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华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题03一元一次方程的实际应用(二)压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份华东师大版七年级数学下册压轴题攻略专题03一元一次方程的实际应用(二)压轴题七种模型全攻略(原卷版+解析)，共40页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2571" 【典型例题】 PAGEREF _Tc2571 \h 1
\l "_Tc21353" 【考点一 用一元一次方程解决数字问题】 PAGEREF _Tc21353 \h 1
\l "_Tc30656" 【考点二 用一元一次方程解决几何问题】 PAGEREF _Tc30656 \h 4
\l "_Tc5462" 【考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题】 PAGEREF _Tc5462 \h 6
\l "_Tc14583" 【考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题 】 PAGEREF _Tc14583 \h 8
\l "_Tc17494" 【考点五 用一元一次方程解决比例分配问题】 PAGEREF _Tc17494 \h 10
\l "_Tc15646" 【考点六 用一元一次方程解决日历问题】 PAGEREF _Tc15646 \h 12
\l "_Tc18696" 【考点七 用一元一次方程解决古代问题 】 PAGEREF _Tc18696 \h 14
\l "_Tc11703" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11703 \h 16
【典型例题】
【考点一 用一元一次方程解决数字问题】
例题：(2023·福建·上杭县第三中学七年级期末）在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的方格图称为一个三阶幻方．
(1)请在图1中，将﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5这9个数填上，使它构成一个三阶幻方．
(2)请在图2、图3中，分别填上合适的数，使每个图构成一个三阶幻方．
【变式训练】
1．(2023·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
2．(2023·福建泉州·七年级阶段练习）如图，将连续的奇数1，3，5，7，按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数如图分别用a，b，c，d，x表示．
(1)用含x的式子分别表示数a= ，b= ，c= ，d= ．
(2)设，判断M的值能否等于2000，请说明理由．
【考点二 用一元一次方程解决几何问题】
例题：(2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级阶段练习）如图，长方形中，，，点从出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了3秒后点开始以的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值为（ ）
A．2或B．2或C．2或4D．2或
【变式训练】
1．(2023·浙江丽水·七年级期末）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若AB＝10,则AD的长为（ ）
A．13 B．11 C． D．
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为__平方厘米．
【考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题】
例题：(2023·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）淘气和笑笑两人共有155元，如果淘气用去自己的，笑笑用去自己的，两人剩下的钱一样多，则淘气原来有_______元．
【变式训练】
1．(2023·全国·七年级专题练习）某校组织学生种花，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一，初二，初三年级各种植多少盆花？
2．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校阶段练习）有一组互相咬合的齿轮.
(1)小齿轮有28个齿，是大齿轮的，大齿轮有多少个齿?
(2)大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少，小齿轮每分钟转多少周?
【考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题 】
例题：(2023·安徽·萧县城北初级中学七年级期中）我市为了提倡节约，用水吨，自来水收费实行阶梯水价元，收费标准如下表所示：
(1)若用水量达到8吨，则需要交水费______元；若用水量达到14吨，则需要交水费______元．
(2)用户5月份交水费54元，则用水为多少吨？
【变式训练】
1．(2023·黑龙江·大庆市庆新中学期中）电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式计算电费，每月用电不超过100kw·h时，按每千瓦时a元计算；每月用电超过100kw·h时，其中100kw·h仍按原价收费，超过部分按每千瓦时b元计算（a(1)小王家1月用了67kw·h电，2月用了120kw·h电，则他家1，2月应分别缴纳多少元电费？
(2)若a=0.49，b=1.50，则小王家1，2月应分别缴纳多少元电费？
(3)在第（2）问的条件下，若小王家3月缴纳76元电费，则他家3月共用电多少千瓦时？
2．(2023·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）某市按以下规定收取每月水费：每立方米水费包括基本水费和污水处理费两部分.基本水费实行阶段收费：若每月每户用水不超过10立方米，则每立方米基本水费按2元收费；若超过10立方米则超过部分每立方米按3元收费；污水处理费每立方米均按0.5元收取，
(1)已知该用户当月用水量为x立方米，当0≤x≤10时当月所付水费金额为 元；当x>10时当月所付水费金额为 元.（用含x的式子表示）
(2)如果某户居民在某月所交水费为42.5元，那么这个月这户居民共用多少立方米的水？
【考点五 用一元一次方程解决比例分配问题】
例题：(2023·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．
【变式训练】
1．(2023·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．
2．(2023·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是__________．
【考点六 用一元一次方程解决日历问题】
例题：(2023·黑龙江·大庆市庆新中学期末）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大的一天是________号．
【变式训练】
1．(2023·新疆·乌鲁木齐市第70中七年级阶段练习）如图是2021年6月份的月历表，请仔细观察后，如果发现用正方形框框住16个数字的和为224．试求出这16个数字中最大的数字_______．
2．(2023·河北·原竞秀学校七年级期中）将连续的偶数2，4，6，8…，排成如表：
(1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(2)这个关系对其它这样的十字框成立吗？请说明理由．
(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2020吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【考点七 用一元一次方程解决古代问题 】
例题：(2023·河南安阳·七年级期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．
【变式训练】
1．(2023·福建漳州·模拟预测）《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”设乙分得白米x石，则可列方程为（ ）
A．x＋x＋2x＝180B．x＋2x＋3x＝180
C．（x＋18）＋x＋（x﹣36）＝180D．（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180
2．(2023·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【过关检测】
一、选择题
1．(2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）如图，将一个长方形减去一个宽为 4 的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形，若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、11……，按一定规律排成如图：图中的字框框住了四个数字，若将字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数.若将字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ）
A．58B．78C．118D．142
4．(2023秋·山东青岛·七年级统考期末）在如图的2022年6月份的月历表中，任意框出表中同一竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．27B．51C．75D．69
二、填空题
5．(2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，圆柱形容器的底面半径为，高为．其里面盛有深的水，将底面半径为，高为的圆柱形铁块沉入水中，此时容器内的水面高度上升了______.
6．（2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）为节约用电，长沙市实“阶梯电价”具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度提高0.3元，某居民家12月份交电费222元，则该居民家12月份用电_____度．
7．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中的值为________．
8．（2023秋·山东临沂·七年级临沂实验中学校考期末）在2023年5月的月历上，任意圈出一个由3个相邻的数组成的竖列，如果它们的和为60，那么其中日期最小的一天是2023年5月______号．
三、解答题
9．(2023秋·安徽淮南·七年级期末）观察下面三行数．
，，，，，…
，，，，，…
，，，，，…
(1)求第一行的第个数；（为正整数）
(2)求第二行的第个数、第三行的第个数；
(3)取每一行的第个数，这三个数的和能否是？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
10．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分），设小长方形的长和宽分别为a和．
(1)由图1，可知a，b满足的等量关系是______；
(2)若图2中小正方形的边长为3，求小长方形的面积．
11．（2023秋·北京·七年级校联考期末）目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．
(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元；
(2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元；
(3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？
12．(2023秋·山东烟台·六年级校考期末）把正奇数1，3，5，……，2021，2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行，第2行，第3行，……，从左到右依次为第1列，第2列，第3列，……．
(1)①数阵中共有___________个数，数2023在第___________行，第___________列；
②图表中第n行第8列的数可用n表示为___________；
(2)按如图所示的方法用一个“L”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中最小的一个数为x，是否存在这样的x使得被框的三个数的和等于1471？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
13．（2023秋·河北保定·七年级校考期末）如图，长方形中，，．点P从点A出发，沿匀速运动：点Q从点C出发，沿C→B→A→D→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了，并沿B→C→D→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，某一时刻两点在长方形某一边上的E点处第二次相遇．若点Q的速度为．
(1)点P原来的速度为______ ；
(2)P、Q两点在B点处首次相遇后，再经过多少秒后第二次在E点相遇；
(3)在（2）的基础上，求的面积；
(4)在E点相遇后P、Q两点沿原来的方向继续前进、又经历了99次相遇后停止运动，请问此时两点停在长方形边上的什么位置？（直接写出答案）______．
月用水量吨
不超过12吨的部分
超过12吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
3.00
睡
眠
时
0
间
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度的部分
0.7
专题03 一元一次方程的实际应用(二)压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2571" 【典型例题】 PAGEREF _Tc2571 \h 1
\l "_Tc21353" 【考点一 用一元一次方程解决数字问题】 PAGEREF _Tc21353 \h 1
\l "_Tc30656" 【考点二 用一元一次方程解决几何问题】 PAGEREF _Tc30656 \h 4
\l "_Tc5462" 【考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题】 PAGEREF _Tc5462 \h 6
\l "_Tc14583" 【考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题 】 PAGEREF _Tc14583 \h 8
\l "_Tc17494" 【考点五 用一元一次方程解决比例分配问题】 PAGEREF _Tc17494 \h 10
\l "_Tc15646" 【考点六 用一元一次方程解决日历问题】 PAGEREF _Tc15646 \h 12
\l "_Tc18696" 【考点七 用一元一次方程解决古代问题 】 PAGEREF _Tc18696 \h 14
\l "_Tc11703" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11703 \h 16
【典型例题】
【考点一 用一元一次方程解决数字问题】
例题：(2023·福建·上杭县第三中学七年级期末）在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的方格图称为一个三阶幻方．
(1)请在图1中，将﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5这9个数填上，使它构成一个三阶幻方．
(2)请在图2、图3中，分别填上合适的数，使每个图构成一个三阶幻方．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据9个数的和，得出每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为3，把中间数l放在中间位置，然后大数凑小数填表即可；
（2）图2根据对角线上的三个数求出和，然后计算剩余各数即可，图3先根据和相等求出中间数，然后计算出各数即可．
（1）
解：填表如下：（答案不唯一）
（2）
解：∵4＋3＋2＝9，
∴9﹣4﹣6＝﹣1，9﹣6﹣2＝1，9﹣7﹣2＝0，9﹣1﹣3＝5，
故补全图2如下所示：
设图3最下面一行中间数为m，则﹣3＋1＝4＋m，
解得m＝﹣6，
设图3中第一行最后一个数为n，则﹣6＋1＝﹣3＋n，
解得n＝﹣2，
∵4＋1﹣2＝3，
∴3﹣（4﹣3）＝2，3﹣（1﹣6）＝8，3﹣2﹣1＝0，3﹣（0﹣2）＝5，
故补全图3如下所示：
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
【答案】(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1
(2)－x+2
(3)存在，127，－257，511
【分析】（1）找出每行数的规律，然后问题可求解；
（2）由题意易得另五个数分别为－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后问题可求解；
（3）设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，进而问题可求解．
（1）
解：第①行的有理数分别是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，
故第n个数为（－2）n（n是正整数），第9个数为（－2）9，
第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（－2）n+2（n是正整数），第9个数为(-2)9+2，
第③行的数等于第①行相应的数的相反数减去1，即第n个数是－（－2）n－1（n是正整数），第9个数为-(-2)9－1，
（2）
解：∵左上角数记为x，
∴另五个数分别为：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，
∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；
（3）
解：设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，
由题意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，
∴x＝－128，
∴这三个数分别为127，－257，511．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及数字规律问题，解题的关键是得到每行数字的规律．
2．(2023·福建泉州·七年级阶段练习）如图，将连续的奇数1，3，5，7，按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数如图分别用a，b，c，d，x表示．
(1)用含x的式子分别表示数a= ，b= ，c= ，d= ．
(2)设，判断M的值能否等于2000，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)的值不能等于2000，见解析
【分析】（1）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系；
（2）根据M=5x，代入2000求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值不能等于2000．
（1）
解：根据数的排列结合十字框的框法，即可得出：
，，，；
故答案为：，，，；
（2）
解：∵a+d=x12+x+12=2x，b+c=x2+x+2=2x，
∴a+b+c+d=4x，
，
当5x=2000时，x=400（不合题意，舍弃)，
的值不能等于2000；
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键掌握所学的知识，正确的进行解题．
【考点二 用一元一次方程解决几何问题】
例题：(2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级阶段练习）如图，长方形中，，，点从出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了3秒后点开始以的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值为（ ）
A．2或B．2或C．2或4D．2或
【答案】A
【分析】分两种情况：①点在上时，点在处，根据三角形面积公式求解即可得到； ②点在上时，求出AQ，再根据速度路程求出t．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
分两种情况：
①点在上时，点在处，如图1所示：
的面积为，
，
解得：；
②点在上时，如图2所示：
的面积为，
，
解得：，
，
解得：；
综上所述，当的面积为时，的值为2或；
故选：
【点睛】此题考查了动点面积问题，解题的关键是根据题意分情况讨论解答．
【变式训练】
1．(2023·浙江丽水·七年级期末）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若AB＝10,则AD的长为（ ）
A．13 B．11 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，解方程即可得到答案．
【详解】解：设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，根据题意得，
3×3x+x=10，
解得：，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形找出等量关系列一元一次方程求解．
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为__平方厘米．
【答案】143
【分析】根据题意，结合图形，各个正方形的边长从大到小依次相差1，设这6个正方形中最大的一个边长为x，将各个正方形的边长表示出来，根据长方形的两条对边长相等，列出方程求解即可．
【详解】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x，
∵图中最小正方形边长是1，
∴其余的正方形边长分别为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，
∴x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2，
∴x＝7，
∴长方形的长为x+x﹣1＝13，宽为x+x﹣3＝11，面积为13×11＝143平方厘米．
故答案为：143．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，结合图形找出等量关系列出方程求解是解题的关键．
【考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题】
例题：(2023·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）淘气和笑笑两人共有155元，如果淘气用去自己的，笑笑用去自己的，两人剩下的钱一样多，则淘气原来有_______元．
【答案】75
【分析】设淘气原来有元，则笑笑有元，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：淘气原来有元，则笑笑有元，根据题意得，
．
解得．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023·全国·七年级专题练习）某校组织学生种花，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一，初二，初三年级各种植多少盆花？
【答案】初一，初二，初三年级各种植178盆，353盆，378盆花．
【分析】设初一年级种植x盆，则初二年级种植（2x3）盆，初三年级种植（2x3+25）盆，根据“三个年级共种植909盆”列出方程并解答．
【详解】解：设初一年级种植盆花，依题意，得
，
解得：．
则，．
答：初一，初二，初三年级各种植178盆，353盆，378盆花．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校阶段练习）有一组互相咬合的齿轮.
(1)小齿轮有28个齿，是大齿轮的，大齿轮有多少个齿?
(2)大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少，小齿轮每分钟转多少周?
【答案】(1)大齿轮有140个齿
(2)小齿轮每分钟转400周
【分析】（1）设大齿轮有个齿，根据占比关系列一元一次方程，解方程即可；
（2）设小齿轮每分钟转周，根据占比关系列出一元一次方程，解方程即可．
（1）
解：设大齿轮有个齿，则
解得
答：大齿轮有140个齿.
（2）
解：设小齿轮每分钟转周，则
解得
答：小齿轮每分钟转400周.
【点睛】本题考查了和差倍分的一元一次方程应用问题，清楚倍数关系，并正确列方程、解方程是解题关键.
【考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题 】
例题：(2023·安徽·萧县城北初级中学七年级期中）我市为了提倡节约，用水吨，自来水收费实行阶梯水价元，收费标准如下表所示：
(1)若用水量达到8吨，则需要交水费______元；若用水量达到14吨，则需要交水费______元．
(2)用户5月份交水费54元，则用水为多少吨？
【答案】(1)16，30
(2)22吨
【分析】（1）按照单价×总量=总价计算即可，超过12吨的部分则分两段计算即可；
（2）设5月份用水x吨，显然用水量超过了12吨，根据等量关系：12吨的水费＋超过12吨的水费=5月份的水费，列出方程，解方程即可．
（1）
用水量达到8吨，则需要交水费：8×2.00=16（元）；
用水量达到14吨，则需要交水费：12×2.00＋(14-12)×3.00=24＋6=30（元）；
故答案为：16，30
（2）
设5月份用水x吨，由于54元>12×2=24（元），表明5月份用水量超过了12吨，
由题意得：12×2＋(x－12)×3=54，
解得：x=22，
即5月份用水22吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：分段计费问题，弄懂题意，找到等量关系并正确列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023·黑龙江·大庆市庆新中学期中）电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式计算电费，每月用电不超过100kw·h时，按每千瓦时a元计算；每月用电超过100kw·h时，其中100kw·h仍按原价收费，超过部分按每千瓦时b元计算（a(1)小王家1月用了67kw·h电，2月用了120kw·h电，则他家1，2月应分别缴纳多少元电费？
(2)若a=0.49，b=1.50，则小王家1，2月应分别缴纳多少元电费？
(3)在第（2）问的条件下，若小王家3月缴纳76元电费，则他家3月共用电多少千瓦时？
【答案】(1)1月缴纳电费为67a元；2月缴纳电费为（100a+20b）元
(2)1月应缴纳电费32.83元，2月应缴纳电费79元
(3)3月共用电118千瓦时
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由（1）可进行求解；
（3）设3月共用电x千瓦时，由（2）可知3月的电费超过100千瓦时，进而可列出方程进行求解．
（1）
解：由题意得：
1月应缴纳电费为：67a元；2月应缴纳电费为100a+（120-100）b=100a+20b（元）；
答：1月缴纳电费为67a元；2月缴纳电费为（100a+20b）元．
（2）
解：由（1）及把a=0.49，b=1.50代入得：
（元）；（元）；
答：1月应缴纳电费32.83元，2月应缴纳电费79元．
（3）
解：由（2）可知：3月的电费超过100千瓦时，设3月共用电x千瓦时，
∴，
解得：；
答：3月共用电118千瓦时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
2．(2023·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）某市按以下规定收取每月水费：每立方米水费包括基本水费和污水处理费两部分.基本水费实行阶段收费：若每月每户用水不超过10立方米，则每立方米基本水费按2元收费；若超过10立方米则超过部分每立方米按3元收费；污水处理费每立方米均按0.5元收取，
(1)已知该用户当月用水量为x立方米，当0≤x≤10时当月所付水费金额为 元；当x>10时当月所付水费金额为 元.（用含x的式子表示）
(2)如果某户居民在某月所交水费为42.5元，那么这个月这户居民共用多少立方米的水？
【答案】(1)，
(2)这个月这户居民共用15立方米的水
【分析】（1）当时，当月所付水费等于每立方米按2元收费的基本水费与每立方米按元收取的污水处理费之和；当时，当月所付水费等于10立方米按2元收费，超过10立方米部分每立方米按3元收费的基本水费与每立方米按元收取的污水处理费之和；
（2）设这个月这户居民共用立方米的水，先判断出，再根据每月水费的收取规定建立方程，解方程即可得．
（1）
解：由题意得：当时，当月所付水费金额为（元），
当时，当月所付水费金额为（元），
故答案为：，．
（2）
解：设这个月这户居民共用立方米的水，
因为，
所以，
由题意得：，
即，
解得，
答：这个月这户居民共用15立方米的水．
【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解每月水费的收取规定，正确建立方程是解题关键．
【考点五 用一元一次方程解决比例分配问题】
例题：(2023·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．
【答案】20000
【分析】设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据大小消毒液的总重量为22.5吨=22500000克建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据题意得：
2x×500+5x×250=22500000，
解得x=10000，
所以大瓶销售了：2×10000=20000瓶，
故答案是：20000．
【点睛】本题考查了运用比例问题的设每份为未知数的方法建立方程求解的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时运用设间接未知数降低解题难度是关键．
【变式训练】
1．(2023·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．
【答案】20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握以上方法是解题的关键．
2．(2023·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是__________．
【答案】2:3
【分析】设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，根据三种经济作物的面积之比以及单位面积产值之比可得该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，设余下的面积为z，增加种植C经济作物，可列方程，可得z=3m，设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积，利用A、B、C三种经济作物的总产值提高了，列方程，解方程即可．
【详解】解：设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，
∵该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，
∴该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，
设余下的面积为z，
∴增加种植C经济作物，
∴，
解得z=3m，
设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积3m-a-，
A作物面积：，B作物面积：，C作物面积：，
A、B、C三种经济作物的总产值为，
=
=，
A、B、C三种经济作物的原总产值=，
∴，
解得，，
该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是，
故答案为：2:3．
【点睛】本题考查代数式表示数，代数式在生活中运用，利用一元一次方程，仔细阅读抓住等量关系C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，列方程解决问题是关键．
【考点六 用一元一次方程解决日历问题】
例题：(2023·黑龙江·大庆市庆新中学期末）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大的一天是________号．
【答案】23
【分析】设中间一天的日期，根据上下日期的差为7表示出另外两天的日期，再由它们的和为48列出方程，解之可得．
【详解】解：设中间一天的日期为x，则另外两天的日期为x﹣7，x＋7，
根据题意，得：x﹣7＋x＋x＋7＝48，
解得：x＝16，
∴x＋7＝16＋7＝23，
∴日期最大的一天23号，
故答案为：23．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到蕴含的相等关系，并据此列出方程．
【变式训练】
1．(2023·新疆·乌鲁木齐市第70中七年级阶段练习）如图是2021年6月份的月历表，请仔细观察后，如果发现用正方形框框住16个数字的和为224．试求出这16个数字中最大的数字_______．
【答案】26
【分析】根据题意，可以设这16个数中左上角最小的数为x，列出方程，即可求得最大的那个数．
【详解】解：设这16个数中左上角最小的数为x，则这16个数字的和为：
，
即，解得
∴，即其中最大的数为26
故答案为：26
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的实际运用，找好等量关系，正确列出方程是解题关键．
2．(2023·河北·原竞秀学校七年级期中）将连续的偶数2，4，6，8…，排成如表：
(1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(2)这个关系对其它这样的十字框成立吗？请说明理由．
(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2020吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍
(2)成立，理由见解析
(3)能，这五个数分别为
【分析】（1）将方框中的5个数相加，看结果与中间的数的关系即可；
（2）设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，再将这个五个数求和即可得；
（3）设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，令五个数的和等于2020，解方程可得的值，然后看有没有存在的可能即可．
（1）
解：十字框中的五个数的和为，
，
十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍．
（2）
解：成立，理由如下：
设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，
十字框中的五个数的和为，
即（1）中的关系仍成立．
（3）
解：设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，
令十字框中的五个数的和，
解得，
所以这五个数分别为，且能被框在一个十字框中．
【点睛】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用，找到各个数之间的关系并列出方程是解决此题的关键．
【考点七 用一元一次方程解决古代问题 】
例题：(2023·河南安阳·七年级期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．
【答案】绳子、长木分别是6.5米和11米．
【分析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于x的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，
根据题意得：x-（x+4.5）=1，解得：x=6.5
所以绳子长为6.5+4.5=11．
答：绳子、长木分别是6.5米和11米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
【变式训练】
1．(2023·福建漳州·模拟预测）《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”设乙分得白米x石，则可列方程为（ ）
A．x＋x＋2x＝180B．x＋2x＋3x＝180
C．（x＋18）＋x＋（x﹣36）＝180D．（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180
【答案】D
【分析】设乙分得白米x石，得出甲、丙分得白米数，由甲、乙、丙三人分得之和为180石列出方程即可．
【详解】解：若设乙分得白米x石，
∵甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，甲比丙多分三十六石，
∴甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数都是18石，
∴甲分得白米（x＋18）石，丙分得白米（x﹣18）石，
又∵甲、乙、丙三人来分这一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和为180石，
∴可得方程：（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系来列方程是解题的关键．
2．(2023·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【答案】39人
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设共有x人，依题意得，
解得
答：共有39人．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到等量关系是解本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．(2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，
化简，得
，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题中的数量关系列出方程．
2．（2023秋·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）如图，将一个长方形减去一个宽为 4 的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形，若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】设个正方形边长为x，根据面积相等列出方程即可解得．
【详解】解：设个正方形边长为x，
减去的面积：，
增加的面积：，
∵增加的与剪去的两个长条的面积相等，
∴
解得∶，
，
故选为：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程．
3．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、11……，按一定规律排成如图：图中的字框框住了四个数字，若将字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数.若将字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ）
A．58B．78C．118D．142
【答案】A
【分析】根据题意，依次设这四个数为：、、、，其中为奇数，则这四个数的和为：，再逐项判断即可．
【详解】根据题意，依次设这四个数为：、、、，其中为奇数，
则这四个数的和为：，
当时，，为偶数，故和不可能为58，则A项符合题意；
当时，，为奇数，故和可能为118，故B项不符合题意；
当时，，为奇数，故和不可能为58，故C项不符合题意；
当时，，为奇数，故和不可能为142，故D项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
4．(2023秋·山东青岛·七年级统考期末）在如图的2022年6月份的月历表中，任意框出表中同一竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．27B．51C．75D．69
【答案】C
【分析】设框出的最小数是x，可知这三个数的和是，分别根据各选项列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设框出的最小数是x，则另外两个数是，这三个数的和是，
A.若，则，框出的三个数是，故选项A不符合题意；
B.若，则，框出的三个数是，故选项B不符合题意；
C.若，则，框出的三个数是，从图可知不能框出18，25，32，故C符合题意；
D.若，则，框出的三个数是，故选项D不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含x的代数式表示三个数的和．
二、填空题
5．(2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，圆柱形容器的底面半径为，高为．其里面盛有深的水，将底面半径为，高为的圆柱形铁块沉入水中，此时容器内的水面高度上升了______.
【答案】0.18
【分析】设容器内水面高度上升了，根据水面上升部分的体积等于圆柱形铁块的体积列方程计算即可．
【详解】解：设容器内水面高度上升了，
由题意得，，
解得：，
容器内的水面高度上升了，
故答案为：0.18．
【点睛】本题考查了圆柱体积的计算，一元一次方程的应用，掌握圆柱体积的计算公式，理解题意，找到等量关系是解题的关键．
6．（2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）为节约用电，长沙市实“阶梯电价”具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度提高0.3元，某居民家12月份交电费222元，则该居民家12月份用电_____度．
【答案】360
【分析】先判断出该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，再设该居民家12月份的用电量为x，根据题意列出一元一次方程，即可求解．
【详解】解：∵，
∴该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，
设该居民家12月份的用电量为x，则
，
解得：．
该居民家12月份用电360度．
故答案为：360．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
7．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中的值为________．
【答案】
【分析】根据幻方的特点列出 ，求出，代入计算即可．
【详解】解：根据题意知 ，
解得： ，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的运算及代数式，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则及观察出幻方的特点列出等式．
8．（2023秋·山东临沂·七年级临沂实验中学校考期末）在2023年5月的月历上，任意圈出一个由3个相邻的数组成的竖列，如果它们的和为60，那么其中日期最小的一天是2023年5月______号．
【答案】13
【分析】设最小的日期为x，根据题意可得关于x的方程，解方程进行求解即可得．
【详解】解：设最小的日期为x，由题意得，
解得：，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清月历中日期间的关系，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
三、解答题
9．(2023秋·安徽淮南·七年级期末）观察下面三行数．
，，，，，…
，，，，，…
，，，，，…
(1)求第一行的第个数；（为正整数）
(2)求第二行的第个数、第三行的第个数；
(3)取每一行的第个数，这三个数的和能否是？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)的值为
【分析】（1）观察发现第一行数的规律为，即为第一行的第个数；
（2）观察第二、三行数与第一行数的关系，可得出第二行的第个数是，第三行的第n个数是，再求出第二行的第个数和第三行的第个数即可；
（3）根据（2）得出的三行数的关系，可设第一行的第个数为，则第二行的第个数为，第三行的第个数为，列出关系式，求出的值，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即
∴第一行的第n个数是，
（2）解：∵同位置的第二行数比第一行数大，同位置的第三行数是第一行数的倍，
∴第二行的第个数是，第三行的第个数是，
∴所以第二行的第6个数是，第三行的第个数是，
（3）解：设：第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为，第三行的第k个数为2x，
根据题意有，
解得，
∵，
∴，
∴故所求的值为．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，和一元一次方程的应用，根据题目数据得出正确的规律，并运用所得规律计算是解答本题的关键．
10．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分），设小长方形的长和宽分别为a和．
(1)由图1，可知a，b满足的等量关系是______；
(2)若图2中小正方形的边长为3，求小长方形的面积．
【答案】(1)
(2)135
【分析】（1）由长方形的对边相等可得，即可求解；
（2）由“小正方形的边长为2”列出方程，可求解；
【详解】（1）解：∵图1是长方形，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴，
∴小长方形的面积．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，长方形的性质，找出正确的等量关系是解题的关键．
11．（2023秋·北京·七年级校联考期末）目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．
(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元；
(2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元；
(3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？
【答案】(1)104
(2)，
(3)230度
【分析】（1）根据总价单价数量结合阶梯电价收费标准，即可求出结论；
（2）分及两种情况，用含的代数式表示出该户12月应交电费；
（3）由（1）可得出，结合（2）的结论即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，
（元）．
故答案为：104．
（2）当时，该户12月应交电费为元；
当时，该户12月应交电费为，
，
（元）．
（3），
，
，
．
答：该户12月用电量为230度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出该户12月应交电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
12．(2023秋·山东烟台·六年级校考期末）把正奇数1，3，5，……，2021，2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行，第2行，第3行，……，从左到右依次为第1列，第2列，第3列，……．
(1)①数阵中共有___________个数，数2023在第___________行，第___________列；
②图表中第n行第8列的数可用n表示为___________；
(2)按如图所示的方法用一个“L”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中最小的一个数为x，是否存在这样的x使得被框的三个数的和等于1471？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①1012；127；4；②；
(2)不存在，理由见解析
【分析】①由第个正奇数可表示为可列方程，解得，可知共有1012个数，每行有8个数，则，即可得到问题的答宲；
②先计算出从第1行第1列的数到第行第8列的数共有个数，则，所以第行第8列的数是；
（2）假设存在这样的，则，解得，由得，可知479是数阵中的第240个数，而，可知479是数阵第30行的最后一个数，说明在数阵中""形框框不出这样的三个数．
【详解】（1）解∶①第个正奇数可表示为，
由得，
所以数阵中共有1012个数；
所以数2023在第127行第4列，
故答案为：1012；127；4；
②因为每行有8个数，
所以从第1行第1个数到第n行第8列的数共个数，
所以第n行第8列的数是，
故答案为：；
（2）不存在，
理由∶因为被框的三个数中最小的一个数为，
所以，
解得，
由得，
(行)，
可见479是数阵中第30行的第8个数，
所以""形框框不出这样的三个数，
所以不存在这样的使得被框的三个数的和等于1471．
【点睛】本题考查了解一元一次方程、列一元一次方程解应用题，掌握用代数式表示数阵中的数是关键．
13．（2023秋·河北保定·七年级校考期末）如图，长方形中，，．点P从点A出发，沿匀速运动：点Q从点C出发，沿C→B→A→D→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了，并沿B→C→D→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，某一时刻两点在长方形某一边上的E点处第二次相遇．若点Q的速度为．
(1)点P原来的速度为______ ；
(2)P、Q两点在B点处首次相遇后，再经过多少秒后第二次在E点相遇；
(3)在（2）的基础上，求的面积；
(4)在E点相遇后P、Q两点沿原来的方向继续前进、又经历了99次相遇后停止运动，请问此时两点停在长方形边上的什么位置？（直接写出答案）______．
【答案】(1)
(2)再经过6秒后第二次在E点相遇；
(3)的面积为；
(4)边上，离D点的位置．
【分析】（1）先求得点Q行驶的时间，根据P点行驶的时间与Q点行驶的时间相等，进行解答即可；
（2）设P、Q两点在B点处首次相遇后，再经过x秒后第二次在E点相遇，根据相遇问题列出方程解答便可；
（3）根据（2）求得的时间，进而求得Q点运动的路程，便可知道E点的位置，进而根据三角形面积公式求得的面积；
（4）通过计算相遇一次Q点运动的路程，便可依次确定相遇多少次后，相遇点就依次循环，进而由这个规律求得结论．
【详解】（1）解：点Q行驶长的时间为，
点P原来的速度为：，
故答案为：；
（2）解：设P、Q两点在B点处首次相遇后，再经过x秒后第二次在E点相遇，根据题意得，
，
解得，，
答：再经过6秒后第二次在E点相遇；
（3）解：由（2）知，B到E点的路程长度为：，
∵，
∴E点在边上，且，
∴，
∴，
答：的面积为；
（4）解：由（3）知，当P、Q相遇一次，则Q行驶，
由此知得，如下图，…，依次为P、Q在E点相遇后第一次相遇、第二次相遇、第三次相遇…的位置，
由上可知，P、Q两点每相遇9次，就与前面9个位置依次重复，
∵99÷9=11，
∴P、Q两点经历了99次相遇后停止的位置在E处，
∴P、Q两点经历了99次相遇后停止，此时两点停在长方形的边上，离D点的位置．
故答案为：边上，离D点的位置．
【点睛】本题主要考查了一元一次的应用，是一个环形相遇问题，关键是熟悉相遇问题的解题方法与技巧．同时考查了三角形的面积计算公式，考查了规律探究，找出位置规律是关键．
月用水量吨
不超过12吨的部分
超过12吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
3.00
睡
眠
时
0
间
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度的部分
0.7
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2571" 【典型例题】 PAGEREF _Tc2571 \h 1
\l "_Tc21353" 【考点一 用一元一次方程解决数字问题】 PAGEREF _Tc21353 \h 1
\l "_Tc30656" 【考点二 用一元一次方程解决几何问题】 PAGEREF _Tc30656 \h 4
\l "_Tc5462" 【考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题】 PAGEREF _Tc5462 \h 6
\l "_Tc14583" 【考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题 】 PAGEREF _Tc14583 \h 8
\l "_Tc17494" 【考点五 用一元一次方程解决比例分配问题】 PAGEREF _Tc17494 \h 10
\l "_Tc15646" 【考点六 用一元一次方程解决日历问题】 PAGEREF _Tc15646 \h 12
\l "_Tc18696" 【考点七 用一元一次方程解决古代问题 】 PAGEREF _Tc18696 \h 14
\l "_Tc11703" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11703 \h 16
【典型例题】
【考点一 用一元一次方程解决数字问题】
例题：(2023·福建·上杭县第三中学七年级期末）在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的方格图称为一个三阶幻方．
(1)请在图1中，将﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5这9个数填上，使它构成一个三阶幻方．
(2)请在图2、图3中，分别填上合适的数，使每个图构成一个三阶幻方．
【变式训练】
1．(2023·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
2．(2023·福建泉州·七年级阶段练习）如图，将连续的奇数1，3，5，7，按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数如图分别用a，b，c，d，x表示．
(1)用含x的式子分别表示数a= ，b= ，c= ，d= ．
(2)设，判断M的值能否等于2000，请说明理由．
【考点二 用一元一次方程解决几何问题】
例题：(2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级阶段练习）如图，长方形中，，，点从出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了3秒后点开始以的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值为（ ）
A．2或B．2或C．2或4D．2或
【变式训练】
1．(2023·浙江丽水·七年级期末）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若AB＝10,则AD的长为（ ）
A．13 B．11 C． D．
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为__平方厘米．
【考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题】
例题：(2023·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）淘气和笑笑两人共有155元，如果淘气用去自己的，笑笑用去自己的，两人剩下的钱一样多，则淘气原来有_______元．
【变式训练】
1．(2023·全国·七年级专题练习）某校组织学生种花，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一，初二，初三年级各种植多少盆花？
2．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校阶段练习）有一组互相咬合的齿轮.
(1)小齿轮有28个齿，是大齿轮的，大齿轮有多少个齿?
(2)大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少，小齿轮每分钟转多少周?
【考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题 】
例题：(2023·安徽·萧县城北初级中学七年级期中）我市为了提倡节约，用水吨，自来水收费实行阶梯水价元，收费标准如下表所示：
(1)若用水量达到8吨，则需要交水费______元；若用水量达到14吨，则需要交水费______元．
(2)用户5月份交水费54元，则用水为多少吨？
【变式训练】
1．(2023·黑龙江·大庆市庆新中学期中）电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式计算电费，每月用电不超过100kw·h时，按每千瓦时a元计算；每月用电超过100kw·h时，其中100kw·h仍按原价收费，超过部分按每千瓦时b元计算（a
(2)若a=0.49，b=1.50，则小王家1，2月应分别缴纳多少元电费？
(3)在第（2）问的条件下，若小王家3月缴纳76元电费，则他家3月共用电多少千瓦时？
2．(2023·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）某市按以下规定收取每月水费：每立方米水费包括基本水费和污水处理费两部分.基本水费实行阶段收费：若每月每户用水不超过10立方米，则每立方米基本水费按2元收费；若超过10立方米则超过部分每立方米按3元收费；污水处理费每立方米均按0.5元收取，
(1)已知该用户当月用水量为x立方米，当0≤x≤10时当月所付水费金额为 元；当x>10时当月所付水费金额为 元.（用含x的式子表示）
(2)如果某户居民在某月所交水费为42.5元，那么这个月这户居民共用多少立方米的水？
【考点五 用一元一次方程解决比例分配问题】
例题：(2023·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．
【变式训练】
1．(2023·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．
2．(2023·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是__________．
【考点六 用一元一次方程解决日历问题】
例题：(2023·黑龙江·大庆市庆新中学期末）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大的一天是________号．
【变式训练】
1．(2023·新疆·乌鲁木齐市第70中七年级阶段练习）如图是2021年6月份的月历表，请仔细观察后，如果发现用正方形框框住16个数字的和为224．试求出这16个数字中最大的数字_______．
2．(2023·河北·原竞秀学校七年级期中）将连续的偶数2，4，6，8…，排成如表：
(1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(2)这个关系对其它这样的十字框成立吗？请说明理由．
(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2020吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【考点七 用一元一次方程解决古代问题 】
例题：(2023·河南安阳·七年级期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．
【变式训练】
1．(2023·福建漳州·模拟预测）《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”设乙分得白米x石，则可列方程为（ ）
A．x＋x＋2x＝180B．x＋2x＋3x＝180
C．（x＋18）＋x＋（x﹣36）＝180D．（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180
2．(2023·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【过关检测】
一、选择题
1．(2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）如图，将一个长方形减去一个宽为 4 的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形，若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、11……，按一定规律排成如图：图中的字框框住了四个数字，若将字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数.若将字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ）
A．58B．78C．118D．142
4．(2023秋·山东青岛·七年级统考期末）在如图的2022年6月份的月历表中，任意框出表中同一竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．27B．51C．75D．69
二、填空题
5．(2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，圆柱形容器的底面半径为，高为．其里面盛有深的水，将底面半径为，高为的圆柱形铁块沉入水中，此时容器内的水面高度上升了______.
6．（2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）为节约用电，长沙市实“阶梯电价”具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度提高0.3元，某居民家12月份交电费222元，则该居民家12月份用电_____度．
7．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中的值为________．
8．（2023秋·山东临沂·七年级临沂实验中学校考期末）在2023年5月的月历上，任意圈出一个由3个相邻的数组成的竖列，如果它们的和为60，那么其中日期最小的一天是2023年5月______号．
三、解答题
9．(2023秋·安徽淮南·七年级期末）观察下面三行数．
，，，，，…
，，，，，…
，，，，，…
(1)求第一行的第个数；（为正整数）
(2)求第二行的第个数、第三行的第个数；
(3)取每一行的第个数，这三个数的和能否是？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
10．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分），设小长方形的长和宽分别为a和．
(1)由图1，可知a，b满足的等量关系是______；
(2)若图2中小正方形的边长为3，求小长方形的面积．
11．（2023秋·北京·七年级校联考期末）目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．
(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元；
(2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元；
(3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？
12．(2023秋·山东烟台·六年级校考期末）把正奇数1，3，5，……，2021，2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行，第2行，第3行，……，从左到右依次为第1列，第2列，第3列，……．
(1)①数阵中共有___________个数，数2023在第___________行，第___________列；
②图表中第n行第8列的数可用n表示为___________；
(2)按如图所示的方法用一个“L”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中最小的一个数为x，是否存在这样的x使得被框的三个数的和等于1471？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
13．（2023秋·河北保定·七年级校考期末）如图，长方形中，，．点P从点A出发，沿匀速运动：点Q从点C出发，沿C→B→A→D→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了，并沿B→C→D→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，某一时刻两点在长方形某一边上的E点处第二次相遇．若点Q的速度为．
(1)点P原来的速度为______ ；
(2)P、Q两点在B点处首次相遇后，再经过多少秒后第二次在E点相遇；
(3)在（2）的基础上，求的面积；
(4)在E点相遇后P、Q两点沿原来的方向继续前进、又经历了99次相遇后停止运动，请问此时两点停在长方形边上的什么位置？（直接写出答案）______．
月用水量吨
不超过12吨的部分
超过12吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
3.00
睡
眠
时
0
间
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度的部分
0.7
专题03 一元一次方程的实际应用(二)压轴题七种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2571" 【典型例题】 PAGEREF _Tc2571 \h 1
\l "_Tc21353" 【考点一 用一元一次方程解决数字问题】 PAGEREF _Tc21353 \h 1
\l "_Tc30656" 【考点二 用一元一次方程解决几何问题】 PAGEREF _Tc30656 \h 4
\l "_Tc5462" 【考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题】 PAGEREF _Tc5462 \h 6
\l "_Tc14583" 【考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题 】 PAGEREF _Tc14583 \h 8
\l "_Tc17494" 【考点五 用一元一次方程解决比例分配问题】 PAGEREF _Tc17494 \h 10
\l "_Tc15646" 【考点六 用一元一次方程解决日历问题】 PAGEREF _Tc15646 \h 12
\l "_Tc18696" 【考点七 用一元一次方程解决古代问题 】 PAGEREF _Tc18696 \h 14
\l "_Tc11703" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11703 \h 16
【典型例题】
【考点一 用一元一次方程解决数字问题】
例题：(2023·福建·上杭县第三中学七年级期末）在一个的方格中填写9个数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的方格图称为一个三阶幻方．
(1)请在图1中，将﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、4、5这9个数填上，使它构成一个三阶幻方．
(2)请在图2、图3中，分别填上合适的数，使每个图构成一个三阶幻方．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据9个数的和，得出每行、每列、每条对角线上的三个数之和都为3，把中间数l放在中间位置，然后大数凑小数填表即可；
（2）图2根据对角线上的三个数求出和，然后计算剩余各数即可，图3先根据和相等求出中间数，然后计算出各数即可．
（1）
解：填表如下：（答案不唯一）
（2）
解：∵4＋3＋2＝9，
∴9﹣4﹣6＝﹣1，9﹣6﹣2＝1，9﹣7﹣2＝0，9﹣1﹣3＝5，
故补全图2如下所示：
设图3最下面一行中间数为m，则﹣3＋1＝4＋m，
解得m＝﹣6，
设图3中第一行最后一个数为n，则﹣6＋1＝﹣3＋n，
解得n＝﹣2，
∵4＋1﹣2＝3，
∴3﹣（4﹣3）＝2，3﹣（1﹣6）＝8，3﹣2﹣1＝0，3﹣（0﹣2）＝5，
故补全图3如下所示：
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系式是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023·湖北荆门·七年级期中）观察下列三行数：
(1)每行的第9个数分别为 ， ， ．
(2)如图，用一个长方形方框框住六个数，左右移动方框，若方框中的六个数左上角数记为x，求这六个数的和（结果用含x式子表示并化简）．
(3)第三行是否存在连续的三个数的和为381，若存在，求这三个数，若不存在，请说明理由？
【答案】(1)（－2）9，(-2)9+2，-(-2)9－1
(2)－x+2
(3)存在，127，－257，511
【分析】（1）找出每行数的规律，然后问题可求解；
（2）由题意易得另五个数分别为－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，然后问题可求解；
（3）设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，然后可得－x－1+2x－1－4x－1＝381，进而问题可求解．
（1）
解：第①行的有理数分别是－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，…，
故第n个数为（－2）n（n是正整数），第9个数为（－2）9，
第②行的数等于第①行相应的数加2，即第n的数为（－2）n+2（n是正整数），第9个数为(-2)9+2，
第③行的数等于第①行相应的数的相反数减去1，即第n个数是－（－2）n－1（n是正整数），第9个数为-(-2)9－1，
（2）
解：∵左上角数记为x，
∴另五个数分别为：－2x，x+2，－2x+2，－x－1，2x－1，
∴x－2x+x+2－2x+2－x－1+2x－1＝－x+2；
（3）
解：设这三个数分别为：－x－1，2x－1，－4x－1，
由题意可得：－x－1+2x－1－4x－1＝381，
∴x＝－128，
∴这三个数分别为127，－257，511．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用及数字规律问题，解题的关键是得到每行数字的规律．
2．(2023·福建泉州·七年级阶段练习）如图，将连续的奇数1，3，5，7，按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数如图分别用a，b，c，d，x表示．
(1)用含x的式子分别表示数a= ，b= ，c= ，d= ．
(2)设，判断M的值能否等于2000，请说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)的值不能等于2000，见解析
【分析】（1）根据图形即可得出a、b、c、d与x之间的关系；
（2）根据M=5x，代入2000求出x的值，根据x的奇偶性即可得出M的值不能等于2000．
（1）
解：根据数的排列结合十字框的框法，即可得出：
，，，；
故答案为：，，，；
（2）
解：∵a+d=x12+x+12=2x，b+c=x2+x+2=2x，
∴a+b+c+d=4x，
，
当5x=2000时，x=400（不合题意，舍弃)，
的值不能等于2000；
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键掌握所学的知识，正确的进行解题．
【考点二 用一元一次方程解决几何问题】
例题：(2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级阶段练习）如图，长方形中，，，点从出发，以的速度沿运动，最终到达点，在点运动了3秒后点开始以的速度从运动到，在运动过程中，设点的运动时间为，则当的面积为时，的值为（ ）
A．2或B．2或C．2或4D．2或
【答案】A
【分析】分两种情况：①点在上时，点在处，根据三角形面积公式求解即可得到； ②点在上时，求出AQ，再根据速度路程求出t．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
分两种情况：
①点在上时，点在处，如图1所示：
的面积为，
，
解得：；
②点在上时，如图2所示：
的面积为，
，
解得：，
，
解得：；
综上所述，当的面积为时，的值为2或；
故选：
【点睛】此题考查了动点面积问题，解题的关键是根据题意分情况讨论解答．
【变式训练】
1．(2023·浙江丽水·七年级期末）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若AB＝10,则AD的长为（ ）
A．13 B．11 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，解方程即可得到答案．
【详解】解：设最小正方形的边长为x，则第二大的正方形的边长为3x，根据题意得，
3×3x+x=10，
解得：，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形找出等量关系列一元一次方程求解．
2．(2023·全国·九年级专题练习）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为__平方厘米．
【答案】143
【分析】根据题意，结合图形，各个正方形的边长从大到小依次相差1，设这6个正方形中最大的一个边长为x，将各个正方形的边长表示出来，根据长方形的两条对边长相等，列出方程求解即可．
【详解】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x，
∵图中最小正方形边长是1，
∴其余的正方形边长分别为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣3，
∴x+x﹣1＝2（x﹣3）+x﹣2，
∴x＝7，
∴长方形的长为x+x﹣1＝13，宽为x+x﹣3＝11，面积为13×11＝143平方厘米．
故答案为：143．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，结合图形找出等量关系列出方程求解是解题的关键．
【考点三 用一元一次方程解决和差倍分问题】
例题：(2023·黑龙江·大庆市第四十四中学校期末）淘气和笑笑两人共有155元，如果淘气用去自己的，笑笑用去自己的，两人剩下的钱一样多，则淘气原来有_______元．
【答案】75
【分析】设淘气原来有元，则笑笑有元，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：淘气原来有元，则笑笑有元，根据题意得，
．
解得．
故答案为：75．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023·全国·七年级专题练习）某校组织学生种花，三个年级共种植909盆，初二年级种植的数量比初一年级的2倍少3盆，初三年级种植的数量比初二年级多25盆．初一，初二，初三年级各种植多少盆花？
【答案】初一，初二，初三年级各种植178盆，353盆，378盆花．
【分析】设初一年级种植x盆，则初二年级种植（2x3）盆，初三年级种植（2x3+25）盆，根据“三个年级共种植909盆”列出方程并解答．
【详解】解：设初一年级种植盆花，依题意，得
，
解得：．
则，．
答：初一，初二，初三年级各种植178盆，353盆，378盆花．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校阶段练习）有一组互相咬合的齿轮.
(1)小齿轮有28个齿，是大齿轮的，大齿轮有多少个齿?
(2)大齿轮每分钟转80周，比小齿轮每分钟转的周数少，小齿轮每分钟转多少周?
【答案】(1)大齿轮有140个齿
(2)小齿轮每分钟转400周
【分析】（1）设大齿轮有个齿，根据占比关系列一元一次方程，解方程即可；
（2）设小齿轮每分钟转周，根据占比关系列出一元一次方程，解方程即可．
（1）
解：设大齿轮有个齿，则
解得
答：大齿轮有140个齿.
（2）
解：设小齿轮每分钟转周，则
解得
答：小齿轮每分钟转400周.
【点睛】本题考查了和差倍分的一元一次方程应用问题，清楚倍数关系，并正确列方程、解方程是解题关键.
【考点四 用一元一次方程解决电费和水电问题 】
例题：(2023·安徽·萧县城北初级中学七年级期中）我市为了提倡节约，用水吨，自来水收费实行阶梯水价元，收费标准如下表所示：
(1)若用水量达到8吨，则需要交水费______元；若用水量达到14吨，则需要交水费______元．
(2)用户5月份交水费54元，则用水为多少吨？
【答案】(1)16，30
(2)22吨
【分析】（1）按照单价×总量=总价计算即可，超过12吨的部分则分两段计算即可；
（2）设5月份用水x吨，显然用水量超过了12吨，根据等量关系：12吨的水费＋超过12吨的水费=5月份的水费，列出方程，解方程即可．
（1）
用水量达到8吨，则需要交水费：8×2.00=16（元）；
用水量达到14吨，则需要交水费：12×2.00＋(14-12)×3.00=24＋6=30（元）；
故答案为：16，30
（2）
设5月份用水x吨，由于54元>12×2=24（元），表明5月份用水量超过了12吨，
由题意得：12×2＋(x－12)×3=54，
解得：x=22，
即5月份用水22吨．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：分段计费问题，弄懂题意，找到等量关系并正确列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．(2023·黑龙江·大庆市庆新中学期中）电力公司为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方式计算电费，每月用电不超过100kw·h时，按每千瓦时a元计算；每月用电超过100kw·h时，其中100kw·h仍按原价收费，超过部分按每千瓦时b元计算（a
(2)若a=0.49，b=1.50，则小王家1，2月应分别缴纳多少元电费？
(3)在第（2）问的条件下，若小王家3月缴纳76元电费，则他家3月共用电多少千瓦时？
【答案】(1)1月缴纳电费为67a元；2月缴纳电费为（100a+20b）元
(2)1月应缴纳电费32.83元，2月应缴纳电费79元
(3)3月共用电118千瓦时
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由（1）可进行求解；
（3）设3月共用电x千瓦时，由（2）可知3月的电费超过100千瓦时，进而可列出方程进行求解．
（1）
解：由题意得：
1月应缴纳电费为：67a元；2月应缴纳电费为100a+（120-100）b=100a+20b（元）；
答：1月缴纳电费为67a元；2月缴纳电费为（100a+20b）元．
（2）
解：由（1）及把a=0.49，b=1.50代入得：
（元）；（元）；
答：1月应缴纳电费32.83元，2月应缴纳电费79元．
（3）
解：由（2）可知：3月的电费超过100千瓦时，设3月共用电x千瓦时，
∴，
解得：；
答：3月共用电118千瓦时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
2．(2023·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）某市按以下规定收取每月水费：每立方米水费包括基本水费和污水处理费两部分.基本水费实行阶段收费：若每月每户用水不超过10立方米，则每立方米基本水费按2元收费；若超过10立方米则超过部分每立方米按3元收费；污水处理费每立方米均按0.5元收取，
(1)已知该用户当月用水量为x立方米，当0≤x≤10时当月所付水费金额为 元；当x>10时当月所付水费金额为 元.（用含x的式子表示）
(2)如果某户居民在某月所交水费为42.5元，那么这个月这户居民共用多少立方米的水？
【答案】(1)，
(2)这个月这户居民共用15立方米的水
【分析】（1）当时，当月所付水费等于每立方米按2元收费的基本水费与每立方米按元收取的污水处理费之和；当时，当月所付水费等于10立方米按2元收费，超过10立方米部分每立方米按3元收费的基本水费与每立方米按元收取的污水处理费之和；
（2）设这个月这户居民共用立方米的水，先判断出，再根据每月水费的收取规定建立方程，解方程即可得．
（1）
解：由题意得：当时，当月所付水费金额为（元），
当时，当月所付水费金额为（元），
故答案为：，．
（2）
解：设这个月这户居民共用立方米的水，
因为，
所以，
由题意得：，
即，
解得，
答：这个月这户居民共用15立方米的水．
【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解每月水费的收取规定，正确建立方程是解题关键．
【考点五 用一元一次方程解决比例分配问题】
例题：(2023·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．
【答案】20000
【分析】设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据大小消毒液的总重量为22.5吨=22500000克建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据题意得：
2x×500+5x×250=22500000，
解得x=10000，
所以大瓶销售了：2×10000=20000瓶，
故答案是：20000．
【点睛】本题考查了运用比例问题的设每份为未知数的方法建立方程求解的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时运用设间接未知数降低解题难度是关键．
【变式训练】
1．(2023·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．
【答案】20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握以上方法是解题的关键．
2．(2023·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的种植C经济作物，则C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，则该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是__________．
【答案】2:3
【分析】设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，根据三种经济作物的面积之比以及单位面积产值之比可得该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，设余下的面积为z，增加种植C经济作物，可列方程，可得z=3m，设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积，利用A、B、C三种经济作物的总产值提高了，列方程，解方程即可．
【详解】解：设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，
∵该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，
∴该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，
设余下的面积为z，
∴增加种植C经济作物，
∴，
解得z=3m，
设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积3m-a-，
A作物面积：，B作物面积：，C作物面积：，
A、B、C三种经济作物的总产值为，
=
=，
A、B、C三种经济作物的原总产值=，
∴，
解得，，
该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是，
故答案为：2:3．
【点睛】本题考查代数式表示数，代数式在生活中运用，利用一元一次方程，仔细阅读抓住等量关系C的种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了，列方程解决问题是关键．
【考点六 用一元一次方程解决日历问题】
例题：(2023·黑龙江·大庆市庆新中学期末）在日历中一个竖框圈出三个日期，它们的和是48，那么最大的一天是________号．
【答案】23
【分析】设中间一天的日期，根据上下日期的差为7表示出另外两天的日期，再由它们的和为48列出方程，解之可得．
【详解】解：设中间一天的日期为x，则另外两天的日期为x﹣7，x＋7，
根据题意，得：x﹣7＋x＋x＋7＝48，
解得：x＝16，
∴x＋7＝16＋7＝23，
∴日期最大的一天23号，
故答案为：23．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到蕴含的相等关系，并据此列出方程．
【变式训练】
1．(2023·新疆·乌鲁木齐市第70中七年级阶段练习）如图是2021年6月份的月历表，请仔细观察后，如果发现用正方形框框住16个数字的和为224．试求出这16个数字中最大的数字_______．
【答案】26
【分析】根据题意，可以设这16个数中左上角最小的数为x，列出方程，即可求得最大的那个数．
【详解】解：设这16个数中左上角最小的数为x，则这16个数字的和为：
，
即，解得
∴，即其中最大的数为26
故答案为：26
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的实际运用，找好等量关系，正确列出方程是解题关键．
2．(2023·河北·原竞秀学校七年级期中）将连续的偶数2，4，6，8…，排成如表：
(1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
(2)这个关系对其它这样的十字框成立吗？请说明理由．
(3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其它五个数的和能等于2020吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍
(2)成立，理由见解析
(3)能，这五个数分别为
【分析】（1）将方框中的5个数相加，看结果与中间的数的关系即可；
（2）设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，再将这个五个数求和即可得；
（3）设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，令五个数的和等于2020，解方程可得的值，然后看有没有存在的可能即可．
（1）
解：十字框中的五个数的和为，
，
十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍．
（2）
解：成立，理由如下：
设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，
十字框中的五个数的和为，
即（1）中的关系仍成立．
（3）
解：设中间的数为，则十字框中的其他四个数分别为，
令十字框中的五个数的和，
解得，
所以这五个数分别为，且能被框在一个十字框中．
【点睛】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用，找到各个数之间的关系并列出方程是解决此题的关键．
【考点七 用一元一次方程解决古代问题 】
例题：(2023·河南安阳·七年级期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，绳木各长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问绳子、长木各长多少尺？请你算一算．
【答案】绳子、长木分别是6.5米和11米．
【分析】设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于x的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设木头长x尺，则绳子长（x+4.5）尺，
根据题意得：x-（x+4.5）=1，解得：x=6.5
所以绳子长为6.5+4.5=11．
答：绳子、长木分别是6.5米和11米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
【变式训练】
1．(2023·福建漳州·模拟预测）《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙三十六石，问：各该若干？”其大意为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”设乙分得白米x石，则可列方程为（ ）
A．x＋x＋2x＝180B．x＋2x＋3x＝180
C．（x＋18）＋x＋（x﹣36）＝180D．（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180
【答案】D
【分析】设乙分得白米x石，得出甲、丙分得白米数，由甲、乙、丙三人分得之和为180石列出方程即可．
【详解】解：若设乙分得白米x石，
∵甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数一样，甲比丙多分三十六石，
∴甲、乙白米相差数与乙、丙白米相差数都是18石，
∴甲分得白米（x＋18）石，丙分得白米（x﹣18）石，
又∵甲、乙、丙三人来分这一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和为180石，
∴可得方程：（x＋18）＋x＋（x﹣18）＝180．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系来列方程是解题的关键．
2．(2023·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？
【答案】39人
【分析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设共有x人，依题意得，
解得
答：共有39人．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意找到等量关系是解本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．(2023秋·山东枣庄·七年级校考期末）小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费元；超过5吨，超过部分每吨加收3元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于的方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】解：由题意可得，
，
化简，得
，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题中的数量关系列出方程．
2．（2023秋·重庆九龙坡·七年级重庆市渝高中学校校考期末）如图，将一个长方形减去一个宽为 4 的长条，再将剩余的长方形补上一个宽为2的长条就变成了一个正方形，若增加的与剪去的两个长条的面积相等，则这个相等的面积是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】设个正方形边长为x，根据面积相等列出方程即可解得．
【详解】解：设个正方形边长为x，
减去的面积：，
增加的面积：，
∵增加的与剪去的两个长条的面积相等，
∴
解得∶，
，
故选为：B．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式列出方程．
3．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）将连续的奇数1、3、5、7、9、11……，按一定规律排成如图：图中的字框框住了四个数字，若将字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数.若将字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（ ）
A．58B．78C．118D．142
【答案】A
【分析】根据题意，依次设这四个数为：、、、，其中为奇数，则这四个数的和为：，再逐项判断即可．
【详解】根据题意，依次设这四个数为：、、、，其中为奇数，
则这四个数的和为：，
当时，，为偶数，故和不可能为58，则A项符合题意；
当时，，为奇数，故和可能为118，故B项不符合题意；
当时，，为奇数，故和不可能为58，故C项不符合题意；
当时，，为奇数，故和不可能为142，故D项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
4．(2023秋·山东青岛·七年级统考期末）在如图的2022年6月份的月历表中，任意框出表中同一竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（ ）
A．27B．51C．75D．69
【答案】C
【分析】设框出的最小数是x，可知这三个数的和是，分别根据各选项列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设框出的最小数是x，则另外两个数是，这三个数的和是，
A.若，则，框出的三个数是，故选项A不符合题意；
B.若，则，框出的三个数是，故选项B不符合题意；
C.若，则，框出的三个数是，从图可知不能框出18，25，32，故C符合题意；
D.若，则，框出的三个数是，故选项D不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含x的代数式表示三个数的和．
二、填空题
5．(2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，圆柱形容器的底面半径为，高为．其里面盛有深的水，将底面半径为，高为的圆柱形铁块沉入水中，此时容器内的水面高度上升了______.
【答案】0.18
【分析】设容器内水面高度上升了，根据水面上升部分的体积等于圆柱形铁块的体积列方程计算即可．
【详解】解：设容器内水面高度上升了，
由题意得，，
解得：，
容器内的水面高度上升了，
故答案为：0.18．
【点睛】本题考查了圆柱体积的计算，一元一次方程的应用，掌握圆柱体积的计算公式，理解题意，找到等量关系是解题的关键．
6．（2023秋·湖南益阳·七年级校联考期末）为节约用电，长沙市实“阶梯电价”具体收费方法是第一档每户用电不超过240度，每度电价0.6元；第二档用电超过240度，但不超过400度，则超过部分每度提价0.05元；第三档用电超过400度，超过部分每度提高0.3元，某居民家12月份交电费222元，则该居民家12月份用电_____度．
【答案】360
【分析】先判断出该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，再设该居民家12月份的用电量为x，根据题意列出一元一次方程，即可求解．
【详解】解：∵，
∴该居民家今年12月份的用电量是多于240度而少于400度，
设该居民家12月份的用电量为x，则
，
解得：．
该居民家12月份用电360度．
故答案为：360．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
7．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中的值为________．
【答案】
【分析】根据幻方的特点列出 ，求出，代入计算即可．
【详解】解：根据题意知 ，
解得： ，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查有理数的运算及代数式，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则及观察出幻方的特点列出等式．
8．（2023秋·山东临沂·七年级临沂实验中学校考期末）在2023年5月的月历上，任意圈出一个由3个相邻的数组成的竖列，如果它们的和为60，那么其中日期最小的一天是2023年5月______号．
【答案】13
【分析】设最小的日期为x，根据题意可得关于x的方程，解方程进行求解即可得．
【详解】解：设最小的日期为x，由题意得，
解得：，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清月历中日期间的关系，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
三、解答题
9．(2023秋·安徽淮南·七年级期末）观察下面三行数．
，，，，，…
，，，，，…
，，，，，…
(1)求第一行的第个数；（为正整数）
(2)求第二行的第个数、第三行的第个数；
(3)取每一行的第个数，这三个数的和能否是？若能，求出的值，若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)的值为
【分析】（1）观察发现第一行数的规律为，即为第一行的第个数；
（2）观察第二、三行数与第一行数的关系，可得出第二行的第个数是，第三行的第n个数是，再求出第二行的第个数和第三行的第个数即可；
（3）根据（2）得出的三行数的关系，可设第一行的第个数为，则第二行的第个数为，第三行的第个数为，列出关系式，求出的值，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的倍，即
∴第一行的第n个数是，
（2）解：∵同位置的第二行数比第一行数大，同位置的第三行数是第一行数的倍，
∴第二行的第个数是，第三行的第个数是，
∴所以第二行的第6个数是，第三行的第个数是，
（3）解：设：第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为，第三行的第k个数为2x，
根据题意有，
解得，
∵，
∴，
∴故所求的值为．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，和一元一次方程的应用，根据题目数据得出正确的规律，并运用所得规律计算是解答本题的关键．
10．(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分），设小长方形的长和宽分别为a和．
(1)由图1，可知a，b满足的等量关系是______；
(2)若图2中小正方形的边长为3，求小长方形的面积．
【答案】(1)
(2)135
【分析】（1）由长方形的对边相等可得，即可求解；
（2）由“小正方形的边长为2”列出方程，可求解；
【详解】（1）解：∵图1是长方形，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
由题意可得：，
∴，
∴，
∴小长方形的面积．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，长方形的性质，找出正确的等量关系是解题的关键．
11．（2023秋·北京·七年级校联考期末）目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下．
(1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元；
(2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元；
(3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？
【答案】(1)104
(2)，
(3)230度
【分析】（1）根据总价单价数量结合阶梯电价收费标准，即可求出结论；
（2）分及两种情况，用含的代数式表示出该户12月应交电费；
（3）由（1）可得出，结合（2）的结论即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
，
（元）．
故答案为：104．
（2）当时，该户12月应交电费为元；
当时，该户12月应交电费为，
，
（元）．
（3），
，
，
．
答：该户12月用电量为230度．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出该户12月应交电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
12．(2023秋·山东烟台·六年级校考期末）把正奇数1，3，5，……，2021，2023排成如图所示的数阵，规定从上到下依次为第1行，第2行，第3行，……，从左到右依次为第1列，第2列，第3列，……．
(1)①数阵中共有___________个数，数2023在第___________行，第___________列；
②图表中第n行第8列的数可用n表示为___________；
(2)按如图所示的方法用一个“L”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中最小的一个数为x，是否存在这样的x使得被框的三个数的和等于1471？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①1012；127；4；②；
(2)不存在，理由见解析
【分析】①由第个正奇数可表示为可列方程，解得，可知共有1012个数，每行有8个数，则，即可得到问题的答宲；
②先计算出从第1行第1列的数到第行第8列的数共有个数，则，所以第行第8列的数是；
（2）假设存在这样的，则，解得，由得，可知479是数阵中的第240个数，而，可知479是数阵第30行的最后一个数，说明在数阵中""形框框不出这样的三个数．
【详解】（1）解∶①第个正奇数可表示为，
由得，
所以数阵中共有1012个数；
所以数2023在第127行第4列，
故答案为：1012；127；4；
②因为每行有8个数，
所以从第1行第1个数到第n行第8列的数共个数，
所以第n行第8列的数是，
故答案为：；
（2）不存在，
理由∶因为被框的三个数中最小的一个数为，
所以，
解得，
由得，
(行)，
可见479是数阵中第30行的第8个数，
所以""形框框不出这样的三个数，
所以不存在这样的使得被框的三个数的和等于1471．
【点睛】本题考查了解一元一次方程、列一元一次方程解应用题，掌握用代数式表示数阵中的数是关键．
13．（2023秋·河北保定·七年级校考期末）如图，长方形中，，．点P从点A出发，沿匀速运动：点Q从点C出发，沿C→B→A→D→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了，并沿B→C→D→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，继续沿原路径匀速运动，某一时刻两点在长方形某一边上的E点处第二次相遇．若点Q的速度为．
(1)点P原来的速度为______ ；
(2)P、Q两点在B点处首次相遇后，再经过多少秒后第二次在E点相遇；
(3)在（2）的基础上，求的面积；
(4)在E点相遇后P、Q两点沿原来的方向继续前进、又经历了99次相遇后停止运动，请问此时两点停在长方形边上的什么位置？（直接写出答案）______．
【答案】(1)
(2)再经过6秒后第二次在E点相遇；
(3)的面积为；
(4)边上，离D点的位置．
【分析】（1）先求得点Q行驶的时间，根据P点行驶的时间与Q点行驶的时间相等，进行解答即可；
（2）设P、Q两点在B点处首次相遇后，再经过x秒后第二次在E点相遇，根据相遇问题列出方程解答便可；
（3）根据（2）求得的时间，进而求得Q点运动的路程，便可知道E点的位置，进而根据三角形面积公式求得的面积；
（4）通过计算相遇一次Q点运动的路程，便可依次确定相遇多少次后，相遇点就依次循环，进而由这个规律求得结论．
【详解】（1）解：点Q行驶长的时间为，
点P原来的速度为：，
故答案为：；
（2）解：设P、Q两点在B点处首次相遇后，再经过x秒后第二次在E点相遇，根据题意得，
，
解得，，
答：再经过6秒后第二次在E点相遇；
（3）解：由（2）知，B到E点的路程长度为：，
∵，
∴E点在边上，且，
∴，
∴，
答：的面积为；
（4）解：由（3）知，当P、Q相遇一次，则Q行驶，
由此知得，如下图，…，依次为P、Q在E点相遇后第一次相遇、第二次相遇、第三次相遇…的位置，
由上可知，P、Q两点每相遇9次，就与前面9个位置依次重复，
∵99÷9=11，
∴P、Q两点经历了99次相遇后停止的位置在E处，
∴P、Q两点经历了99次相遇后停止，此时两点停在长方形的边上，离D点的位置．
故答案为：边上，离D点的位置．
【点睛】本题主要考查了一元一次的应用，是一个环形相遇问题，关键是熟悉相遇问题的解题方法与技巧．同时考查了三角形的面积计算公式，考查了规律探究，找出位置规律是关键．
月用水量吨
不超过12吨的部分
超过12吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
3.00
睡
眠
时
0
间
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元/度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度的部分
0.7
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