期中模拟预测卷03（测试范围：第6章三角~8.2向量的数量积）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）

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1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．
一．填空题（共12小题）
1．若扇形的圆心角为30°，半径为1，则扇形的面积为 ．
【分析】根据弧长公式先求出弧长，然后利用扇形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：扇形的圆心角为，
则扇形的弧长l＝×1＝，
则扇形的面积S＝××1＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查扇形的面积的计算，利用扇形的弧长公式以及面积公式是解决本题的关键，是基础题．
2．在△ABC中，若，C＝60°，，则A＝ 450 ．
【分析】由已知结合正弦定理可求sinA，然后结合大边对大角即可求解A．
【解答】解：由正弦定理可得，，
所以sinA＝＝＝，
因为c＞a，所以C＞A，A为三角形内角，
故A＝45°．
故答案为：45°
【点评】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．
3．已知，则＝ ．
【分析】由已知结合二倍角公式及同角基本关系即可求解．
【解答】解：因为，
则．
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．
4．已知向量，夹角为45°，且，，则•＝ 1 ．
【分析】由平面向量数量积运算求解即可．
【解答】解：由向量，夹角为45°，且，，
则＝1×＝3，
则•＝4，
故答案为：1．
【点评】本题考查了平面向量数量积运算，属基础题．
5．已知tanθ＝，则sin2θ﹣2cs2θ＝ ﹣ ．
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
【解答】解：∵tanθ＝，
则sin2θ﹣2cs2θ＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．
6．已知函数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，则φ＝ ．
【分析】直接利用函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：数f（x）＝sin（3x+φ）（﹣＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，
所以（k∈Z），
解得φ＝（k∈Z），
由于﹣＜φ＜，
当k＝0时，φ＝．
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
7．关于x的方程cs2x+sinx﹣a＝0有实数解，则实数a的取值范围是 [﹣1，] ．
【分析】方程变形表示出a，利用同角三角函数间基本关系化简，配方后利用二次函数的性质及正弦函数的值域确定出a的范围即可．
【解答】解：方程cs2x+sinx﹣a＝0，
变形得：a＝cs2x+sinx＝﹣sin2x+sinx+1＝﹣（sinx﹣）2+，
∵﹣1≤sinx≤1，
∴a的范围为[﹣1，]．
【点评】此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
8．如图，海上某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为海里：在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为海里；货轮向正北由A处行驶到D处时，若灯塔B在方位角120°的方向上，则灯塔C与D处之间的距离为 海里．
【分析】利用方位角求出B的大小，利用正弦定理直接求解AD的距离，直接利用余弦定理求出CD的距离即可．
【解答】解：在△ABD值中，因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为12海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，
所以B＝45°，由正弦定理，
所以AD＝＝24海里．
在△ACD中，AD＝24，AC＝8，∠CAD＝30°，
由余弦定理可得：CD2＝AD2+AC2﹣2•AD•ACcs30°＝242+（8）2﹣2×24×8×＝192，
所以CD＝8海里，
故答案为：8．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，注意方位角的应用，考查计算能力．
9．已知f（x）＝Asin（ωx+φ），若函数y＝f（x）的图像如图所示，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）＝ 1+ ．
【分析】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式为f（x）＝sin（x﹣），得其最小正周期为8，求得一个周期内f（1）、f（2），…，f（8）的值，可求得f（i）＝0，从而可求得f（i）的值．
【解答】解：∵f（x）＝Asin（ωx+φ），
∴由图像知A＝1，T＝4，
∴ω＝＝，
由五点作图法可知，1×+φ＝0，
∴φ＝﹣，
∴f（x）＝sin（x﹣），
∴f（1）＝0，f（2）＝，f（3）＝1，f（4）＝，f（5）＝0，f（6）＝﹣，f（7）＝﹣1，f（8）＝﹣，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）＝0，又2220＝252×8+6，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2022）＝252×0+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）＝1+，
故答案为：1+．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的周期性，考查识图能力与运算求解能力，属于中档题．
10．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝2sinC，a2+c2﹣ac＝b2，则∠C＝ ．
【分析】利用正弦定理求出a，c关系，结合已知条件，推出b，c关系，然后利用余弦定理求解C即可．
【解答】解：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA＝2sinC，可得a＝2c，
代入a2+c2﹣ac＝b2，可得b＝c，所以csC＝＝＝，
因为C是三角形内角，所以C＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
11．已知α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），sinα＝，csβ＝﹣，则α+2β的值为 ﹣ ．
【分析】由同角三角函数的平方关系可得csα和sinβ的值，再由二倍角公式得sin2β和cs2β的值，然后根据两角和公式得cs（α+2β）和sin（α+2β）的值，并确定α+2β的取值范围，从而得解．
【解答】解：∵α∈（0，），sinα＝，
∴csα＝＝，
∵β∈（﹣π，﹣），csβ＝﹣，
∴sinβ＝﹣＝﹣，
∴sin2β＝2sinβcsβ＝2×（﹣）×（﹣）＝，
cs2β＝1﹣2sin2β＝1﹣2×（﹣）2＝，
∴cs（α+2β）＝csαcs2β﹣sinαsin2β＝×﹣×＝﹣＜0，
sin（α+2β）＝sinαcs2β+csαsin2β＝×+×＝＞0，
∵α∈（0，），β∈（﹣π，﹣），
∴α+2β∈（﹣2π，﹣），
∴α+2β∈（﹣，﹣π），
∴α+2β＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查三角恒等变换的综合，主要包含两角和差公式、二倍角公式，确定α+2β的取值范围是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．在△ABC中，若，则（tan2A﹣3）sin2C的最小值为 ．
【分析】由已知结合同角基本关系，二倍角公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为，所以B＝45°，
则（tan2A﹣3）sin2C＝（tan2A﹣3）sin[2π﹣2（A+B）]＝﹣（tan2A﹣3）sin（2A+）＝﹣＝﹣•cs2A＝①，
令t＝1+cs2A，
因为A∈（0，），所以t∈（0，2），
①＝＝＝4t+×2﹣6﹣6＝4，当且仅当4t＝×2，即t＝时取等号．
故答案为：4﹣6．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题．
二．选择题（共4小题）
13．已知非零向量，，，则“•＝•”是“＝”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】分别从充分性和必要性进行判断，由充分条件与必要条件的定义，即可得到答案．
【解答】解：当且，则＝0，但与不一定相等，
故不能推出，
则“•＝•”是“＝”的不充分条件；
由，可得，
则，即，
所以可以推出，
故“•＝•”是“＝”的必要条件．
综上所述，“•＝•”是“＝”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握平面向量的基本概念和基本运算，属于基础题．
14．设函数f（x）＝asinx+bcsx，其中a＞0，b＞0，若f（x）≤f（）对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．f（）＞（）
B．f（x）的图像关于直线x＝对称
C．f（x）在[，]上单调递增
D．过点（a，b）的直线与函数f（x）的图像必有公共点
【分析】由f（x）≤f（）对任意的x∈R恒成立得函数在x＝取得最大值，从而有asin+bcs＝，整理得a＝b，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．
【解答】解：由f（x）≤f（）对任意的x∈R恒成立得函数在x＝取得最大值，
所以asin+bcs＝，
整理得，a＝b，f（x）＝asinx+acsx＝sin（x+），
A：f（）＝a，f（）＝sin（）＝，
所以f（）＜f（），A错误；
B：f（）＝0与函数在对称轴处取得最值矛盾，B不正确；
C：令≤x+，k∈Z，
解得，，
显然不包含区间[，]，C不正确；
由于f（x）＝sin（x+）的定义域R，最大值，
故b＝a＜，从而点（a，b）的直线与函数f（x）的图像必有公共点，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用，属于中档题．
15．函数y＝sin（2x+φ）的图像向左平移个单位长度后与函数的图像重合，则|φ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角函数平移变换关系进行转化，结合三角函数的周期性进行求解即可．
【解答】解：＝sin（+2x+）＝sin（2x+），
函数y＝sin（2x+φ）的图像向左平移个单位长度后，
得到y＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），此时与y＝sin（2x+）重合，
则+φ＝2kπ+，即φ＝2kπ+，k∈Z，
当k＝0时，φ＝，当k＝﹣1时，φ＝﹣，
即|φ|的最小值是，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的变换关系以及周期性进行求解是解决本题的关键，是中档题．
16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cs2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]
【分析】将不等式﹣cs2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）＝+，利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三类讨论，
可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．
【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cs2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，
令f（y）＝+，
则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，
当y＞0时，f（y）＝+≥2＝3（当且仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；
当y＜0时，f（y）＝+≤﹣2＝﹣3（当且仅当y＝﹣6时取“＝”），f（y）max＝﹣3，f（y）min不存在；
综上所述，f（y）min＝3．
所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．
①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．
由于g′（t）＝1﹣＜0，
所以，g（t）＝t+在区间（0，1]上单调递减，
因此，g（t）min＝g（1）＝3，
所以a≤3；
②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；
③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；
综合①②③，﹣3≤a≤3．
故选：D．
【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cs2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）＝+，求得f（y）min＝3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．
三．解答题（共5小题）
17．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝，＝．
（1）用表示，，；
（2）求证：B，E，F三点共线．
【分析】（1）利用平面向量的线性运算化简即可；
（2）利用平面向量共线定理证明即可．
【解答】解：（1）＝＝，
＝+＝+，
＝＝（+）＝+；
（2）证明：∵＝﹣＝+﹣＝﹣，
＝﹣＝﹣＝（﹣）＝，
∴B，E，F三点共线．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量共线定理，属于基础题．
18．设，，且α，β满足．
（1）求的值；
（2）求cs（α+β）的值．
【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin（α+）的值，由α的范围求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cs（α+）的值；
（2）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin（β+）的值，由β的范围求出β+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cs（β+）的值，将所求式子利用诱导公式sin（+θ）＝csθ变形，其中的角+α+β变形为（α+）+（β+），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：（1）∵由题意可得5sinα+5csα＝8，
∴10（sinα+csα）＝8，即sin（α+）＝，
∵α∈（0，），∴α+∈（，），
∴cs（α+）＝＝；
（2）∵由题意可得sinβ+csβ＝2，
∴2（sinβ+csβ）＝2，即sin（β+）＝，
∵β∈（，），∴β+∈（，），
∴cs（β+）＝﹣，
∴cs（α+β）＝sin[+（α+β）]＝sin[（α+）+（β+）]
＝sin（α+）cs（β+）+cs（α+）sin（β+）
＝×（﹣）+×
＝﹣．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，在求值题中，这是一个重要的经验！
19．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB＝），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC＝θ．
（1）若θ＝，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；
（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．
【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周长；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c，csC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝2，BC＝＝3+，
∴△ABC的周长为6+3+3≈17.60米
（2）在△ABC中，由余弦定理：c2＝62＝a2+b2﹣2abcs60°，
∴a2+b2﹣ab＝36，
∴36+ab＝a2+b2≥2ab，即ab≤36，
∴S△ABC＝AC•BC•sin＝ab≤9，
此时a＝b，△ABC为等边三角形，
∴θ＝60°，（S△ABC）max＝9．
【点评】此题考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
20．已知函数f（x）＝sin2ωx+2sinωxcsωx﹣cs2ωx（ω＞0）．
（1）化简y＝f（x）的表达式；
（2）若y＝f（x）的最小正周期为π，求y＝f（x），x∈（0，）的单调区间与值域；
（3）将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移φ（φ∈[0，]）个单位长度，得到函数y＝g（x），且y＝g（x）图像关于x＝0对称．若对于任意的实数a，函数y＝g（λx），x∈[a，a+]与y＝1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数λ的取值范围．
【分析】（1）由二倍角正余弦公式，以及辅助角公式可得f（x）＝2sin（2ωx﹣）；
（2）由正弦函数的性质，可得f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，可求值域；
（3）由平移法则可得g（x）＝2sin[2x﹣2φ﹣]，又g（x）图像关于x＝0对称．可得g（x）＝﹣cs2λx，y＝1的公共点个数不少于6个且不多于10个，可得3•≤，且5•＞，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得：f（x）＝sin2ωx+2sinωxcsωx﹣cs2ωx
＝﹣（cs2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx
＝sin2ωx﹣cs2ωx
＝2sin（2ωx﹣）；
（2）y＝f（x）的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝1，f（x）＝2sin（2x﹣），
∵x∈（0，），∴2x﹣∈（﹣，），∴﹣＜sin（2x﹣）≤1，∴﹣1＜2sin（2x﹣）≤2，
由2x﹣＝，可得x＝，∴y＝f（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，值域为（﹣1，2]；
（3）将（2）中的函数f（x）图像上所有的点向右平移φ得y＝2sin[2（x﹣φ）﹣]，∴g（x）＝2sin[2x﹣2φ﹣]，
∵y＝g（x）图像关于x＝0对称，∴﹣2φ﹣＝+kπ，k∈Z，∴φ＝﹣+，k∈Z，
又φ∈[0，]，∴φ＝，∴g（x）＝﹣2cs2x．∴g（λx）＝﹣2cs2λx，
又对于任意的实数a，函数y＝g（λx），x∈[a，a+]与y＝1的公共点个数不少于6个且不多于10个，
∴3•≤且5•＞，解得9≤|λ|＜15，∴正实数λ的取值范围[9，15）．
【点评】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21．已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＜P⋅f（x）成立，则称函数f（x）是D上的P级递减周期函数，周期为T；若恒有f（x+T）＝P⋅f（x）成立，则称函数f（x）是D上的P级周期函数，周期为T．
（1）判断函数f（x）＝x2+3是R上的周期为1的2级递减周期函数吗，并说明理由？
（2）已知，y＝f（x）是[0，+∞）上的P级周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，当时，f（x）＝sinx+1．求当时，函数y＝f（x）的解析式，并求实数P的取值范围；
（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．
【分析】（1）利用P级递减周期函数定义，计算验证作答；
（2）根据给定条件，利用P级周期函数定义，依次计算n＝1，2，3时解析式，根据规律写出结论作答；
（3）假定存在符合题意的k值，利用P级周期函数定义列出方程，探讨方程解的情况即可作答．
【解答】解：（1）依题意，函数f（x）＝x2+3定义域是R，
2f（x）﹣f（x+1）＝2（x2+3）﹣[（x+1）2+3]＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1＞0，
即∀x∈R，f（x+1）＜2f（x）成立，
∴函数f（x）是R上的周期为1的2级递减周期函数；
（2）∵T＝，y＝f（x）是[0，+∞）上的Pxey周期函数，
∴f（x+）＝P•f（x），即f（x）＝P•f（x﹣），
当x∈[0，）时，f（x）＝sinx+1，
当x∈[，π）时，x﹣∈[0，），f（x）＝P[sin（x﹣）+1]，
当x∈[，2π）时，x﹣∈[π，），则f（x）＝Pf（x﹣）＝P3[sin（x﹣）+1]，
•••
当x∈[）时，x﹣∈[（n﹣1），），则f（x）＝Pf（x﹣）＝Pn[sin（x﹣n）+1]，
当x∈[0，）时，y∈[1，2），当x∈[，π）时，y∈[P，2P），当x∈[）时，y∈[P2，2P2），
当x∈[）时，y∈[Pn，2Pn），
∵y＝f（x）是[0，+∞）上的严格增函数，则有，解得P≥2，
∴当x∈[（n∈N*）时，f（x）＝Pn[sin（x﹣）+1]，且P∈[2，+∞）．
（3）假定存在非零实数，使函数f（x）＝（）x•cskx是R上的周期为T的T级周期函数，
即∀x∈R，恒有cs（kx+kT）＝T•2T•cskx成立，
当k≠0时，x∈R，则kx∈R，kx+kT∈R，
∴cskx∈[﹣1，1]，cs（kx+kT）∈[﹣1，1]，
要使cs（kx+kT）＝T•2T•cskx恒成立，则有T•2T＝±1，
当T•2T＝﹣1，即时，由函数y＝2x与y＝﹣的图解存在交点知方程有解，
∴存在k＝，m∈Z，符合题意，其中T满足T•2T＝1．
【点评】本题考查函数新定义问题，理解新定义、找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题解答，是中档题．