七年级数学下册压轴题攻略(苏科版)专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

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专题03 平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16709" 【典型例题】  PAGEREF _Toc16709 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc5711" 【考点一 平行线中一个拐点问题】  PAGEREF _Toc5711 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc21104" 【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】  PAGEREF _Toc21104 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc961" 【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】  PAGEREF _Toc961 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc14438" 【过关检测】  PAGEREF _Toc14438 \h 9  【典型例题】 【考点一 平行线中一个拐点问题】 例题： (2023·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______． 【变式训练】 1． (2023·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______． 2． (2023·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______． 【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】 例题： (2023·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 【变式训练】 1． (2023·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____． 2． (2023·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】 例题： (2023·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________． 【变式训练】 1． (2023·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______． 2． (2023·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____° 【过关检测】 一、选择题 1． (2023·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（      ） A．110° B．90° C．80° D．70° 2． (2023·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 3． (2023·贵州安顺·七年级期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（    ） A．130° B．140° C．145° D．150° 二、填空题 4． (2023·上海· 七年级期中）如图，ABCD，为平行线间一点，若，，则______度． 5． (2023·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）如图，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新渠CD，使，则∠BCD的度数为_____度． 6． (2023·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________． 三、解答题 7． (2023·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据． (1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数． 解：过点F作 所以∠B+∠BFE=180°（                                          ） 因为、（已知） 所以 （                                           ） 所以∠D+∠DFE=180°（                                             ） 所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360° (2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明） 备用图： (3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由） 8． (2023·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：； (2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由． 9． (2023·广东·龙岭初级中学七年级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现， (1)在图②所示的图形中，若，，则___________ (2)在图⑧中，若，，则_________ (3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由． 10． (2023·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）探究： (1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？ (2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？ (3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系； 11． (2023·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系． (1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表： (2)请选择其中一个图形进行说明理由． 12． (2023·四川乐山·七年级期末）问题情境：如图 1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图 2，过 P 作，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110° 问题迁移： (1)如图 3，，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由 (2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、 间的数量关系． 图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系 图（1）  图（2） 图（3） 图（4） 图（5）图（6） 专题03 平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc16709" 【典型例题】  PAGEREF _Toc16709 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc5711" 【考点一 平行线中一个拐点问题】  PAGEREF _Toc5711 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc21104" 【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】  PAGEREF _Toc21104 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc961" 【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】  PAGEREF _Toc961 \h 6  HYPERLINK \l "_Toc14438" 【过关检测】  PAGEREF _Toc14438 \h 9  【典型例题】 【考点一 平行线中一个拐点问题】 例题： (2023·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______． 【答案】##66度 【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键． 【变式训练】 1． (2023·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______． 【答案】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案． 【详解】如下图所示，过点C作， ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵，， ∴， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∴， ∴在原图中， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 2． (2023·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______． 【答案】##20度 【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键． 【考点二 平行线中两点及多点拐点问题】 例题： (2023·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____． 【答案】 【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论． 【详解】解：连接BD，如图， ∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠CDB=180°， ∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°， ∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°， 即∠1+∠2+∠3+∠4=540°． 故答案为：540°． 【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【变式训练】 1． (2023·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线 l1∥l2，若∠1=40°，∠2 比∠3 大 10°，则∠4=____． 【答案】30°##30度 【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解． 【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2， ∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8， ∵直线l1l2， ∴ABCD， ∴∠6=∠7， ∵∠2比∠3大10°， ∴∠2-∠3=10°， ∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3， ∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°， ∴40°-∠4=10°， 解得∠4=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键． 2． (2023·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____． 【答案】②③④ 【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC； ④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC． 【详解】解：①如图1，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°， ∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误； ②如图2，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴ABEFCD， ∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF， ∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确； ③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G， ∵ABEF， ∴ABEFCD， ∴∠DCF=∠EFC， 由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC， 又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC， ∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC， ∴，故③正确； ④如图4，过点P作PFAB， ∵ABCD， ∴ABPFCD， ∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF， ∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确； 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 【考点三 平行线中在生活上的拐点问题】 例题： (2023·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________． 【答案】 【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解． 【详解】如图，作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等． 【变式训练】 1． (2023·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______． 【答案】##60度 【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，过点O作， ∵光线，都是水平线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 2． (2023·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____° 【答案】90度##90° 【分析】根据CD与AB的方向一致，可得，即有∠DCB=∠CBA，根据，可得∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，则有∠DCB=90°，问题得解． 【详解】如图，设置点M、N， 根据题意有：， ∵CD与AB的方向一致， ∴， ∴∠DCB=∠CBA， ∵， ∴∠A+∠ABN=180°， ∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°， ∴∠ABC=90°， ∴∠DCB=90°， 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了平行线的性质、方位角的应用，明确题意，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键． 【过关检测】 一、选择题 1． (2023·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（      ） A．110° B．90° C．80° D．70° 【答案】D 【分析】如图，过点P作PMAB，利用平行线的性质得到∠EPF=∠1+∠2即可． 【详解】解：如图，过点P作PMAB， ∴∠3=∠1=30°， 又∵， ∴， ∴∠4=∠2=40°， ∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°， 即∠EPF=70°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定定理以及平行线的性质．注意如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行的运用． 2． (2023·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是 （  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于， ∵，， ， 又，， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 3． (2023·贵州安顺·七年级期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（    ） A．130° B．140° C．145° D．150° 【答案】D 【分析】过点B作BEAD，利用平行线的性质可得∠ABE＝110°，从而求出∠EBC＝30°，然后再利用平行线的性质，即可解答． 【详解】解：过点B作BEAD， ∴∠A＝∠ABE＝110°， ∵∠ABC＝140°， ∴∠EBC＝∠ABC−∠ABE＝30°， ∵ADCF， ∴BECF， ∴∠C＝180°−∠EBC＝150°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题 4． (2023·上海· 七年级期中）如图，ABCD，为平行线间一点，若，，则______度． 【答案】100 【分析】过点作的平行线，由平行线的判定与性质即可求解． 【详解】解：过点作，则， ，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是过拐点准确作出的平行线． 5． (2023·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）如图，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新渠CD，使，则∠BCD的度数为_____度． 【答案】110 【分析】根据方向角和平行线的性质：内错角相等即可求出． 【详解】解：B点在A点的北偏东50°，C点在B点北偏西20°， ∴， ∵ ∴， 故答案为：110． 【点睛】本题考查平行线的性质：内错角相等，利用方位角进行角度的转化计算是解题的关键． 6． (2023·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________． 【答案】82 【分析】过点作，得，得，；根据，是，的角平分线，；；根据四边形内角和为，，即可求出的角度． 【详解】如图：过点作， ∵， ∴， ∴；， ∵，是，的角平分线， ∴；， ∴；， ∴在四边形中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，四边形内角和，角平分线；设角等于，；角的等量代换是解题的关键． 三、解答题 7． (2023·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据． (1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数． 解：过点F作 所以∠B+∠BFE=180°（                                          ） 因为、（已知） 所以 （                                           ） 所以∠D+∠DFE=180°（                                             ） 所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360° (2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明） 备用图： (3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由） 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案； （2）类比问题（1）的解题方法即可得解； （3）类比问题（1）的解题方法即可得解． （1） 解：过点F作，如图， ∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等）， ∵、（已知） ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD +∠D=360°； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补； （2） 解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F； 理由如下： 过点D作DC//AB， ∴∠B=∠BDC， ∵，， ∴， ∴∠CDF=∠F， ∴∠BDF+∠BDC =∠F， 即∠BDF+∠B=∠F； 选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F 过点D作， ∴∠B=∠BDC， ∵，， ∴， ∴∠CDF=∠F， ∴∠BDF+∠BDC =∠F， 即∠BDF+∠B=∠F ∠BDF+∠B=∠F ； （3） 解： 如图（4）所示，过点C作，过D作， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴． 【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键． 8． (2023·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：； (2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析． 【分析】过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论； 过作，依据，可得，进而得到，，再根据，即可得出． （1） 证明：如图，过点作， ， ， ，． 又， ； （2） 解：． 理由如下：如图，过作， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 9． (2023·广东·龙岭初级中学七年级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现， (1)在图②所示的图形中，若，，则___________ (2)在图⑧中，若，，则_________ (3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到由此即可得到答案； （2）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到，在求出的度数即可得到答案； （3）如图所示，过点P作，由平行线的性质得到，再由即可得到结论． （1） 解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2） 解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：； （3） 解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10． (2023·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）探究： (1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？ (2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？ (3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系； 【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2； (2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4； (3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4． 【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可； （3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可． （1） 解：如图①，过点E作EMAB， ∵ABCD， ∴ABCDEM， ∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF， ∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF， 即∠1＋∠3＝∠2； （2） 如图②，过点F作NFAB， ∵ABCD， ∴ABCDFN， ∴∠4＝∠NFH， 由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2， ∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4， 即∠1＋∠3＝∠2＋∠4； （3） 如图③，过点G作GMAB， ∵ABCD， ∴ABCDGM， ∴∠5＝∠MGN， 由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM， ∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN， 即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 11． (2023·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系． (1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表： (2)请选择其中一个图形进行说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质即可求解． （2）过点C作CGAB，利用平行线的判定和性质即可求解． （1） 解：∠B、∠C、∠F之间的数量关系如下表： （2） 解：图（1） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F=∠C． 理由：过点C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F， ∴∠B+∠F=∠BCF； 图（2） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C． 理由：过点C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B， ∴∠F-∠B=∠BCF； 图（3） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C． 理由：过点C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F， ∴∠B-∠F=∠BCF； 图（4） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F+∠C=360°． 理由：过点C作CGAB， ∴∠BCG+∠B=180°， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF+∠F=180°， ∴∠BCG+∠B+∠GCF+∠F=180°+180°， ∴∠B+∠F+∠BCF=360°； 图（5） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B-∠F=∠C． 理由：过点C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠BCG-∠GCF =∠B-∠F， ∴∠B-∠F=∠BCF； 图（6） ∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C． 理由：过点C作CGAB， ∴∠BCG=∠B， ∵ABEF， ∴CGEF， ∴∠GCF=∠F， ∴∠GCF-∠BCG=∠F-∠B， ∴∠F-∠B=∠BCF； 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 12． (2023·四川乐山·七年级期末）问题情境：如图 1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图 2，过 P 作，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110° 问题迁移： (1)如图 3，，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由 (2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时， 点 P 与 点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、 间的数量关系． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）过点作 ，则可得出，然后平行线的性质分别求出把和表示出来，则利用角的和差关系，即可求出结果； （2）分两种情况讨论：过点P作，则可得出，然后平行线的性质分别求出把 和 表示出来，则利用角的和差关系，即可求出结果． 【详解】（1）解： 证明：如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：当P在线段的延长线上时， 证明：如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴； 如图，当P在线段的延长线上时，如图，过点P作， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ， ∴， ∴； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解题的关键是辅助线构造内错角及同旁内角相等． 图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系 图（1）  图（2） 图（3） 图（4） 图（5）图（6）图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系 图（1） ∠B+∠F=∠C 图（2）∠F-∠B=∠C 图（3）∠B-∠F=∠C 图（4） ∠B+∠F+∠C=360°图（5）∠B-∠F=∠C图（6）∠F-∠B=∠C