华师一附中2024届高三数学选填专项训练（11）

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【分析】设，分析函数在上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判断可得出合适的选项.
【详解】设，则函数在、上均为增函数，
又因为函数在上连续，故函数在上单调递增，
若，则，即；
若，则，可得.
因此，“”是“”的充要条件.
故选：C.
2．C
【分析】根据三角函数平移和伸缩变换原则依次判断各个选项即可.
【详解】记，变换后所得函数为，
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：C.
3．B
【分析】根据二项展开式的通项，让的指数为整数，求解符合条件的，求出有理项的数目，利用古典概型的概率计算公式，即可求解答案.
【详解】由题意，可得二项展开式的通项为，
根据题意可得为整数时，展开式的项为有理项，
则时，共有项，
而展开式共有项，
由古典概型的概率计算公式可得，所取项是有理项的概率为，
故选：B.
4．C
【分析】做出的图像，结合函数图像与对数运算即可得到结果.
【详解】
做出的图像，如图所示，可令，则由图知点，
关于直线对称，所以，
又，所以，
由于（互不相等），
结合图像可知点的坐标为，
代入函数解析式，得，解得，
故选:．
5．B
【分析】设,则,研究的对称性和单调性即可.
【详解】设，则.
即.
因为.
即函数关于对称.
所以是增函数,
因为.
所以.
则,得
故选：B
【点睛】关键点点睛:根据条件判断函数的对称性和单调性是解决本题的关键.
6．C
【详解】由题意可知，显然当直线斜率不存时，，
设直线斜率为k,此时存在两条直线满足，
设直线，
，
设，由,得
，
故选C.
点睛：本题综合性较强，将直线与圆，与抛物线联立起来，利用同一直线上的线段的长度比与两线段端点的纵坐标差的比成比例建立方程，再由根系关系将此方程转化为关于参数m的不等式，解出满足|AC|=|BD|的直线l只有三条的充要条件，再依据必要条件的定义比对四个选项找出必要条件
7．C
【解析】利用导数分析出函数在区间上为增函数，可得出，可知关于的方程在上有两个不等的实根，利用参变量分离法得出，令，由题意可得出直线与曲线在上的图象有两个交点，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】由题意可得，设，则，
所以当时，，
所以函数在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，
又因为，所以在上单调递增，
又在上的值域为，所以，
则方程在上的两个根为、，
由，可得，
构造函数，其中，，
令，其中，，
当时，，所以，函数在上单调递增，
当时，，即，此时函数单调递减；
当时，，即，此时函数单调递增.
所以，，，如下图所示：
由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
8．略
9．B
【分析】设,利用椭圆的方程可推得,再构造函数,分析当取得最小值时成立即可.
【详解】设,由题意知点为过原点的直线与双曲线的交点,
∴由双曲线的对称性得关于原点对称,
∴,,
∴,
∵点都在双曲线上,
∴,
两式相减,得：
所以
∴,
令,构造函数,
由得,
当时,;
当时,
所以当时,函数取得最小值,当且仅当时成立.
此时离心率.
故选：B
【点睛】本题主要考查了椭圆中的斜率之积定值的问题以及构造函数分析最值的方法,属于难题.
10．ABD
【分析】对于A，由二项式展开式的系数的性质判断即可，对于B，由题意可得，从而可求出的值，对于C，利用二项式展开式的系数的性质判断即可，对于D，当时，将代入结合可求得的值
【详解】，A正确；
的系数，则，所以，B正确；
若的展开式中第7项的二项式系数最大，当n为偶数，则n等于12，当n为奇数，则n等于11或13，C错误；
当时，，
令，则，又，
所以，D正确.
故选：ABD
11．BD
【分析】由图易得点C的横坐标为，所以的周期，所以,从而可得，根据三角函数的图象性质对选项进行逐一分析可得答案.
【详解】由图易得点C的横坐标为，所以的周期，所以，又，
所以，因此.
所以函数在上单调递增.
所以函数在上单调递减.
则函数在上单调递减，所以选项A 不正确.
由,得
函数的图象的对称中心为
所以函数的图象关于点成中心对称，故选项B正确.
函数的图象向右平移个单位得到，直线不是此时的对称轴，故选项C 不正确.
若圆半径为，则，
∴，函数的解折式为
故选：BD.
【点睛】本题考查根据三角函数的图象求解析式，考查三角函数的单调性和对称性等性质，属于中档题.
12．ABC
【分析】对于A，利用数列的递推关系得和当时，，再利用，结合等比数列的概念对A进行判断；对于B，利用A的结论，结合等比数列的通项公式得，当时，利用等比数列的求和，计算出；对于C，当时，利用指数幂的运算，对C进行判断；对于D，利用，计算得，对D进行判断.
【详解】对于A，在数列中，因为， 为非零常数，
所以当时，，解得，
当时，，
由得，即，又因为，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确；
对于B，由得，因此当时，，
所以，故B正确；
对于C，由得，因此当时，，
所以，故C正确；
对于D，由得，
因此，
，
所以，故D错误．
故选：ABC．
13．ACD
【分析】对A，连结，，通过证明平面和平面得出平面平面可证；对B，易得即为与平面所成角，求出即可；对C，利用可求；对D，由和证明平面即可.
【详解】对于A，连结，，因为，，
所以，，故，
同理可得，故，
所以F为的中点，又E为的中点，故，
又平面，平面，故平面，
又因为，，
所以，故，
又平面，平面，故平面，
又，，平面，
所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确；
对于B，因为平面，所以与平面所成的角即为，
因为，所以，则，
又，故，故选项B错误；
对于C，，
因为平面，，所以平面，
又，所以，
故，故选项C正确；
对于D，因为平面，平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故选项D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确利用线面平行、面面垂直的判断定理，正确寻找图中位置关系.
14．/0.45
【分析】结合组合数公式求得基本事件的总数，再分编号为4的球有且只有一个且为白球，编号为4的球有且只有一个且为红球和编号为4的球红球白球都取到，三种情况讨论，求得所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，从6个小球，任取3个小球，可得基本事件总数为种，
若编号为4的球有且只有一个且为白球，有种取法；
若编号为4的球有且只有一个且为红球，有种取法；
若编号为4的球红球白球都取到，有种取法，
小球编号最大值为4的基本事件个数为种，
所以小球编号最大值为4的概率力.
故答案为：
15．
【分析】对原不等式变形可得，构造函数，利用导数求解函数的单调性，结合函数图形列不等式组，即可求解的取值范围.
【详解】解：原不等式可化为，
令，由于，
因此当，函数单调递增；当，函数单调递减．
在同一直角坐标系中画出函数的图像如图，
结合图像可以看出：动直线经过定点，
则当且仅当，即时不等式的解集中恰有两个整数解，
故实数的取值范围为.
故答案为：．
16．
【分析】首先利用函数是偶函数，得，再利用导数判断函数的单调性，比较，和的大小关系，再比较函数值的大小.
【详解】是偶函数，则即，
所以，而，所以恒成立，所以.
.
若，当时，所以，所以，则在上单调递增；若，当时，所以，所以，
则在上单调递增，
综上在上单调递增.
而当且仅当时取到等号，但，
所以，所以.
故答案为：