2023-2024学年江苏省镇江市丹阳高级中学高一下学期3月月考数学试题

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市丹阳高级中学高一下学期3月月考数学试题，文件包含江苏省镇江市丹阳高级中学高一下学期3月月考数学试题原卷版docx、江苏省镇江市丹阳高级中学高一下学期3月月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

1. 函数的一个单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】去掉绝对值，然后画出函数图象，进行判断即可
【详解】函数
图象如图所示：
由图可知：函数在单调递减
故选：C
【点睛】本题考查含绝对值的余弦函数的单调区间，关键在于画出函数图象，形象直观，属基础题.
2. 下列函数中周期为且为偶函数是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用函数的周期性排除，，再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除，从而可得答案．
【详解】解：：令，
则，
为奇函数，故可排除；
，
其周期，，
是偶函数，
是周期为的偶函数，故正确；
其周期，故可排除；
：同理可得的周期为，故可排除；
故选：．
【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性，考查诱导公式的应用，属于中档题．
3. 已知向量，，则是向量，夹角为钝角的（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】若向量，夹角为钝角，则满足，求出的范围，然后验证充分性与必要性.
【详解】
又因为向量，夹角为钝角
所以满足
所以且
因为推不出且，所以充分性不成立
又因为且能推出，所以必要性成立
所以是向量，夹角为钝角的必要不充分条件
故选：C
4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出，，再根据在上的投影向量为计算即可.
【详解】因为，
所以，，
所以在上的投影向量为，
故选：D.
5. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的值域为
C. 点是函数的图象的一个对称中心
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据解析式，求出的周期和值域以及对称中心，判断出和的正负，从而得到答案.
【详解】A：因为，
所以函数的最小正周期，故A正确.
B：由正切函数的图像和性质可知函数的值域为，故B正确.
C：由，，
得，，
当时，，
所以点是函数的图象的一个对称中心，故C正确.
D：因为，
，
所以，故D不正确.
故选：D.
6. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简，利用倍角公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，
，
.
因为函数在上是增函数，所以.
故选：C.
7. 在中，内角的对边分别为．若的面积为，且，，则外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合面积公式与余弦定理可得，即，再根据正弦定理可得外接圆的半径，从而得到外接圆的面积.
【详解】在中，由余弦定理得，既有，又由面积公式，得，又，故，所以．因为，所以，又由正弦定理，其中为外接圆的半径，由及，得 ，所以外接圆的面积
故选：D
8. 若，函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利辅助角公式可得（其中），再利用换元法令，从而得到的取值范围.
【详解】因为（其中）．
令，因为，所以．
因为，且，所以，
故，即．
当时，单调递减，
因为，
所以．
故选：D．
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知非零向量，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 恒成立
D. 向量共线的充分必要条件是存在唯一的实数，使
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用向量数量积的运算可得判断A；只需有，注意可能在两侧，即可判断B；利用向量加法的几何意义，数形结合法判断C；根据向量共线基本定理即可判断D.
【详解】A：由已知，则，整理得，故，故正确；
B：当且恰好在的角平分线上，也成立，故错误；
C：如下图示：，则，故，，
所以，
当同向共线时，；
当反向共线时，；
综上，恒成立，故正确；
D：由，则共线，此时存在唯一使成立，充分性成立，
同时存在唯一使成立，则必共线，必要性成立，故错误.
故选：ACD
10. 已知，若，且，则下列选项中与恒相等的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
由题意得，，切化弦即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，∴，
∴，
故选：AD．
【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查简单的三角恒等变换，属于中档题．
11. 将函数的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是图象的一条对称轴
C. 是图象的一个对称中心D. 在上单调递减
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用三角函数图象变换得出函数解析式，利用整体代入法结合正弦函数的基本性质可判断B、C、D的正误，计算的值可判断A选项的正误.综合可得出结论.
【详解】由题意知.
所以，故A项错误；
因为，所以是函数图象的一条对称轴，B项正确；
因为，故不是函数图象的对称中心，C项错误；
当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，D项正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了正弦型函数对称性与单调性的判断，一般利用整体代入法结合正弦函数的基本性质进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
12. 已知的重心为G，点E是边上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则的面积是面积的
C. 若，，则
D. 若，，则当取得最小值时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角形重心的向量性质判断A，由向量的线性运算求得与的关系，判断B，由数量积的定义计算判断C，设，计算数量积后求最小值，从而可计算出判断D．
【详解】因为的重心为G，所以，所以，A错；
，B正确；
，， 是等腰三角形，，
是锐角，，
，
，C正确；
设，，
，
所以时，取得最小值，
此时， D正确．
故选：BCD．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 化简(tan10°－)·＝________.
【答案】-2
【解析】
【详解】(tan10°－)·
＝(tan10°－tan60°)·
＝·
＝·
＝·＝·＝－2.
14. 在中，角所对的边分别为，且，则的形状为__________.
【答案】直角三角形或等腰三角形
【解析】
【详解】用正弦定理对条件进行边角转化，结合诱导公式，两角和的正弦公式化简后进行求解.
【点睛】根据，由正弦定理可得，，又为三角形内角，即，于是，，上述等式变为：，等式左边展开可得，于是，故当得到，此时为直角三角形，或当得到，此时三角形为等腰三角形.
故答案为：直角三角形或等腰三角形
15. 在中，角所对的边分别为，已知，，边的中点为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据余弦定理计算即可求得结果.
【详解】依题意，由余弦定理知及，，所以，
即，解得或（舍去），
在中，由余弦定理得，
所以.
故答案为：
16. 已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【详解】在中, ，所以.
.
当点在圆上运动时,位于处时,有最大值为.
当位于处时,有最小值为.
.
所以 .
故答案为: .
四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量．
（1）若向量与垂直，求实数k的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的线性运算与向量垂直的坐标表示即可得解；
（2）利用向量的线性运算与向量平行的坐标表示即可得解；
【小问1详解】
因为，
所以，
又与垂直，
所以，即，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，，
因为，
又与向量平行，
所以，即，解得，
所以.
18. 在△中，角所对的边分别为，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用平方关系、二倍角正余弦公式化简等式左侧，结合已知即可求；
（2）根据且，及三角形内角性质可得，进而有，应用三角形面积公式求面积即可.
【小问1详解】
由题设，
，
又，故，解得.
【小问2详解】
若，由（1）知：，解得，
又，故，即，所以，
所以是以为顶角的等腰三角形，，
所以的面积为.
19. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．
已知的角对边分别为，而且_____．
（I）求；
（Ⅱ）求面积的最大值．
【答案】（I）；（Ⅱ）
【解析】
【分析】（I）选①，先利用正弦定理化简可得，进而得到，结合C的范围即可求得；
选②，先利用正弦定理可得（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，再利用余弦定理可得，结合C的范围即可求得；
（Ⅱ）由余弦定理可得，再利用基本不等式可得，进而求得△ABC面积的最大值．
【详解】解：（I）选①，∵a，
∴，
∵sinA≠0，
∴，即，
又0＜C＜π，
∴，故，即；
选②，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，
∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，
∴，
∵0＜C＜π，
∴；
（Ⅱ）由（I）可知，，
在△ABC中，由余弦定理得，即，
∴
∴，当且仅当那个a＝b时取等号，
∴，即△ABC面积的最大值为．
20. 设函数
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值和最小值并求出对应的.
【答案】（1），
（2）最大值为，；最小值为，
【解析】
【分析】（1）先根据三角恒等变换将整理化简，然后根据正弦函数的性质进行求解；
（2）利用正弦函数的单调性进行求解.
【小问1详解】
所以的最小正周期是，
由，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
当时，，
根据单调性可知，上单调递增，上单调递减，
于是此时，可得.
故最大值为，此时；最小值为，此时
21. 如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.
（1）设，求三角形木块面积；
（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.
【答案】（1）；（2）,的面积最大值为
【解析】
【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；
（2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值.
【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，
所以,
，
所以；
（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，
所以可只分析时的情况，
，
，
所以
，
令，，
故，
，
，
，
，
，
函数在单调递增，
所以当时，的面积最大，最大值为.
【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用能力.
22. 已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点， 而函数的相邻两条对称轴之间的距离为， 且其在处取得最小值．
（1）求参数和的值;
（2）若，求向量 与向量夹角的余弦值;
（3）若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时， 恒成立，求A的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；
（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；
（3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P位置，然后根据最小值大于等于1可得A的取值范围.
小问1详解】
因为的相邻两条对称轴之间的距离为
所以
又时，取最小值
则，
，
又，则
【小问2详解】
因为，所以，
则，，
则
则
【小问3详解】
是上动点，
，
又恒成立
设
，
易知在或处有最小值，在或处有最大值
所以当或时，有最小值
即当在或时，有最小值，此时或
为时，，
，得
又，则
为时，，
，解得
综上，