江苏南通·高一统考阶段练习）已知，则 ，若，则 .
15．（2024·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）已知函数，且，则 ．
16．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数的一部分图象如图所示，其中，，，则 ．
四、解答题
17．（2024·四川成都·高一校联考期末）已知.
(1)求；
(2)求的值.
18．（2024·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点B，点B的横坐标为.
(1)求的表达式，并求；
(2)若，，求的值.
19．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.
20．（2024·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期、对称中心、单调减区间；
(2)若定义在区间上的函数的最大值为6，最小值为，求实数的值．
21．（2024·浙江宁波·高一浙江省宁波市鄞州中学校考阶段练习）已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数b的取值范围．
22．（2024·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校考阶段练习）已知函数，且满足函数图象相邻两条对称轴间的距离为，函数为奇函数.
(1)求在区间上的最大值和最小值，并写出对应的值；
(2)设函数在区间上的所有零点依次为，，，，求的值.
函数
正弦函数
定义域
值域
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点；最小值点
对称中心
对称轴
函数
余弦函数
定义域
值域
奇偶性
偶函数
周期性
最小正周期
单调区间
增区间
减区间
最值点
最大值点
最小值点
对称中心
对称轴
0
3
4.5
6
9
12
13.5
12
34
56
78
100
78
56
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