专题4.23 圆的基本性质（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用）

这是一份专题4.23 圆的基本性质（知识讲解）-2022年中考数学基础知识专项讲练（全国通用），共25页。

1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；
2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．
【考点梳理】
考点一、圆的有关概念及性质
1．圆的有关概念
圆、圆心、半径、等圆；
弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；
三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．
特别说明：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
2．圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
圆具有旋转不变性．
3．圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
特别说明：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
4．垂直于弦的直径
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
特别说明：在图中(1)直径CD，(2)CD⊥AB，(3)AM＝MB，(4)，(5)．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．
注意：(1)(3)作条件时，应限制AB不能为直径．

5．圆心角、弧、弦之间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．
6．圆周角
圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
特别说明：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．
考点二、与圆有关的位置关系
1．点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
点P在圆外d＞r；
点P在圆上d＝r；
点P在圆内d＜r．
特别说明：圆的确定：
①过一点的圆有无数个，如图所示．
②过两点A、B的圆有无数个，如图所示．
③经过在同一直线上的三点不能作圆．
④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．
2．直线和圆的位置关系
（1）切线的判定
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(会过圆上一点画圆的切线)
（2）切线的性质
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
（3）切线长和切线长定理
切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
特别说明：直线是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线经过⊙O上的一点A；②OA⊥．
3．圆和圆的位置关系
(1)基本概念
两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．
(2)请看下表：
特别说明：
①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点．
②同心圆是内含的特殊情况．
③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解．
④“R-r”时，要特别注意，R＞r．
【典型例题】
类型一、圆的性质及垂径定理的应用
1．（2022·浙江金东）如图，已知AB是圆O直径，过圆上点C作，垂足为点D．连结OC，过点B作，交圆O于点E，连结AE，CE，，．
(1)求证：△CDO∽△AEB．
(2)求sin∠ABE的值．
(3)求CE的长．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)
【分析】
（1）由题意和垂径定理可得∠AEB=∠ODC=90°，再由得到∠BOC=∠ABE即可证明结论；
（2）先根据题意求得OA、OB、OC OD、CD、AC的长，然后根据正弦的定义求得sin∠BOC，然后再根据∠BOC=∠ABE即可解答；
（3）连接OE并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC,即EF=AB=6，然后根据平行线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质证得△ADC∽△ECF，最后运用相似三角形的性质解答即可．
(1) 证明：∵AB是圆O直径
∴∠AEB=90°
∵
∴∠ODC=90°
∴∠AEB=∠ODC=90°
∵
∴∠BOC=∠ABE
∴．
解：∵
∴OA=OB=OC=3
∵，
∴OD=OB-BD=3-1=2,AD=AB-BD=5
∴CD=，
∴sin∠BOC=
∵∠BOC=∠ABE
∴= sin∠BOC=．
解：连接EO并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC，即EF=AB=6
∴∠ECF=90°,∠CAB=∠CEB
∴∠ADC=∠ECF=90°，
∴，
∵
∴∠OCE=∠CEB
∴∠CAB =∠OCE
∵OE=OC
∴∠OEC =∠OCE
∴∠CAB =∠OEC
∴△ADC∽△ECF
∴ ,即，解得：EC=．
【点拨】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
举一反三：
【变式】（2018·浙江湖州·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
详证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，
即OC⊥AD，
∴AE=ED；
（2）∵OC⊥AD，
∴ ，
∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ =．
点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答．
2．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．
【分析】
（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有．
【详解】
（1）解：连接OC，
∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线
∴，平分CD，
．
在中．
∴圆O的半径为
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．
，
又
在中
【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2021·北京·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
【答案】（1）见详解；（2），
【分析】
（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
类型二、圆的切线判定与性质的应用
3．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5
【分析】
（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；
（2）如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．
（1）证明：如图1，连接OC，
∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，
∵，
∴四边形OGEC是矩形，
∴，
设⊙O的半径为x，
Rt△CDE中，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径是4.5．
【点拨】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，内接于，是的直径，为上一点，，延长交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，可得，根据对顶角相等可得，进而可得，根据，可得，结合，根据角度的转化可得，进而即可证明是的切线；
（2）根据，可得，设，则，分别求得，进而根据勾股定理列出方程解方程可得，进而根据即可求得．
解答：（1），
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是的切线；
（2），
，
，
设，则，
，，
在中，，
即，
解得（舍去），
．
【点拨】本题考查了切线的判定，勾股定理解直角三角形，正切的定义，利用角度相等则正切值相等将已知条件转化是解题的关键．
4．（2021·四川内江·中考真题）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；
（3）连结，在（2）的条件下，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据同圆中等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠DAB，根据等边对等角得到∠DAB=∠ODA，则∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，进而得到OD⊥DE，据此即可得解；
（2）连接BD，根据相似三角形的性质求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，则∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根据S阴影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；
（3）过点E作EM⊥AB于点M，连接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，则MB=，再根据勾股定理求解即可．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
，的半径为2，
，
，
如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图，过点作于点，连接，
在中，，，
，
．
【点拨】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、扇形的面积、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质并证明△OGD∽△EGA求出AE是解题的关键．
举一反三：
【变式】（2021·云南·中考真题）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线：
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；
（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长．
解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ACB=90°，
∵OC，OB是圆O的半径，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
又∵∠DCA=∠ABC，
∴∠DCA=∠OCB，
∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，
∴OC⊥DC，
又∵OC是圆O的半径，
∴DC是圆O的切线；
（2）∵，
∴，化简得OA=2DA，
由（1）知，∠DCO=90°，
∵BE⊥DC，即∠DEB=90°，
∴∠DCO=∠DEB，
∴OC∥BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴，即，
∴DA=EB，
∵BE=3，
∴DA=EB=，
经检验：DA=是分式方程的解，
∴DA=．
【点拨】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．
类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用
5．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）①3；②
【分析】
（1）连接OC，利用切线的判定定理，证明OC⊥AC即可；
（2）要求的面积，结合（1）题，底边AB可求，只需再求出底边上的高CH即可；
（3）根据垂径定理可求CE的长，再利用锐角三角函数，可求CF的长；
由可知，点E在运动过程中，始终有，所以，求出CE的最大值，即可得到CF的最大值．
（1）证明：连结OC，如图所示．
∵AD＝CD ，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠A=30°．
∴∠CDB＝60°．
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC=60°．
∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°．
∴OC⊥AC．
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．
∵OD=OC，∠ODC=60°，
∴是等边三角形．
∴．
∴在中，
．
∵AB＝AD＋BD＝3，
∴．
（3）当点运动到与点关于直径BD对称时，如图所示．
此时，CE⊥AB，设垂足为K．
由（2）可知，．
∵BD为圆的直径，CE⊥AB，
∴CE＝2CK＝．
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°．
∵，
∴∠E=∠CDB＝60°．
在中，
∵，
∴．
如图所示：
由可知，在中，
∵，
∴．
∴当点E在上运动时，始终有．
∴当CE最大时，CF取得最大值．
∴当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为．
【点拨】本题考查了圆的切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理、圆周角定理的推论、锐角三角函数、求线段的最值等知识点，熟知切线的判定方法、垂径定理、圆周角定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式】（2021·四川南充·中考真题）如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．
（1）求证：AC是的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）先证得△AOB为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；
（2）过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N，利用勾股定理得出AC=，根据含30°的直角三角形的性质得出DN =，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF的长．
（1）证明：∵AB=OA，OA=OB
∴AB=OA=OB
∴△AOB为等边三角形
∴∠OAB=60°，∠OBA=60°
∵BC=OB
∴BC=AB
∴∠C=∠CAB
又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB
∴∠C=∠CAB=30°
∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵OA=4
∴OB=AB=BC=4
∴OC=8
∴AC===
∵D、E分别为AC、OA的中点，
∴OE//BC，DC=
过O作OM⊥DF于M，DN⊥OC于N
则四边形OMDN为矩形
∴DN=OM
在Rt△CDN中，∠C=30°，∴DN=DC=
∴OM=
连接OG，∵OM⊥GF
∴GF=2MG=2==2
【点拨】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
6．（2021·浙江·中考真题）如图，已知是⊙的直径，是所对的圆周角，．
（1）求的度数；
（2）过点作，垂足为，的延长线交⊙于点．若，求的长．
【答案】（1）； （2）
【分析】
（1）连结，根据圆周角性质，得；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；
（2）根据含角的直角三角形性质，得；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．
（1）证明：连结，

是的直径，
，
（2），，
∴
，，且是直径

．
【点拨】本题考查了圆、含角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．
【变式】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交边于点，连接．
(1)求证：．
(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．
(3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），，求证：．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)见解析
【分析】
(1)由题目已知角平分线相等得到两个相等，同弧所对的两个圆周角相等，从而证明两三角形相似；
(2)由(1)中的相似可以得到线段成比例，再由即可求得；
(3)要证即证，已知条件有一对角相等，利用外角关系可以证明，从而得证．
(1)证明：因为平分，
所以，
又因为，
所以．
(2)由(1)，知，
因为，
所以，
所以．
(3)因为，
又因为，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以．
【点拨】本题考查了圆的圆周角概念，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点，解题关键是要根据已知条件找到相似的两个三角形并通过角度的转换从而证明相似．