【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假巩固训练专题04+数列通项与求和技巧总结（十大考点）-练习

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核心考点聚焦
考点一：累加法
考点二：累乘法
考点三：待定系数法
考点四：同除以指数
考点五：取倒数法
考点六：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
考点七：错位相减法
考点八：分组求和与并项求和法
考点九：裂项相消法
考点十：倒序相加法
知识点一：数列通项
类型Ⅰ观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
= 2 \* GB3 ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
= 3 \* GB3 ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
= 4 \* GB3 ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ构造数列法：
㈠形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
㈡形如型的递推式：
⑴当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
⑵当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
⑶当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
知识点二：数列求和
1、公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
（3）一些常见的数列的前n项和：
①；
②；
③；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
2、几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
1、常见的裂项技巧
积累裂项模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
积累裂项模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
积累裂项模型3：指数型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），设，易得，
于是
（7）
积累裂项模型4：对数型
积累裂项模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
则
考点剖析
考点一：累加法
例1．（2024·福建·高二统考）若数列满足，，则（ ）
A．511B．1023C．1025D．2047
例2．（2024·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A．B．C．D．
例3．（2024·安徽安庆·高二安徽省桐城中学校考期末）如果数列满足，，且，那么此数列的第项为（ ）
A．B．C．D．
考点二：累乘法
例4．（2024·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列的项满足，而，则＝（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
例6．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）已知，，则数列的通项公式是（ ）
A．nB．C．2nD．
考点三：待定系数法
例7．（2024·河北沧州·高二河北省吴桥中学校考阶段练习）已知数列满足，，则该数列的通项公式 ．
例8．（2024·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）数列满足且，则数列的通项公式是 ．
例9．（2024·福建福州·高二校联考期末）数列中，，，则此数列的通项公式 .
考点四：同除以指数
例10．（2024·山东淄博·高二校考）已知数列满足，，则数列的通项公式为
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
例12．（2024·辽宁营口·高一营口市第二高级中学校考期末）数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
变式1．（2024·高二课时练习）已知在数列中，，，则 ．
考点五：取倒数法
例13．（2024·浙江杭州·高二杭州四中校考）已知数列的递推公式，且首项，则 .
例14．（2024·高三课时练习）在数列中，已知，，则的通项公式为 ．
例15．（2024·湖北黄石·高二校联考阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为 .
变式2．（2024·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）已知数列，则数列的通项公式 ．
考点六：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例16．（2024·江苏泰州·高二校联考）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ．
例17．（2024·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ．
例18．（2024·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
变式3．（2024·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知数列的首项，前n项和为，若，则 ．
变式4．（2024·新疆省直辖县级单位·高二新疆石河子一中校考阶段练习）已知数列满足．则的通项公式为 ．
变式5．（2024·山东青岛·高二统考）设是数列的前项和，，，则 .
考点七：错位相减法
例19．（2024·广西玉林·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
例20．（2024·河南商丘·高二商丘市第二高级中学校考阶段练习）已知公比为2的等比数列满足成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
例21．（2024·浙江温州·高二温州中学校考阶段练习）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求的前项和.
变式6．（2024·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考阶段练习）已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
考点八：分组求和与并项求和法
例22．（2024·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
例23．（2024·广东·校联考二模）在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
例24．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知等差数列的首项为1，公差为2．正项数列的前项和为，且．
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
变式7．（2024·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）设等比数列的前项和为，已知．
(1)求实数的值；
(2)设，求数列的前项和．
考点九：裂项相消法
例25．（2024·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．
(1)求与通项公式；
(2)设，求的前项和．
例26．（2024·甘肃白银·高二校考期末）已知数列的通项公式，其前项和为．
(1)若，求正整数；
(2)若，求数列的前项和．
例27．（2024·湖南·高二校联考阶段练习）给定数列，若满足 且 ，且对于任意的 ，都有 ，则称 为“指数型数列”. 若数列 满足: ，，.
(1)判断数列 是否为“指数型数列” ? 若是，给出证明; 若不是，请说明理由;
(2)若 ，求数列的前 项和 .
变式8．（2024·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，数列的前项和为，求证：．
变式9．（2024·广东·高二广东两阳中学校联考阶段练习）已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
变式10．（2024·辽宁·高二凤城市第一中学校联考阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则 ．
变式11．（2024·辽宁锦州·高二统考期末）已知函数，则 ；设数列满足，则此数列的前2023项的和为 ．
变式12．（2024·高一单元测试）设，若，试求：
（1） ；
（2） ．
变式13．（2024·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为 .
过关检测
一、单选题
1．（2024·陕西榆林·高一陕西省神木中学校联考期末）已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·甘肃白银·高二校考期末）已知数列的通项公式为，则该数列的第项为（ ）
A．1B．
C．D．
3．（2024·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考阶段练习）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第21项B．第22项C．第23项D．第24项
5．（2024·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）已知数列的前项和，满足条件，则的值是（ ）
A．4044B．4045C．4046D．4047
6．（2024·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2024·陕西咸阳·高二校考阶段练习）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．，
C．D．
8．（2024·湖北黄冈·高二校考阶段练习）已知数列满足递推关系：，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2024·安徽芜湖·高二校考阶段练习）若数列的前项分别为，，，，则这个数列的通项公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·高二课时练习）已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）设数列的前项和为，且，则（ ）
A．数列是等比数列B．
C．D．的前项和为
12．（2024·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）若数列的前四项依次是2，0，2，0，则的通项公式可能是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．（2024·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考）已知数列的前n项和为，且，，则 ．
14．（2024·安徽亳州·高二校考阶段练习）已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
15．（2024·福建泉州·高二统考阶段练习）已知数列满足，，则 .
16．（2024·浙江嘉兴·高二嘉兴一中校考阶段练习）等差数列中，若，数列的前项和为，则 .
四、解答题
17．（2024·湖北·高二期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和
18．（2024·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）设是等比数列且公比大于0，其前项和为是等差数列，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求满足的最大整数的值．
19．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·高三统考阶段练习）设公差不为0的等差数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和满足：，求数列的前项和.
20．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，试问：是否存在正整数，，使得？若存在，求出满足条件的所有，的值；若不存在，请说明理由．
21．（2024·河北石家庄·高三校联考期末）已知数列满足．
(1)若为等差数列，求的通项公式；
(2)记的前项和为，不等式对恒成立，求的取值范围．