【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假巩固训练专题02+直线与圆的综合应用问题（九大考点）-练习

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核心考点聚焦
考点一：直线与圆的位置关系的判断
考点二：弦长与面积问题
考点三：切线问题、切线长问题
考点四：切点弦问题
考点五：圆上的点到直线距离个数问题
考点六：圆中的最值（范围）问题
考点七：圆与圆的位置关系
考点八：两圆的公共弦问题
考点九：两圆的公切线问题
一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二．直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
三．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
考点剖析
考点一：直线与圆的位置关系的判断
例1．（2023·天津滨海新·高二天津市滨海新区田家炳中学校考阶段练习）直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【解析】圆：的圆心，半径，
故圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，
故选：A
例2．（2023·重庆·高二统考期末）直线l：与圆C：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．都有可能
【答案】A
【解析】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为，
圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆C的位置关系是相交.
故选：A.
例3．（2023·江苏常州·高二校联考期中）若点在圆内，则直线与圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不能确定
【答案】C
【解析】因为点在圆内，
所以，
设圆心到直线的距离为,
则，
圆的半径,
因为，所以直线与圆的位置关系为相离.
故选：.
例4．（2023·高二课时练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【解析】由曲线，可得，
又由直线，可化为，直线恒过定点，
作出曲线与直线的图象，如图所示，
结合图象，可得，所以，
当直线与曲线相切时，可得，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
考点二：弦长与面积问题
例5．（2023·黑龙江哈尔滨·高二校考期末）直线被圆截得的弦长为 .
【答案】
【解析】圆的圆心为原点，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为.
故答案为：.
例6．（2023·宁夏银川·高二贺兰县第一中学校联考期中）当直线被圆截得的弦长最短时，实数 ．
【答案】
【解析】将直线，化为，
令，解得，所以直线过定点，
又圆的标准方程为，则圆心为，
由，则点在圆内，
故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短，
则，解得．
故答案为：．
例7．（2023·云南昆明·高二云南师大附中校考阶段练习）设直线与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是 ．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
由题意弦的长为，
则，则，解得．
故答案为：.
例8．（2023·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知点的坐标为，点是圆上的两个动点，且满足，则面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，，的中点，
点，为圆上的两动点，且，
，①，
，②，
③
由③得，即④，
把②中两个等式两边平方得：，，
即⑤，
把④代入⑤，可得，即在以为圆心，以为半径的圆上．
则的最大值为．
所以．
当且仅当，的坐标为时取等号．
故答案为：
例9．（2023·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知直线与圆相切，且被圆截得的弦长为，则 ； ．
【答案】
【解析】因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离，解得或（舍去），
则直线的方程为：，
又被圆截得的弦长为，
所以圆心到直线的距离，
解得或（舍去）.
故答案为：；
例10．（2023·天津武清·高二统考期中）已知直线与 交于A，B两点，写出满足的面积为的实数m的一个值 .
【答案】（任意一个也对）
【解析】的圆心为，半径为，
则圆心到的距离为，
则，
故，解得或，
当时，，解得，
当时，，解得，
故或
故答案为：（任意一个也对）
例11．（2023·北京昌平·高二统考期末）已知圆，直线l过点且与圆O交于A，B两点，当面积最大时，直线l的方程为 ．
【答案】
【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
则由，得，所以
,
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为
原点到直线l的距离为：

当且仅当，即时取得等号.
由，解得
由
故直线l的方程为：，即
故答案为：
考点三：切线问题、切线长问题
例12．（2023·贵州·高二统考阶段练习）已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则 .
【答案】
【解析】由，得，
所以圆的圆心为，半径为3.
因为直线是圆的对称轴，
所以经过点.
由，得，
所以的坐标为.
因为圆的半径为3，
所以.
故答案为：.
例13．（2023·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考期中）写出过点且与圆相切的直线方程 .
【答案】或
【解析】易知圆的圆心，半径，
易知该切线斜率存在，不妨设切线方程为，
则圆心到切线的距离为或，
则切线方程为：或.
故答案为：或.
例14．（2023·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程 ．
【答案】或
【解析】由已知圆心为，半径.，
又，所以点在圆外，
当直线斜率不存在时，直线的方程为.
此时，圆心到直线的距离，
所以直线是圆的切线；
当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
整理可得，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
即，解得，
所以切线方程为：即，
综上所述所求的切线方程为：或，
故答案为：或
例15．（2023·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为 ．
【答案】
【解析】∵圆的圆心为，半径
∴圆心C到直线的距离为
当点P在直线上运动时，P与圆心C在直线上的射影重合时，
切线长达到最小值．设切点为A，得中，
即切线长（此点到切点的线段长）的最小值为．
故答案为：.
考点四：切点弦问题
例16．（2023·河北·高二校联考期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】
由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点．
因为,，
则，
所以直线的方程为．
故答案为：.
例17．（2023·全国·高三专题练习）从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为．
例18．（2023·湖北·高三统考阶段练习）过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】设，则有①，
又由圆的圆心为，直线，是圆的两条切线，为切点，则，，
则点均在以为直径的圆上，设的中点为，
则圆的方程为，
化简得；
直线即为两圆的公共弦，所以对于和，
两式相减可得直线的方程为，
由①可得，，整理得，
由得
故直线过定点，
因为，说明在圆内，
当时，此时最小，为
故答案为：
例19．（2023·福建宁德·高二统考期中）过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是 ．
【答案】
【解析】设切点分别为，因为点在圆上，所以以为切点的切线方程分别为：，而点在两条切线上，所以，即点P满足直线.
故答案为：.
考点五：圆上的点到直线距离个数问题
例20．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为2．
若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，
则圆心到直线的距离满足，
则，
解得．
故选：C．
例21．（2023·四川·高二校联考期末）若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为圆心到直线的距离，
故要满足题意，只需，解得.
故选：A.
例22．（2023·河南南阳·高二统考阶段练习）若圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将圆化为标准方程得，
故圆的圆心坐标为，半径.
由圆上到直线的距离等于1的点恰有3个，
知圆心到直线的距离，
解得.
故选：A.
例23．（2023·辽宁·高二校联考期中）已知圆：（），直线：．若对任意实数，圆上到直线的距离为1的点有4个，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设直线过定点，
不论取何值，到直线最远的距离始终为，
，
解得．
故选：D．
考点六：圆中的最值（范围）问题
例24．（多选题）（2023·福建泉州·高二校联考期中）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是B．的最大值是
C．的最小值是D．的最大值是
【答案】BC
【解析】因为：，化简为：，所以：圆的圆心，半径为.
对于A项：表示圆上的点到定点距离的平方，如图所示：
所以：的最大值为：，故A项错误；
对于B项：表示圆上的点与点的连线的斜率，如图所示：
设，由圆心到直线的距离：，即：解得：，
所以的最大值为，故B项正确；
对于C、D项：表示圆上任意一点到直线的距离的倍，如图所示：
又圆心到直线的距离，所以：圆上任意一点到直的距离的最小值为：，最大值为：，
所以：的最小值为：，最大值为：，故C项正确，D项错误.
故选：BC.
例25．（多选题）（2023·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知，圆，为圆上动点，下列正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为D．最大时，
【答案】ABC
【解析】对于A中，因为，可得，
如图所示，可得
当且仅当三点共线时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确.
对于B中，设的中点为，则，
所以，所以B正确；
对于C中，令，当直线与圆相切时，取值最值，
由圆心到直线的距离，解得，
所以的最小值为，所以C正确；
对于D中，当与圆相切时，取得最大值，
因为，圆的圆心为，可得，
此时，所以D错误.
故选：ABC.
例26．（多选题）（2023·山东泰安·统考三模）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
【答案】ABD
【解析】将方程化为标准方程可得，
圆的圆心为，半径为，
对于A选项，设，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，整理可得，解得，AB都对；
对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示：
由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即，
故的最大值为，C错；
对于D选项，设，则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
所以，的最大值为，D对.
故选：ABD.
例27．（多选题）（2023·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）若动点在方程所表示的曲线上，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线关于原点成中心对称图形B．曲线与两坐标轴围成的面积为
C．的范围为D．动点与点连线斜率的范围是
【答案】ABD
【解析】因为，且，，
所以，
当时，即或，
当时，
当时，
当，将等式两边平方整理得，
所以曲线的图象如下所示：
由图可知曲线关于原点成中心对称图形，曲线与两坐标轴围成的面积为，所以选项AB正确；
设，它表示斜率为纵截距为的直线系，如图，
当直线系和曲线相切时，；
当直线系经过时，；当直线系经过时，；
所以的范围为，所以选项C错误；
当点位于点时，直线的斜率最大为，当点位于点时，直线的斜率最小为，所以选项D正确.
故选：ABD
例28．（多选题）（2023·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若实数、满足条件，则下列判断正确的是（ ）
A．的范围是B．的范围是
C．的最大值为1D．的范围是
【答案】BD
【解析】对于选项A、B、C利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求解对于A，，故，化简得，
，所以，，A错
对于B，，又因为实数、满足条件，故，所以，，B对
对于C，由于，所以，，
故，化简得，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，C错
对于D， 即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，
即时，直线与圆相切，
当过定点的直线的斜率存在时，令，
则可看作圆上的动点到定点的连线的斜率，
可设过定点的直线为：，
该直线与圆相切，圆心到直线的距离设为，
可求得，化简得，故，故D对
故选：BD
考点七：圆与圆的位置关系
例29．（2023·山东潍坊·高二统考期中）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切B．内切C．外离D．相交
【答案】D
【解析】因为的圆心为，半径，的圆心为，半径，
所以，
所以，
所以与两圆相交，
故选：D.
例30．（2023·陕西西安·高二校考阶段练习）已知，则两圆的位置关系为（ ）
A．相切B．外离C．内含D．相交
【答案】D
【解析】因为可化为
则，半径，
因为可化为，
则，半径，
则，因为，
所以两圆相交.
故选：D.
例31．（2023·四川成都·高二校考阶段练习）已知两圆和相交，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由圆，设圆心且半径，
由圆，设圆心且半径，由，
所以时，两圆相交，则，
故选：C.
例32．（2023·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知圆：与圆：外切，则的值为（ ）
A．1B．5C．9D．21
【答案】A
【解析】因为圆：与圆：外切，
所以，解得.
故选：A.
考点八：两圆的公共弦问题
例33．（2023·广东佛山·高二统考期中）已知圆与圆相交于两点．则 ．
【答案】
【解析】因为圆与圆，
经检验，知这两圆相交，
两圆方程相减可得直线方程为，
而圆的圆心为，
所以圆心到直线的距离为，
所以.
故答案为：.
例34．（2023·山东淄博·高二校考期中）圆与圆的公共弦长为
【答案】
【解析】由已知圆的圆心为，半径
圆即的圆心为，半径，
联立两圆得，即，
所以公共弦方程为，
所以点到直线的距离，
所以弦长为，
故答案为：.
例35．（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期中）圆与圆的公共弦所在的直线的方程为 ，弦长为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，两圆方程相减可得公共弦方程为，
化简得公共弦所在直线方程为，
圆的标准方程为，
其圆心，半径，
圆心到公共弦的距离，
所以公共弦长为．
故答案为：；.
例36．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 .
【答案】
【解析】圆与圆的公共弦方程为，
即，令，解得，
所以公共弦所在直线恒过点.
故答案为：
考点九：两圆的公切线问题
例37．（2023·安徽·高二校联考期中）已知圆，圆，其中．若圆，仅有2条公切线，则a的值可能是 （给出满足条件的一个值即可）．
【答案】5（答案不唯一，填写5，6，7，8，9均可）
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，
因为圆，仅有条公切线，所以圆，相交，
所以，即，所以或，
又，所以或或或或.
故答案为：5（答案不唯一，填写5，6，7，8，9均可）
例38．（2023·福建泉州·高二统考期中）圆：与圆：的公切线条数为 .
【答案】
【解析】由圆，可得圆心，半径为，
又由圆，可得圆心，半径为，
可得，且，所以，
所以两圆与相外离，所以圆与圆的公切线的条数为.
故答案为：.
例39．（2023·河北·高二校联考期中）圆与圆有条公切线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】圆，圆心，半径，
圆，即，圆心，半径，，，
又因为两圆有条公切线，所以两圆相外离，
即，
即，解得，
故答案为：.
例40．（2023·广东广州·高二广东实验中学校考期中）已知圆，直线的方程，圆关于直线对称的圆为，则所表示的一系列圆的公切线方程为 .
【答案】或
【解析】圆的圆心为，设关于直线对称点为，
则解得，
圆的方程为，圆心为，半径，
若公切线的斜率不存在，圆心到直线的距离，符合题意；
若公切线的斜率存在，设直线与圆系中的所有圆都相切，则，
即，
直线与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的值都成立，
所以有，解得，
所以所表示的一系列圆的公切线方程为.
综上可得所表示的一系列圆的公切线方程为或.
故答案为：或
过关检测
一、单选题
1．（2023·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A．或B．1或
C．或3D．或
【答案】C
【解析】由圆心为，半径为，
即，
则，
解得或.
故选：C.
2．（2023·吉林·高二校联考阶段练习）已知直线与圆：交于，两点，则（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】B
【解析】由题意得圆：，
则圆心到直线的距离为，
所以.
故选：B.
3．（2023·广东东莞·高二东莞一中校考期中）圆与圆的公共弦所在直线与两坐标轴所围成的三角形面积为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】由题意得圆的圆心为，半径为1，
圆的圆心为，半径为2，
则两圆圆心距为，而，即圆与圆相交，
故将和相减得，
即圆与圆的公共弦所在直线方程为，
令，则；令，则，
故与两坐标轴所围城的三角形面积为，
故选：C
4．（2023·陕西西安·高二校联考阶段练习）已知是圆上一点，是圆上一点，则的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】因为，，所以，且两圆的半径分别为，即两圆外离，
所以的最小值为.
故选：B
5．（2023·广东深圳·高二校考期中）已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，直线，
可变形可得，
联立，解得，则直线恒过定点，记为，
圆的圆心为，半径，则，
又为圆的弦，设的中点为，则有，
所以，
易知，记，则，，
所以的面积
，
当且仅当，即时，等号成立.
即的面积的最大值为.
故选：D.
6．（2023·湖南邵阳·高二校考阶段练习）已知点在直线上，点在圆上，则下列说法不正确的是（ ）
A．点到直线的最大距离为B．若直线被圆所截得的弦长最大，则
C．若直线为圆的切线，则的取值范围为D．若点也在圆上，则到直线的距离的最大值为
【答案】C
【解析】对于A，由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为，
设圆心到直线的距离为，
当时，；当与直线不垂直时，，
则，所以点到的最大距离为，故A正确；
对于B，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得，所以，故B正确；
对于C，若为圆的切线，则，解得，故C错误；
对于D，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，
当直线与圆相切时，到的距离取最大值，故D正确．
故选：C．
7．（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，
故两圆外切，
所以公切线有3条，
故选：C
8．（2023·湖北黄冈·高二校联考期中）已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ）
A．10B．14C．18D．20
【答案】B
【解析】
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
因为，所以，
所以点为以为直径的圆上的点，
，中点为，
则点的轨迹方程为，
，
所以当点到直线的距离最大时，的面积最大，
，直线的方程，即，
设点到直线的距离为，圆心直线的距离为，半径为，
则，
所以的面积最大值为.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·山东青岛·高二统考期中）已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内
B．圆上的点到直线的最小距离为1
C．圆和圆的公切线长为2
D．圆和圆的公共弦所在的直线方程为
【答案】BCD
【解析】圆的圆心和半径分别为,圆的圆心和半径为，
对于A，由于，故点在圆外，故A错误，
对于B，到的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，B正确，
对于D,由于,故两圆相交，
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为：，故D正确，
对于C，由于两圆相交，所以外公切线的长度为，C正确，
故选：BCD
10．（2023·广东广州·高二校考阶段练习）已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l必过点
B．直线l与圆E必相交
C．圆与圆E有3条公切线
D．当时，直线l被圆E截得的弦长为
【答案】BC
【解析】A：由，则必过定点，错；
B：将定点代入圆，有，
故点在圆内，即直线l与圆E必相交，对；
C：由题设且半径为，而且半径为，
所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，对；
D：由题设，则到直线的距离，
故直线l被圆E截得的弦长为，错.
故选：BC
11．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）已知直线与圆相交于不同的两点为坐标原点，则（ ）
A．直线过定点
B．
C．当时，
D．当时，最小值为
【答案】CD
【解析】由直线，可化为，即直线过定点，所以A选项不正确；
因为直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部，
所以，解得，所以B不正确；
当时，圆的方程为，可得圆心，又，
则，可得长的最小值为，最大值即为直径6，所以C选项正确；
当时，圆的方程为，
则，
当直线过圆心，此时，可得的最小值，
所以的最小值为，故D正确.
故选：CD．
12．（2023·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）设圆，直线， 则下列结论正确的为（ ）
A．的半径为2B．可能与相切
C．恒过定点D．当时， 被截得的弦长为2
【答案】AC
【解析】由圆，得圆心为，半径为，故A正确；
由直线，得，所以直线恒过定点，故C正确；
由，故定点在圆内，所以直线与圆恒相交，故B错误；
当时，直线，即，所以圆心到直线距离为，所以被截得的弦长为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
13．（2023·天津·高二天津市第九十五中学益中学校校考阶段练习）已知直线被圆截得的弦长为，则 ．
【答案】或
【解析】圆的方程可化为：，所以圆的圆心是，半径为.
又弦长为，所以圆心到直线的距离为：.
由，所以或.
故答案为：或.
14．（2023·江苏苏州·高二张家港市暨阳高级中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】设，由两边平方得，
即，，
，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
圆的圆心为，半径为，
依题意，圆与圆有公共点，
两圆的圆心距为，则，
解得.
故答案为：
15．（2023·四川·高二校考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，（1）圆的标准方程为 ；（2）若为圆上任意一点，则的最大值为 .
【答案】 40
【解析】因为，点满足，
设点，则，化简得：，即；
圆的方程可化为，设，
则（）
所以的最大值为40.
故答案为：40.
16．（2023·山东德州·高二统考期中）已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，则点坐标为 ；的最小值为 ．
【答案】 / /
【解析】由，，
可得，即，
所以，解得，
所以点，
又，，
则，
所以当时，取最小值为，
经检验，当时，两个方程均表示圆，且两圆相交，满足题意.
故答案为：，.
四、解答题
17．（2023·江苏泰州·高二校联考期中）已知两直线，
(1)求直线和的交点的坐标；
(2)若过点作圆的切线有两条，求的取值范围；
(3)若直线与，不能构成三角形，求实数的值.
【解析】（1）联立方程组，
即直线和的交点的坐标；
（2）由题意知点在圆外，，；
（3）若直线与，不能构成三角形，
则或或过点P，
当时，则，满足题意；
当时，，满足题意；
当过点P时，，
故实数的值为.
18．（2023·新疆和田·高二校考期中）已知圆方程为，直线方程为，则
(1)求圆圆心坐标及半径；
(2)判断直线与圆位置关系，若相交，求弦长.
【解析】（1）圆的标准方程为，则圆的圆心坐标为，半径为.
（2）圆心到直线的距离为，
所以，直线与圆相交，弦长为.
19．（2023·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．
【解析】（1）设圆的标准方程为，
代入题干得：，解得：
则圆的标准方程为：
（2）当过点的直线斜率不存在时，直线为：，此时圆心到直线的距离为所以相切，与题干不符；
当过点的直线斜率存在时，设直线的方程为：，即，
此时圆心到直线的距离为，又因为相交的弦长为，则.
所以，解得或
则直线的方程为：或
20．（2023·河北张家口·高二河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为.
(1)求圆的方程；
(2)过点引圆的切线，求切线的长.
【解析】（1）因，则的中点为，
又，则的中垂线方程为.
将其与欧拉线方程联立有，解得
故的外心为，则外接圆半径为，
故圆的方程为.
（2）设切点为，由题有，
故切线的长.
位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
几何特征
代数特征
无实数解
一组实数解
两组实数解
一组实数解
无实数解
公切线条数
4
3
2
1
0