专题1.1 实数（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用）

这是一份专题1.1 实数（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用），共12页。

1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；
2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；
3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.
【知识点梳理】
考点一、实数的分类
1.按定义分类：
2.按性质符号分类：
有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数．
无理数：无限不循环小数叫无理数．
实数：有理数和无理数统称为实数．
特别说明：
常见的无理数有以下几种形式：
（1）字母型：如π是无理数，等都是无理数，而不是分数；
（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；
（3）根式型：…都是一些开方开不尽的数；
（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cs29°等.
考点二、实数的相关概念
1.相反数
（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0；
（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；
（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.
2.绝对值
（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
可用式子表示为：
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．
用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．
特别说明：
若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.
3.倒数
（1)实数的倒数是；0没有倒数；
（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.
4.平方根
（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作．
（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作．
5.立方根
如果x3=a，那么x叫做a的立方根．
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．
考点三、实数与数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
特别说明：
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.
（2）实数和数轴上的点是一一对应的.
考点四、实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.
3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.
5.无理数的比较大小：
利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b；
或利用倒数转化：如比较与.
特别说明：
实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.
考点五、实数的运算
1.加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．
满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)．
2.减法
减去一个数等于加上这个数的相反数．
3.乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac．
4.除法
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．
5.乘方与开方
（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.
正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．
（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．
（3)零指数与负指数
特别说明：
加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．
考点六、有效数字和科学记数法
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.
把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．
特别说明：
（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；
（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.
【典型例题】
类型一、实数的有关概念
1．（1）的相反数是__________，的绝对值是________，立方等于的数是_______．
【答案】2 -4
解：﹣2的相反数是2，的绝对值是，立方等于﹣64的数是﹣4．
（2）（2021·四川广元·中考真题）如图，实数，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，点B关于原点O的对称点为D．若m为整数，则m的值为________．
【答案】-3
【分析】先求出D点表示的数，再得到m的取值范围，最后在范围内找整数解即可．
解：∵点B关于原点O的对称点为D，点B表示的数为，
∴点D表示的数为，
∵A点表示，C点位于A、D两点之间，
∴，
∵m为整数，
∴；
故答案为：．
【点拨】本题考查了数轴上点的特征，涉及到相反数的性质、对无理数进行估值、确定不等式组的整数解等问题，解决本题的关键是牢记相关概念和性质，本题蕴含了数形结合的思想方法．
（3）（2020·辽宁朝阳·中考真题）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
解：580亿＝58000000000=5.8×1010．
故答案为：5.8×1010．
【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
．举一反三：
【变式1】下列说法正确的是（ ）
A．1的相反数是﹣1B．1的倒数是﹣1
C．1的立方根是±1D．﹣1是无理数
【答案】A
解：A、1的相反数为-1，故A正确； B、1的倒数是1，故B错误；
C、1的立方根是1，故C错误； D、-1是有理数，是整数，故D错误．
故选A
考点：相反数的定义
【变式2】（2016·山东烟台·中考真题）如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为__________ ．
【答案】
解：根据题意得，等腰△ABC中，OA=OB=3,由等腰三角形的性质可得OC⊥AB，根据勾股定理可得OC=，又因OM=OC=，于是可确定点M对应的数为．
考点：勾股定理；实数与数轴．
【变式3】（2020·辽宁朝阳·中考真题）在全国上下众志成城抗疫情、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团2月24日宣布：在广东、江苏等地投资580亿元，开工建设25个新能源项目，预计提供17万个就业岗位将“580亿元”用科学记数法表示为____________元．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
解：580亿＝58000000000=5.8×1010．
故答案为：5.8×1010．
【点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
类型二、实数的分类与计算
2．（2018·黑龙江绥化·中考真题）在，，，，这五个数中，有理数有______个
【答案】3
【分析】根据有理数和无理数的定义进行判断即可得.
解：根据题意可得有理数有，，，，为无理数，
所以有理数有3个，
故答案为3．
【点拨】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义.
举一反三：
（2018·河南新乡·）下列实数,中，无理数有_______个.
【答案】3
解：根据无理数的定义可得：, 0.010010001..是无理数，共3个，故答案为：3.
3．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）计算：+（）﹣2﹣3tan60°+（π）0＝_____．
【答案】10
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
解：+（）﹣2﹣3tan60°+（π）0
＝3+9﹣3+1
＝10．
故答案为：10．
【点拨】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
举一反三：
【变式1】（2021·四川内江·中考真题）计算：．
【答案】-3
【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．
解：原式
．
【点拨】本题考查了特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等知识点，熟知相关运算法则是解题的关键．
【变式2】（2020·四川·中考真题）计算：（﹣2）-2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cs30°．
【答案】
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：（﹣2）﹣2﹣|﹣2|+（﹣）0﹣﹣2cs30°
＝﹣2++1﹣2﹣2×
＝﹣2．
【点拨】本题主要考查实数的混合运算及特殊三角函数值，熟练掌握运算法则及三角函数值是解题的关键．
类型三、实数大小的比较
4．（2021·山东临沂·中考真题）比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）．
【答案】＜
【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
解：∵，，
而24＜25，
∴＜5．
故答案为：＜．
【点拨】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
举一反三：
【变式1】 （2017·甘肃张掖·中考真题）估计与0.5的大小关系是：______0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）
【答案】＞
解：∵-0.5=，
∵＞0，
∴＞0．
故答案为：＞
【变式2】（2017·河北·中考真题）对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，因此_________；若，则x=_________．
【答案】 2或-1
解：因为，所以min{，}=.
当时，，解得(舍)，；
当时，，解得，(舍).
考点：新定义，实数大小的比较，解一元二次方程.
类型四、平方根的应用
5．（2021·四川达州·中考真题）已知，满足等式，则___________．
【答案】-3
【分析】先将原式变形，求出a、b，再根据同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算即可求解．
解：由，变形得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：-3
【点拨】本题考查了完全平方公式，平方、算术平方根的非负性，同底数幂的乘法、积的乘方的逆用等知识，根据题意求出a、b的值，熟知同底数幂的乘法、积的乘方是解题关键．
【变式1】 （2019·山东临沂·中考真题）一般地，如果，则称为的四次方根，一个正数的四次方根有两个．它们互为相反数，记为，若，则_____．
【答案】
【分析】利用题中四次方根的定义求解．
解：∵，
∴，
∴.
故答案为.
【点拨】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
【变式】（2013·四川巴中·中考真题）若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为_____．
【答案】5．
解：∵，
∴=0，b－4=0，解得a=3，b=4．
∵直角三角形的两直角边长为a、b，
∴该直角三角形的斜边长=．
类型五、实数运算中的规律探索
6．（2021·湖南怀化·中考真题）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
【答案】
【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
解：由题意规律可得：．
∵
∴，
∵，
∴．
．
．
……
∴．
故．
令
②-①，得
∴=
故答案为：．
【点拨】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．
举一反三：
【变式1】（2021·四川眉山·中考真题）观察下列等式：；
；
；
……
根据以上规律，计算______．
【答案】
【分析】根据题意，找到第n个等式的左边为，等式右边为1与的和；利用这个结论得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化为1﹣，化为﹣，化为﹣，再进行分数的加减运算即可．
解：由题意可知，，
＝1+1+1+…+1﹣2021
＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021
＝2020+1﹣﹣2021
＝．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．
【变式2】（2020·湖南张家界·中考真题）观察下面的变化规律：
，……
根据上面的规律计算：
__________．
【答案】
【分析】 本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
由题干信息可抽象出一般规律：（均为奇数，且）．
故
．
故答案：．
【点拨】本题考查规律的抽象总结，解答该类型题目需要准确识别题干所给的例子包含何种规律，严格按照该规律求解．