【备战2024年高考】高中数学重点题型解剖 题型27 5类概率统计大题综合解题技巧（分布列与数字特征、二项分布、超几何及正态分布、统计案例综合、概率与数列、概率与导数综合）

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技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧
技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧
技法03 统计案例综合的应用及解题技巧
技法04 概率与数列的应用及解题技巧
技法05 概率与导数的应用及解题技巧
技法01 分布列与数字特征应用及解题技巧
分布列与数字特征是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习.
知识迁移
1．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的概率分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
2．离散型随机变量均值
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p；
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
3．离散型随机变量方差
(1)设离散型随机变量X的分布列为
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝eq \(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
(4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
例1-1．（2023·全国·高三专题练习）某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为，乙组研究新产品成功的概率为，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品，设甲、乙两组的研发相互独立．
(1)求恰好有一种新产品研发成功的概率；
(2)若新产品研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列．
【详解】（1）因为甲、乙两个研发小组研究新产品成功的概率分别为为和，且相互独立，
所以，恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）根据题意，的可能取值有.
，
所以分布列为：
例1-2．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【详解】（1）由题可知，的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
（2）由（1）知，．
若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以．
因为，所以小明应选择先回答类问题．
1．（2023·河北保定·统考二模）某学校为了提高学生的运动兴趣，增强学生身体素质，该校每年都要进行各年级之间的球类大赛，其中乒乓球大赛在每年“五一”之后举行，乒乓球大赛的比赛规则如下：高中三个年级之间进行单循环比赛，每个年级各派5名同学按顺序比赛（赛前已确定好每场的对阵同学），比赛时一个年级领先另一个年级两场就算胜利（即每两个年级的比赛不一定打满5场），若两个年级之间打成则第5场比赛定胜负．已知高三每位队员战胜高二相应对手的可能性均为，高三每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，高二每位队员战胜高一相应对手的可能性均为，且队员、年级之间的胜负相互独立．
(1)求高二年级与高一年级比赛时，高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高一年级的概率．
(2)若获胜年级积3分，被打败年级积0分，求高三年级获得积分的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据前两局平局的情况下，后面分两种情况计算高二年级最终战胜高一年级的概率即可；
（2）由题可知高三年级获得积分的的取值可为0，3，6，分别计算概率从而可得分布列与数学期望.
【详解】（1）设高二年级与高一年级在前两场打平的条件下，最终战胜高高一年级的事件为，
则
（2）根据题意得高三年级获得积分的的取值可为0，3，6
的分布列为
2．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.
【详解】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X的分布列为
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
3．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
期望.
4．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成．
(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；
(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；
(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，3
(3)选择小宇，理由见解析
【分析】（1）小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望；
（3）分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案.
【详解】（1）记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则
．
（2）X的可能取值为2，3，4
，
，
，
X的分布列为；
数学期望．
（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为；
记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；
因为，故小宇进决赛的可能性更大，
所以应选择小宇去参加比赛．
技法02 二项分布、超几何及正态分布的应用及解题技巧
二项分布、超几何及正态分布是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习.
知识迁移
两点分布
这样的分布列叫做两点分布列．
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率．
超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布.
正态分布
正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
正态分布的三个常用数据
(1)P(μ－σ(2)P(μ－2σ(3)P(μ－3σ例2-1．（2024·全国·模拟预测）某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解，提高旅游景区的知名度和吸引力，促进旅游业的发展，在2023年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动，在坚持“公平、公正公开”的前提下，经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节，当地的6个“自然景观类景区”和4个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号．评选活动结束后，文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度，拟从这10个景区中选取部分景区进行重点推介.
(1)若文旅部门从这10个景区中先随机选取1个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介，记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件A，面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件B，求，；
(2)现需要从“十佳旅游景区”中选4个景区，且每次选1个景区（可以重复），分别向北京、上海、广州、深圳这四个一线城市进行重点推介，记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为X，求X的分布列和数学期望．
【详解】（1）由古典概型的计算公式可得，，，
由条件概率的计算公式得：，
同理，
则．
（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4，且，
；；
；；
．
所以X的分布列为
的数学期望．
例2-2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有个字脱落．
(1)若，用随机变量表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量的分布列及期望；
(2)若，假设某同学检起后随机贴回，求标语恢复原样的概率．
【详解】（1）方法一：
随机变量X的可能取值为0，1，2，
，，，
随机变量X的分布列如下表：
随机变量X的期望为
法二：
随机变量X服从超几何分布，所以.
（2）设脱落一个“学”为事件，脱落一个“好”为事件，脱落一个“数”为事件，
事件为脱落两个字，
，，
，，，
所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为
，
法二：
掉下的两个字不同的概率为，
所以标语恢复原样的概率为．
例2-3．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）2015年5月，国务院印发《中国制造》，是我国由制造业大国转向制造业强国战略的行动纲领.经过多年的发展，我国制造业的水平有了很大的提高，出现了一批在国际上有影响的制造企业.我国的造船业､光伏产业､5G等已经在国际上处于领先地位，我国的精密制造也有了长足发展.已知某精密设备制造企业生产某种零件，根据长期检测结果，得知生产该零件的生产线的产品质量指标值服从正态分布，且质量指标值在内的零件称为优等品.
(1)求该企业生产的零件为优等品的概率（结果精确到0.01）；
(2)从该生产线生产的零件中随机抽取5件，随机变量表示抽取的5件中优等品的个数，求的分布列､数学期望和方差.
附：0.9973.
【详解】（1）因为产品质量指标值，则，
所以优等品的概率
，
所以该企业生产零件为优等品的概率约为0.82.
（2）由（1）知产品为优等品的概率为0.82，由题意知，
随机变量的取值为：0，1，2，3，4，5；
故的分布列为，即
所以.
1．（2023·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．
假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．
(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线；
(2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设获奖分数线为，分析可知，根据题意可得出关于的等式，解之即可；
（2）分析可知，，利用二项分布可得出的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值.
【详解】（1）解：由表格知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
设获奖分数线为，则，
所以，，解得．
（2）解：从全市成绩不低于分的学生中随机抽取一人参加省级党史知识竞赛，
成绩在的概率为，
由题意知，，则的可能取值有、、、、，
则，，
，，
，
所以的分布列为
故．
2．（2023·四川宜宾·统考一模）自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”.我国设立这一制度是为全面深入地推动中小学生安全教育工作，大力降低各类伤亡事故的发生率，切实做好中小学生的安全保护工作，促进他们健康成长.为了迎接“安全教育日”，某市将组织中学生进行一次安全知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不获奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，统计如下：
(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率；
(2)若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（i）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过85分的学生数（结果四舍五入到整数）；
（ii）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取4名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在65分以上的学生数为Y，求随机变量Y的分布列及数学期望.
附参考数据：若随机变量X服从正态分布，则：
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
【分析】（1）根据古典概型运算公式进行求解即可；
（2）（ⅰ）根据题中所给的公式，结合正态分布的性质进行求解即可；（ⅱ）运用二项分布的性质进行求解即可.
【详解】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖为事件，
则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，
故抽取的两名学生中恰有一名学生获一等奖的概率为.
（2）（ⅰ）因为，所以：，
所以参赛学生中成绩超过分的学生数约为人
（ⅱ）由，得，即从所有参赛学生中堕机抽取名学生，该生竞赛成绩在分以上的概率为，
所以随机变量服从二项分布，
所以，，，
，，
所以随机变量的分布列为：
所以期望为.
3．（2023·吉林长春·统考一模）树人中学某班同学看到有关产品抽检的资料后，自己设计了一个模拟抽检方案的摸球实验．在一个不透明的箱子中放入10个小球代表从一批产品中抽取出的样本（小球除颜色外均相同），其中有个红球（，），代表合格品，其余为黑球，代表不合格品，从箱中逐一摸出个小球，方案一为不放回摸取，方案二为放回后再摸下一个，规定：若摸出的个小球中有黑色球，则该批产品未通过抽检．
(1)若采用方案一，，，求该批产品未通过抽检的概率；
(2)（ⅰ）若，试比较方案一和方案二，哪个方案使得该批产品通过抽检的概率大？并判断通过抽检的概率能否大于？并说明理由．
（ⅱ）若，，现采用（ⅰ）中概率最大的方案，设在一次实验中抽得的红球为个，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）方案二使得该批产品通过抽检的概率大，抽检的概率不能大于．理由见解析，（ⅱ）分布列见解析，
【分析】（1）根据题意可知小球为不放回，从而利用古典概型求解.
（2）根据题意对（ⅰ）问中分别求出两种方案的概率，作差比较后，从而求解；
对（ⅱ）中根据题意可知对于方案二为有放回抽取，利用二项分布求出每次抽到的概率,求出分布列与期望值.
【详解】（1）设事件为“该批产品未通过抽检”，则.
所以该批产品未通过抽检的概率为.
（2）（ⅰ）设事件为“方案一使得该批产品通过抽检”，事件为“方案二使得该批产品通过抽检”，
则：，，
所以：，
因为，，所以上式小于，故方案二使得该批产品通过抽检的概率大，
又因为：，
所以通过抽检的概率不能大于.
（ⅱ）由题可得，所以的可能取值为，，，，
所以：，，，，
则的分布列为：
所以的期望.
4．（2023·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

(1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）?
参考数据：若，则，，．
【答案】(1)0.048；众数是，分位数是
(2)分
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，再结合众数和百分位数的求解方法，即可求解；
（2）求得，得到，结合正态分布曲线的对称性，即可求解.
【详解】（1）根据频率分布直方图，可得：
，解得，
这组数据的众数为，
由，
则这100份样本试卷成绩的75%分位数是.
（2）由，
所以，
因为，
所以，
所以测试前预估的平均成绩大约为分．
5．（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；列联表见解析，（ii）能
【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
技法03 统计案例综合的应用及解题技巧
统计案例综合是新高考卷的常考内容，难度中等，常在大题中考查，需重点复习.
例3-1．（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．
附：
【详解】（1）依题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
故.
（2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为，
所以，
故列联表为：
（ii）由（i）可得，，
所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.
例3-2．（2022·全国·统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得．
则该林区这种树木的总材积量估计为
1．（2024·陕西西安·统考一模）某公司对其产品研发的年投资额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
(1)求变量和的样本相关系数（精确到0.01），并推断变量和的线性相关程度；（若，则线性相关性程度很强；若，则线性相关性程度一般，若，则线性相关性程度很弱．）
(2)求年销售量关于年投资额的回归方程．并预测投资额为700万元时的销售量．（参考：）
参考：
【答案】(1)，变量x和y的线性相关程度很强；
(2),千件．
【分析】（1）计算出相关系数所需的数据，根据公式即可求出；
（2）根据公式即可求出与的值，即可得出回归方程，令代入计算即可.
【详解】（1）由题意，
，
，，
，
，
变量x和y的线性相关程度很强；
（2），
年销售量y关于年投资额x的线性回归方程为．
当时，，
所以研发的年投资额为万元时，产品的年销售量约为千件．
2．（2023·全国·模拟预测）为了落实发展新能源汽车的国家战略，规范新能源汽车生产活动，某新能源汽车品牌2019年到2023年年销量（万）如下表：其中2019~2023年对应的年份代码为1~5．
(1)判断两个变量是否线性相关，并用样本相关系数加以说明（精确到0.01）；
(2)（ⅰ）假设变量与变量的对观测数据为，，…，，两个变量满足一元线性回归模型（随机误差），请写出参数的最小二乘估计；
（ⅱ）令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，
利用（ⅰ）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
附：样本相关系数，，，，．
【答案】(1)答案见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ），32.8万辆
【分析】（1）作出散点图，得出线性相关，计算线性相关系数，说明相关程度．
（2）（ⅰ）令得解．
（ⅱ）由（ⅰ）得得解．
【详解】（1）作出散点图如图所示，可知样本点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．

，
两个变量有较强的正相关关系．
（2）（ⅰ）令，
当且仅当时残差平方和最小，即的最小二乘估计为．
（ⅱ），，
由（ⅰ）知，
关于的经验回归方程为，．
，，，
当时，，
因此预测2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到32.8万辆．
3．（2024·全国·模拟预测）2023年11月，世界首届人工智能峰会在英国举行，我国因为在该领域取得的巨大成就受邀进行大会发言.为了研究不同性别的学生对人工智能的了解情况，我市某著名高中进行了一次抽样调查，分别抽取男､女生各50人作为样本.设事件“了解人工智能”，“学生为男生”，据统计.
(1)根据已知条件，填写下列列联表，是否有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关？
(2)①现从所抽取的女生中利用分层抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机选取3人赠送科普材料，求选取的3人中至少有2人了解人工智能的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的学生中随机抽取20人科普材料，记其中了解人工智能的人数为X，求随机变量的数学期望和方差.
参考公式：.常用的小概率值和对应的临界值如下表：
【答案】(1)列联表见解析；没有
(2)①；②，.
【分析】（1）根据两个条件概率值求出列联表中的数据，利用卡方公式计算的值，再与对应的小概率值比较即得结论；
（2）①先利用分层抽样确定所抽取的名女市民中了解和不了解人工智能的人数，再利用古典概率模型概率公式计算即得；
②根据列联表推理得到从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，每次抽的结果仅有“了解”与“不了解”两种，随机抽取20人，相当于完成20次伯努利试验，故利用二项分布期望与方差公式即可求得.
【详解】（1）因为，
所以了解人工智能的女生为，了解人工智能的总人数为，
则了解人工智能的男生有人，
结合男生和女生各有人，填写列联表为：
因，
故没有把握推断该校学生对人工智能的了解情况与性别有关.
（2）①由题意可知，所抽取的名女市民中，了解人工智能的有人，
不了解人工智能的有人，
所以，选取的人中至少有人了解人工智能的概率为；
②由列联表可知，抽到了解人工智能的学生的频率为，
将频率视为概率，所以，从我市高中生中任意抽取一人，恰好抽到了解人工智能学生的概率为，
由题意可知，，所以，，.
4．（2022·全国·模拟预测）中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）.下表是队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.
(1)根据表中信息，填写下列列联表，并判断是否有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关？
(2)已知队与B队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立，队除第五场比赛获胜的概率为外，其他场次比赛获胜的概率为.记为队在总决赛中获胜的场数.求的分布列与数学期望.
附：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，没有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由比赛结果记录表数据易填列联表，利用卡方计算公式算的结果与小概率0.1对应的比较即得；
（2）根据题意得到随机变量所有可能的值，并分别求得对应的概率值，列出分布列，求出数学期望.
【详解】（1）列联表：
，
没有的把握认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关.
（2）由题意得，的所有可能取值为，
的分布列为
.
技法04 概率与数列的应用及解题技巧
概率与数列的综合是新高考卷的新命题内容，难度中等偏难，常在大题中考查，需重点复习.
例4．（2024·山东济南·山东省实验中学校考一模）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.
(1)求第4次闪光为红光的概率；
(2)求第次闪光为红光的概率.
【详解】（1）由题意，前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，
所以.
（2）设事件表示“第n次闪光为红光”，事件表示“第n次闪光为黄光”，事件表示“第n次闪光为蓝光”，且，，则，
由题意知，当时， ，
即，整理得，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
故，即第次闪红光的概率为.
1．（2024·广东中山·中山一中校考一模）网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力．耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式．某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练．由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第天进行有氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为；若运动员第天进行无氧训练，则第天进行有氧训练的概率为，第天进行无氧训练的概率为．若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等．
(1)封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为，求的分布列与数学期望；
(2)封闭集训期间，记某运动员第天进行有氧训练的概率为，求．
【答案】(1)分布列见解析，2
(2)
【分析】（1）分别求出运动员第2天进行有氧训练与无氧训练的概率，判断服从二项分布并求概率，列分布列，求数学期望；
（2）求，的递推关系，构造数列并证其为等比数列，利用等比数列的通项公式求结果.
【详解】（1）设运动员第2天进行有氧训练为事件M，第2天进行无氧训练为事件N，
则，，
所以3名运动员第2天进行有氧训练的人数，可知，
则，，
，，
所以的分布列为
所以．
（2）依题意可得，即（，且）．
则（，且），且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以．
2．（2024上·河北邢台·高三统考期末）杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记．
(1)投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列；
(2)①求证：数列（）是等比数列；
②求队员赢得吉祥物的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）由题意可得爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，列出随机变量可能取值，求出对应的概率，求出分布列即可；
（2）（i）由题意可得，分类讨论到达第步台阶的情况，求出对应的概率，进而（），结合等比数列的定义即可证明；（ii）由（i），根据等比数列的通项公式可得，利用累加法求得（），令计算即可求解.
【详解】（1）由题意得每轮游戏爬一步台阶的概率为，爬两步台阶的概率为，
所以随机变量可能取值为4，5，6，7，8，
可得，，
，，
，
所以的分布列：
（2）（ⅰ）证明：，即爬一步台阶，是第1次掷骰子，
向上点数不是3的倍数概率，则
到达第步台阶有两种情况：
①前一轮爬到第步台阶，又掷骰子是3的倍数得爬两步台阶，其概率为，
②前一轮爬到第步台阶，又掷骰子不是3的倍数爬一步台阶，其概率为，
所以（），
则（），
所以数列（）是首项为，公比为的等比数列．
（ⅱ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，，…，，
各式相加，得：，所以（），
所以活动参与者得到纪念品的概率为
．
3．（2023·全国·统考模拟预测）遗传学在培育作物新品种中有着重要的应用．已知某种农作物植株有，，三种基因型，根据遗传学定律可知，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代全部为个体，个体自交产生的子代中，，，，个体均有，且其数量比为．假设每个植株自交产生的子代数量相等，且所有个体均能正常存活．
(1)现取个数比为的，，植株个体进行自交，从其子代所有植株中任选一株，已知该植株的基因型为，求该植株是由个体自交得到的概率；
(2)已知基因型为AA的植株具备某种优良性状且能保持该优良性状的稳定遗传，是理想的作物新品种．农科院研究人员为了获得更多的植株用于农业生产，将通过诱变育种获得的Aa植株进行第一次自交，根据植株表现型的差异将其子代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第二次自交，再将第二次自交后代中的个体人工淘汰掉后，再将剩余子代植株全部进行第三次自交……此类推，不断地重复此操作，从第次自交产生的子代中任选一植株，该植株的基因型恰为AA的概率记为（且）
①证明：数列为等比数列；
②求，并根据的值解释该育种方案的可行性．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）分析遗传特性，求概率即可.
（2）①找到易求的，再利用递推关系求解即可. ②发现当实验次数够多时，概率趋近于1即可.
【详解】（1）由题意得若对植株进行自交，产生，，的概率比为，
故在个数比为的，，植株个体进行自交时，
其亲代，，的概率比为，
而亲代进行自交，产生，，的概率比为，
故概率为，
（2）①记第代的概率为，
子一代进行自交时，
子二代进行自交时，
故可递推出，易得，
而令，而，则有，
故数列为等比数列得证.
②由上问知，且当时，，故该方案可行.
4．（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续次祈愿都没有获取五星角色，那么第次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．
(1)求的概率分布；
(2)求的数学期望（保留小数点后两位）．
参考数据：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，的所有可能取值为、、、、，计算出在不同取值下的概率，可得出随机变量的概率分布列；
（2）利用错位相减法可求得的值.
【详解】（1）解：将每次祈愿获取五星角色的概率记为，的所有可能取值为、、、、．
则，，，，
，，
所以的概率分布为.
（2）解：的数学期望
，①
，②
①②得，
，
，
因为，所以．
5．（2024·河北石家庄·石家庄二中校考一模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为．
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求证：的数学期望为定值．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得.
（2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解.
（3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望.
【详解】（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为．
由题意知，，
所以．
（2）因为，
所以．
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，．
（3）因为①，
②．
所以①②，得．
又因为，所以．所以．
所以的概率分布列为：
所以．
所以的数学期望为定值1．
6．（2024·浙江嘉兴·嘉兴一中校考一模）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式即可得解.
（2）由对立事件概率、条件概率公式以及全概率公式首先得递推公式，（i）由等比数列定义证明即可；（ii）当时，结合单调性分奇偶讨论即可证明.
【详解】（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，
根据题意，，，，
由全概率公式，得
；
（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得，
即，，
，是以为首项，为公比的等比数列；
（ii）由（i）可得，
当为大于1的奇数时，；
当为正偶数时，.
技法05 概率与导数的应用及解题技巧
概率与导数的综合是新高考卷的新命题内容，难度中等偏难，常在大题中考查，需重点复习.
例5．（2024·全国·模拟预测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．
(1)当时，若发送0，则要得到正确信号，试比较单次传输和三次传输方案的概率大小；
(2)若采用三次传输方案发送1，记收到的信号中出现2次信号1的概率为，出现3次信号1的概率为，求的最大值．
【详解】（1）单次传输发送0译码为0的概率．
三次传输发送0译码为0的概率．
因为，所以要得到正确信号，三次传输方案的概率大．
（2）由题意得，．
记函数，
则．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以当时，，
所以的最大值是．
1．（2024·全国·校联考模拟预测）公元1651年，一个问题引发了数学家德梅赫、帕斯卡、费马和惠更斯等人的讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注元．每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立．在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止．赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注．
(1)甲、乙赌博意外终止，若，，，，，求甲应分得的赌注；
(2)记事件为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当，，时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率；当时，求事件发生的概率的最大值．
【答案】(1)元；
(2)0.0272．
【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合独立重复试验的概率公式求出甲赢得全部赌注概率.
（2）求出乙赢得全部赌注的概率，进而求出，再利用导数求出函数的最大值即得.
【详解】（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注，
当时，甲以赢，则，
当时，甲以赢，则，
当时，甲以赢，则，
于是得甲赢得全部赌注的概率为，
所以甲应分得的赌注为元．
（2）设赌博继续进行局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢，
当时，乙以赢，，
当时，乙以赢，，
则乙赢得全部赌注的概率为，
于是甲赢得全部赌注的概率，
，
因，即，从而有在上单调递增，
因此，乙赢的概率最大值为，
所以事件发生的概率的最大值为0.0272．
2．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）某工厂的质检部门对拟购买的一批原料进行抽样检验，以判定是接收还是拒收这批原料.现有如下两种抽样检验方案：
方案一：随机抽取一个容量为10的样本，并全部检验，若样本中不合格数不超过1个，则认为这批原料合格，予以接收；
方案二：先随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，若都合格，则予以接收；若样本中不合格数超过1个，则拒收；若样本中不合格数为1个，则再抽取一个容量为5的样本，并全部检验，且只有第二批样本全部合格才予以接收.
假设拟购进的这批原料的合格率为，并用作为原料中每件产品是合格品的概率.若每件产品所需的检验费用为3元，且费用由工厂承担.
(1)若，即方案二中所需的检验费用为随机变量，求的分布列与期望；
(2)分别计算两种方案中这批原料通过检验的概率，若你是原料供应商，你希望质检部门采取哪种检验方案?说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)方案一的概率为，方案二的概率为；
采取方案二，理由见解析.
【分析】（1）随机变量X的值可能取值是15,30，分别求出概率即可求出分布列，进而可求出数学期望；
（2）分别求出方案一和方案二的概率，由作差法可得，利用导数讨论函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，随机变量X的值可能取值是15,30，
对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，都合格或不合格品件数超过1个，
对应的事件是随机抽取一个容量为5的样本，全部检验，出现了1个不合格品然后又抽取了容量为5的样本，全部检验，
所以，，
X的分布列为：
所以；
（2）方案一通过检验的概率为，
方案二通过检验的概率为，
，其中，
令，
则，
所以函数在上单调递增，故，
即，
故原料供应商更希望该工厂的质检部门采取方案二，因为原料通过检验的概率更高.
3．（2023·全国·模拟预测）某超市推出了一项优惠活动，规则如下：
规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；
规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立．
(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为．记中奖2次的概率为，求取得最大值时，的值．
(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由．
【答案】(1)
(2)选择规则二更有利，理由见解析
【分析】（1）根据题意列出表达式，通过求导分析出单调性，进而求出取得最大值时，的值.
（2）根据二项分布可求出规则二的获奖期望，对比两个规则获奖高的更有利.
【详解】（1）由题意知，3次抽奖有2次中奖的概率
，
则．
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减．
所以当时，取得最大值，则．
（2）①该顾客选择规则一，其获利为30元；
②该顾客选择规则二，由第一问知，
则其中奖次数服从二项分布，
所以，
所以该顾客获得奖品金额的期望值为（元）．
因为，
所以该顾客选择规则二更有利．
4．（2023·新疆·校联考一模）某游戏游玩规则如下：每次游戏有机会获得5分，10分或20分的积分，且每次游戏只能获得一种积分；每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，三次游戏为一轮，一轮游戏结束后，计算本轮游戏总积分．
(1)求某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的概率（用含的代数式表示）；
(2)当某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率取得最大值时，求一轮游戏累计积分的数学期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的情况，利用独立事件与互斥事件的概率公式，结合组合的思想即可得解.
（2）依题意得到累计积分在区间内的概率，构造函数，利用导数求得当时满足题意，进而得到的所有可能取值，求得对应的概率，从而得解.
【详解】（1）某人在一轮游戏中，累计积分不超过25分的情况为：
①三次游戏都获得5分；②两次游戏获得5分，一次游戏获得10分；③一次游戏获得5分，两次游戏获得10分；
所以其概率为：.
（2）依题意，记一轮游戏累计积分为，
而某人在一轮游戏中累计积分在区间内的情况有分和分两种情况，
则，，
记某人在一轮游戏中累计积分在区间内的概率为，
则，，
则，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调减；
所以当时，取得最大值；
此时每次游戏获得5分，10分，20分的概率分别为，
由题意可知的所有可能取值为，
，，
，，
，，
，，
，
则的数学期望为
.
【点睛】关键点睛：本题解决的难点是分析得各个累计积分时的概率，从而得解.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
0
3
6
X
0
1
2
3
P
0
10
20
30
0.16
0.44
0.34
0.06
X
2
3
4
P
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
eq \f(C\\al(0,M)C\\al(n－0,N－M),C\\al(n,N))
eq \f(C\\al(1,M)C\\al(n－1,N－M),C\\al(n,N))
…
eq \f(C\\al(m,M)C\\al(n－m,N－M),C\\al(n,N))
0
1
2
3
4
X
0
1
2
P
0
1
2
3
4
5
成绩区间
频数
成绩（分）
.
频数
6
12
18
24
18
12
10
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
对照组
实验组
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
合计
对照组
6
14
20
实验组
14
6
20
合计
20
20
40
样本号ｉ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总和
根部横截面积
0.04
0.06
0.04
0.08
0.08
0.05
0.05
0.07
0.07
0.06
0.6
材积量
0.25
0.40
0.22
0.54
0.51
0.34
0.36
0.46
0.42
0.40
3.9
x
1
2
3
4
5
y
1.5
2
3.5
8
15
年份代码
1
2
3
4
5
销量（万）
4
9
14
18
25
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
女生
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
了解人工智能
不了解人工智能
合计
男生
40
10
50
女生
30
20
50
合计
70
30
100
阶段
比赛场数
主场场数
获胜场数
主场获胜场数
第一阶段
30
15
20
10
第二阶段
30
15
25
15
队胜
队负
合计
主场
客场
合计
60
0.100
0.050
0.025
2.706
3.841
5.024
队胜
队负
合计
主场
25
5
30
客场
20
10
30
合计
45
15
60
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
p
X
15
30
P